22개정 · 도형의 방정식

원의 방정식

원은 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들의 집합입니다. 이 기하적 정의를 거리 공식으로 번역하고, 완전제곱과 점-직선 거리를 이용하면 원의 모양과 직선과의 관계를 식으로 판단할 수 있습니다.

1. 원의 정의를 좌표로 번역하기

중심이 \(C(a,b)\)이고 반지름의 길이가 \(r>0\)인 원은 \(C\)에서 거리가 \(r\)인 모든 점 \(P(x,y)\)의 집합입니다.

반지름 조건이 방정식이 됩니다\(CP=r\)에 두 점 사이의 거리 공식을 적용하고 제곱하면 원의 표준형이 나옵니다.

\[ CP=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r \]

양변이 음수가 아니므로 제곱하여

\[ \boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2} \]

을 얻습니다. 방정식을 만족하는 점은 모두 중심에서 거리가 \(r\)이고, 원 위의 모든 점은 이 방정식을 만족합니다.

2. 표준형에서 정보 읽기

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)의 중심은 \((a,b)\), 반지름은 \(r\)입니다.

\[ (x-2)^2+(y+3)^2=16 \]

에서는 \(y+3=y-(-3)\)이므로 중심이 \((2,-3)\), 반지름이 \(4\)입니다. 괄호 안 부호를 그대로 중심의 부호로 읽지 않습니다.

3. 원점이 중심인 원

중심이 원점 \(O(0,0)\)이면 표준형은

\[ x^2+y^2=r^2 \]

으로 단순해집니다. \(x^2+y^2=25\)는 중심이 원점이고 반지름이 5인 원입니다.

4. 중심과 한 점으로 원 구하기

중심 \(C(a,b)\)와 원 위의 점 \(P(x_1,y_1)\)이 주어지면 먼저 거리 공식으로 \(r^2\)을 계산합니다.

\[ r^2=(x_1-a)^2+(y_1-b)^2 \]

근호를 계산하지 않고 \(r^2\)을 바로 표준형의 오른쪽에 넣으면 계산이 간결합니다.

5. 지름의 양 끝점으로 원 구하기

지름의 양 끝점이 \(A\), \(B\)이면 중심은 선분 \(AB\)의 중점이고 반지름은 \(AB/2\)입니다.

\[ C\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right), \qquad r^2=\frac{AB^2}{4} \]

이 과정은 두 점 사이의 거리와 중점 공식을 동시에 활용합니다.

6. 원의 일반형

표준형을 전개하면 x와 y의 제곱항 계수가 같고 \(xy\)항이 없는 형태가 됩니다.

\[ \boxed{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0} \]

완전제곱을 만들면

\[ \left(x+\frac D2\right)^2+ \left(y+\frac E2\right)^2 =\frac{D^2+E^2}{4}-F \]

이므로 중심과 반지름의 제곱은

\[ C\left(-\frac D2,-\frac E2\right), \qquad r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F \]

입니다. \(r^2>0\)이면 원, \(r^2=0\)이면 한 점만 나타내고, \(r^2<0\)이면 방정식을 만족하는 실수 좌표의 점이 없습니다.

7. 완전제곱으로 표준형 만들기

\(x^2+px\)에는 \((p/2)^2\), \(y^2+qy\)에는 \((q/2)^2\)을 더하면 완전제곱식이 됩니다. 등식을 유지하려면 양변에 같은 값을 더합니다.

\[ x^2+y^2-6x+4y-3=0 \]

\[ (x^2-6x+9)+(y^2+4y+4)=3+9+4 \]

\[ (x-3)^2+(y+2)^2=16 \]

따라서 중심은 \((3,-2)\), 반지름은 4입니다. x항과 y항을 따로 묶고 상수항을 먼저 반대편으로 옮기면 실수가 줄어듭니다.

8. 점의 위치 판정

점 \(P(x_0,y_0)\)에서 중심 \(C(a,b)\)까지의 거리의 제곱을 \(s\)라 두면

\[ s=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2 \]

\(s<r^2\): 원의 내부
\(s=r^2\): 원 위
\(s>r^2\): 원의 외부

제곱근 없이 제곱거리만 비교하면 됩니다.

9. 원과 직선의 위치 관계

원의 중심 \(C\)에서 직선 \(l\)까지의 거리를 \(d\), 반지름을 \(r\)라 하면

\[ \begin{cases} d<r & \text{서로 다른 두 점에서 만남}\\ d=r & \text{한 점에서 접함}\\ d>r & \text{만나지 않음} \end{cases} \]

직선이 \(Ax+By+C=0\)이면 중심 \((a,b)\)에서의 거리는 \(d=|Aa+Bb+C|/\sqrt{A^2+B^2}\)입니다.

10. 연립방정식으로 교점 개수 판단하기

직선의 식에서 한 문자를 다른 문자로 나타내 원의 방정식에 대입하면 이차방정식이 생깁니다. 그 판별식을 \(\Delta\)라 하면

\[ \Delta>0\Rightarrow \text{교점 2개},\qquad \Delta=0\Rightarrow \text{접점 1개},\qquad \Delta<0\Rightarrow \text{교점 없음} \]

교점의 좌표까지 요구하면 연립 방법을 사용하고, 위치 관계만 요구하면 중심과 직선 사이 거리를 비교하는 방법이 대개 빠릅니다.

11. 접선과 반지름

원의 접점에서 그은 반지름은 접선과 수직입니다. 중심이 \(C(a,b)\)이고 원 위의 점이 \(P(x_1,y_1)\)이면 접선은 \(P\)를 지나고 \(CP\)에 수직인 직선입니다.

\[ \boxed{(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2} \]

특히 원 \(x^2+y^2=r^2\) 위의 점 \((x_1,y_1)\)에서의 접선은

\[ x_1x+y_1y=r^2 \]

입니다. 공식을 사용한 뒤 접점이 직선 위에 있는지, 중심에서 직선까지의 거리가 \(r\)인지 확인할 수 있습니다.

12. 대표 예제

예제 1: 중심과 반지름

중심이 \((-2,3)\), 반지름이 4인 원은

\[ (x+2)^2+(y-3)^2=16. \]

예제 2: 중심과 원 위의 점

중심이 \((1,-2)\)이고 \((4,2)\)를 지나는 원은 \(r^2=3^2+4^2=25\)이므로

\[ (x-1)^2+(y+2)^2=25. \]

예제 3: 지름의 양 끝점

지름의 양 끝점이 \(A(-2,1)\), \(B(4,5)\)이면 중심은 \((1,3)\)입니다. \(AB^2=6^2+4^2=52\)이므로 \(r^2=13\), 따라서

\[ (x-1)^2+(y-3)^2=13. \]

예제 4: 일반형 해석

\(x^2+y^2-6x+4y-3=0\)은 완전제곱을 만들면 \((x-3)^2+(y+2)^2=16\)입니다. 중심은 \((3,-2)\), 반지름은 4입니다.

예제 5: 문자 결정

원 \(x^2+y^2+2kx-4y+k=0\)이 점 \((1,1)\)을 지나면

\[ 1+1+2k-4+k=0 \Rightarrow k=\frac23. \]

예제 6: 점의 위치

원 \((x-1)^2+(y+2)^2=25\)에서 점 \(P(5,1)\)의 중심까지 제곱거리는 \(4^2+3^2=25\)입니다. 반지름의 제곱과 같으므로 \(P\)는 원 위에 있습니다.

예제 7: 원과 직선의 위치 관계

중심이 \((2,-1)\), 반지름이 3인 원과 직선 \(4x-3y+1=0\)을 생각하겠습니다.

\[ d=\frac{|4(2)-3(-1)+1|}{5}=\frac{12}{5}<3. \]

따라서 직선은 원과 서로 다른 두 점에서 만납니다.

예제 8: 접하도록 하는 문자

직선 \(3x+4y+k=0\)이 원 \(x^2+y^2=25\)에 접하려면 원점과 직선 사이 거리가 5여야 합니다.

\[ \frac{|k|}{5}=5\Rightarrow k=\pm25. \]

예제 9: 교점 좌표

원 \(x^2+y^2=25\)와 직선 \(y=4\)를 연립하면 \(x^2+16=25\), 즉 \(x=\pm3\)입니다. 교점은 \((3,4)\), \((-3,4)\)입니다.

예제 10: 접선의 방정식

원 \(x^2+y^2=25\) 위의 점 \((4,3)\)에서의 접선은

\[ 4x+3y=25. \]

원점에서 이 직선까지의 거리가 \(25/5=5\)이므로 실제로 원에 접합니다.

13. 문제 해결 절차

중심과 반지름 또는 원 위의 점 등 주어진 정보를 분류합니다.
가능하면 표준형 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)에서 시작합니다.
일반형은 x항과 y항을 따로 묶어 완전제곱으로 바꿉니다.
점의 위치는 중심까지 제곱거리와 \(r^2\)을 비교합니다.
원과 직선의 위치 관계만 묻는다면 중심-직선 거리와 반지름을 비교합니다.
교점 좌표가 필요하면 두 방정식을 연립합니다.
최종 중심, 반지름, 교점이 원래 조건을 만족하는지 대입해 확인합니다.

14. 자주 하는 실수

\((x+2)^2\)에서 중심의 x좌표를 2로 읽는 부호 실수
표준형 오른쪽의 \(r^2\)을 반지름 \(r\)로 그대로 읽는 실수
완전제곱을 만들 때 선형항 계수의 절반을 제곱하지 않는 실수
한쪽에만 수를 더하여 등식을 바꾸는 실수
일반형의 x제곱과 y제곱의 계수가 다르거나 \(xy\)항이 있는데도 원이라고 판단하는 실수
점의 내부·외부를 판단할 때 거리와 반지름의 제곱을 서로 비교하는 실수
원의 중심과 직선 사이 거리 공식에서 절댓값이나 분모를 빠뜨리는 실수
접선의 기울기가 반지름의 기울기와 같다고 생각하는 실수
교점 개수만 필요한데 복잡한 연립 계산부터 시작하는 실수

15. 연습문제

(1) 중심이 \((2,-3)\), 반지름이 5인 원의 방정식을 구하세요.

(2) 중심이 \((-1,2)\)이고 점 \((2,6)\)을 지나는 원의 방정식을 구하세요.

(3) 지름의 양 끝점이 \(A(-4,0)\), \(B(2,6)\)인 원의 방정식을 구하세요.

(4) \(x^2+y^2+8x-6y+9=0\)의 중심과 반지름을 구하세요.

(5) \(x^2+y^2-2x+4y+10=0\)이 실수 좌표평면에서 원을 나타내는지 판단하세요.

(6) 점 \(P(3,3)\)은 원 \((x-1)^2+(y-1)^2=9\)의 내부, 원 위, 외부 중 어디에 있는지 판단하세요.

(7) 원 \(x^2+y^2=16\)과 직선 \(x+y-5=0\)의 위치 관계를 판단하세요.

(8) 직선 \(3x+4y+k=0\)이 원 \(x^2+y^2=9\)에 접할 때 \(k\)를 구하세요.

(9) 원 \(x^2+y^2=25\)와 직선 \(y=3\)의 교점을 구하세요.

(10) 원 \(x^2+y^2=13\) 위의 점 \((2,3)\)에서의 접선의 방정식을 구하세요.

(11) 원 \((x-2)^2+(y+1)^2=9\)에 직선 \(x-2y+c=0\)이 접하도록 하는 \(c\)를 구하세요.

(12) 세 점 \((0,0)\), \((4,0)\), \((0,6)\)을 지나는 원의 방정식을 구하세요.

(13) 점 \((-2,1)\)에서 거리가 5인 점 \(P(x,y)\)가 이루는 도형의 방정식을 쓰세요.

(14) 원의 방정식 전체에 4를 곱해도 같은 원을 나타내는 이유를 설명하세요.

연습문제 해설 보기

(1) \((x-2)^2+(y+3)^2=25\).

(2) \(r^2=3^2+4^2=25\)이므로 \((x+1)^2+(y-2)^2=25\).

(3) 중심은 \((-1,3)\), \(AB^2=72\)이므로 \(r^2=18\). 따라서 \((x+1)^2+(y-3)^2=18\).

(4) \((x+4)^2+(y-3)^2=16\)이므로 중심은 \((-4,3)\), 반지름은 4.

(5) \((x-1)^2+(y+2)^2=-5\)가 되어 실수 좌표의 점이 없으므로 원을 나타내지 않습니다.

(6) 중심까지 제곱거리는 \(2^2+2^2=8<9\)이므로 원의 내부.

(7) 원점에서 직선까지 거리는 \(5/\sqrt2<4\)이므로 서로 다른 두 점에서 만납니다.

(8) \(|k|/5=3\)이므로 \(k=\pm15\).

(9) \(x^2+9=25\)에서 \(x=\pm4\). 교점은 \((4,3)\), \((-4,3)\).

(10) \(2x+3y=13\).

(11) 중심 \((2,-1)\)에서 직선까지 거리가 3이므로 \(|2+2+c|/\sqrt5=3\). 따라서 \(c=-4\pm3\sqrt5\).

(12) \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)에 세 점을 대입하면 \(F=0,D=-4,E=-6\). 따라서 \(x^2+y^2-4x-6y=0\), 또는 \((x-2)^2+(y-3)^2=13\).

(13) 중심이 \((-2,1)\), 반지름이 5이므로 \((x+2)^2+(y-1)^2=25\).

(14) 방정식의 양변이 0이므로 전체를 0이 아닌 같은 수로 곱하거나 나누어도 해집합이 변하지 않습니다. 따라서 방정식을 만족하는 점들의 집합, 즉 원도 같습니다.

Checkpoint

중심이 \((-2,1)\), 반지름이 5인 원의 방정식을 쓰고, 점 \((1,5)\)가 원 위에 있는지 확인하세요.

정답과 해설 보기

원의 방정식은 \((x+2)^2+(y-1)^2=25\)입니다. 점 \((1,5)\)를 대입하면 \(3^2+4^2=25\)이므로 이 점은 원 위에 있습니다.