22개정 · 도형의 방정식

직선의 방정식

직선의 방정식은 한 직선 위의 모든 점이 만족하는 공통 조건입니다. 기울기와 한 점, 두 점, 절편, 일반형의 계수를 서로 연결하면 다양한 도형 문제를 식으로 해결할 수 있습니다.

1. 직선의 방정식이 뜻하는 것

좌표평면의 점 \((x,y)\) 중에서 하나의 일차방정식을 만족하는 점을 모두 모으면 직선이 됩니다. 예를 들어 \(y=2x+1\)에는 \((0,1)\), \((1,3)\), \((-1,-1)\)처럼 식을 참으로 만드는 모든 점이 놓입니다.

점이 직선 위에 있다: 그 점의 좌표를 방정식에 대입했을 때 등식이 성립합니다.
직선의 방정식을 구한다: 주어진 조건을 만족하는 모든 점의 공통 식을 찾습니다.
직선을 그린다: 방정식을 만족하는 서로 다른 두 점을 찾아 연결하면 충분합니다.

2. 기울기는 방향을 나타내는 비율

기울기 = 세로 변화량 ÷ 가로 변화량같은 직선 위에서 어느 두 점을 택해도 닮은 직각삼각형이 만들어져 변화량의 비가 일정합니다.

서로 다른 두 점 \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)를 지나는 직선에서 \(x_1\ne x_2\)이면 기울기는

\[ \boxed{m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \]

\(m>0\): x가 증가할 때 그래프가 올라갑니다.
\(m<0\): x가 증가할 때 그래프가 내려갑니다.
\(m=0\): 수평선이며 방정식은 \(y=b\)입니다.
\(x_1=x_2\): 분모가 0이어서 기울기를 정의할 수 없고, 수직선의 방정식은 \(x=a\)입니다.

두 점의 순서를 동시에 바꾸면 분자와 분모의 부호가 모두 바뀌므로 기울기는 그대로입니다.

3. 한 점과 기울기

기울기가 \(m\)이고 점 \(P(x_1,y_1)\)을 지나는 직선 위의 임의의 점을 \(X(x,y)\)라 하면

\[ m=\frac{y-y_1}{x-x_1} \quad\Rightarrow\quad \boxed{y-y_1=m(x-x_1)} \]

이를 점-기울기형이라고 합니다. 주어진 점을 식에 바로 넣을 수 있어 가장 안전한 출발식입니다.

4. 두 점을 지나는 직선

\(x_1\ne x_2\)이면 먼저 두 점으로 기울기를 구한 뒤 점-기울기형에 넣습니다.

\[ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \]

\(x_1=x_2\)이면 기울기 공식을 사용하지 않고 바로 \(x=x_1\)이라 씁니다.

5. 기울기-절편형

수직선이 아닌 직선은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\[ \boxed{y=mx+b} \]

\(m\)은 기울기이고 \(b\)는 y축과 만나는 점 \((0,b)\)의 y좌표입니다. 그래프를 빠르게 읽고 그릴 때 편리합니다.

6. 일반형

직선의 방정식을 한쪽으로 정리하면

\[ \boxed{ax+by+c=0}\qquad(a,b\text{가 동시에 }0\text{은 아님}) \]

\(b\ne0\)이면 \(y=-\frac abx-\frac cb\)이므로 기울기는 \(-a/b\)입니다. \(b=0\)이면 \(x=-c/a\)인 수직선입니다. 일반형은 수직선까지 한 식으로 다룰 수 있고 평행·수직 조건을 계수로 판단하기 좋습니다.

7. 절편으로 직선 그리기

\(ax+by+c=0\)에서 \(y=0\)을 대입하면 x절편, \(x=0\)을 대입하면 y절편을 얻습니다. 두 절편이 각각 \(p,q\)이고 둘 다 0이 아니면

\[ \frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1 \]

입니다. 두 절편을 좌표평면에 표시해 연결하면 직선을 빠르게 그릴 수 있습니다.

8. 주어진 정보에 맞는 식 선택하기

주어진 정보	추천 출발식	주의할 점
기울기와 y절편	\(y=mx+b\)	수직선에는 사용할 수 없습니다.
기울기와 한 점	\(y-y_1=m(x-x_1)\)	괄호 안 좌표의 부호를 확인합니다.
서로 다른 두 점	기울기 계산 후 점-기울기형	x좌표가 같은지 먼저 확인합니다.
축과 평행	\(y=b\) 또는 \(x=a\)	수평선과 수직선을 바꾸지 않습니다.
평행·수직 조건	기울기 또는 일반형 계수	수직선 예외는 일반형이 더 안전합니다.

9. 두 직선의 평행 조건

수직선이 아닌 서로 다른 두 직선의 기울기가 \(m_1,m_2\)일 때

\[ \boxed{m_1=m_2\Rightarrow \text{평행}} \]

일반형 \(l_1:a_1x+b_1y+c_1=0\), \(l_2:a_2x+b_2y+c_2=0\)에서는

\[ \boxed{a_1b_2-a_2b_1=0} \]

이면 두 직선의 방향이 같습니다. 단, 세 계수 전체가 같은 비율이면 서로 다른 평행선이 아니라 같은 직선일 수 있으므로 별도로 확인합니다.

10. 두 직선의 수직 조건

두 기울기가 모두 정의되면 수직 조건은

\[ \boxed{m_1m_2=-1} \]

입니다. 즉, 한 기울기가 \(m\ne0\)이면 수직인 직선의 기울기는 \(-1/m\)입니다. 일반형에서는 수평·수직선까지 포함하여

\[ \boxed{a_1a_2+b_1b_2=0} \]

을 사용할 수 있습니다. 수평선 \(y=b\)와 수직선 \(x=a\)는 서로 수직이지만, 수직선의 기울기는 정의되지 않으므로 기울기 곱을 억지로 계산하지 않습니다.

11. 점과 직선 사이의 거리

점 \(P(x_0,y_0)\)에서 직선 \(l:ax+by+c=0\)까지의 거리는 \(P\)에서 \(l\)에 내린 수선의 길이입니다.

\[ \boxed{d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}} \]

\((a,b)\)는 직선에 수직인 방향을 나타냅니다. 분자 \(ax_0+by_0+c\)는 점을 직선의 식에 대입한 값이고, 분모 \(\sqrt{a^2+b^2}\)는 계수의 크기를 보정합니다. 따라서 방정식 전체를 같은 수로 곱해도 거리는 변하지 않습니다.

직선의 식을 반드시 \(ax+by+c=0\)으로 정리합니다.
점의 좌표를 분자에 대입하고 절댓값을 취합니다.
\(\sqrt{a^2+b^2}\)로 나누고 근호를 정리합니다.

같은 \(a,b\)를 가진 평행선 \(ax+by+c_1=0\), \(ax+by+c_2=0\) 사이의 거리는 한 직선 위의 점에서 다른 직선까지의 거리이므로

\[ d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}} \]

입니다. 두 식의 x, y 계수가 다르면 먼저 같은 계수로 맞춰야 합니다.

12. 대표 예제

예제 1: 한 점과 기울기

점 \((2,-1)\)을 지나고 기울기가 3인 직선은

\[ y+1=3(x-2)\Rightarrow y=3x-7. \]

예제 2: 두 점을 지나는 직선

\(A(-1,4)\), \(B(3,-2)\)를 지나면 \(m=(-2-4)/(3+1)=-3/2\)이므로

\[ y-4=-\frac32(x+1) \Rightarrow 3x+2y-5=0. \]

두 점을 마지막 식에 대입하면 모두 0이 되어 검산할 수 있습니다.

예제 3: 수직선

\((-4,1)\), \((-4,6)\)은 x좌표가 같으므로 직선의 방정식은 \(x=-4\)입니다.

예제 4: 일반형에서 정보 읽기

\(3x-2y+6=0\)을 정리하면 \(y=\frac32x+3\)입니다. 따라서 기울기는 \(3/2\), y절편은 3, x절편은 \(-2\)입니다.

예제 5: 주어진 직선과 평행

\(2x-3y+4=0\)과 평행하고 \((3,-1)\)을 지나는 직선은 앞의 두 계수를 유지하여 \(2x-3y+c=0\)으로 둡니다.

\[ 2(3)-3(-1)+c=0\Rightarrow c=-9, \]

따라서 \(2x-3y-9=0\)입니다.

예제 6: 주어진 직선과 수직

\(x+2y-5=0\)과 수직인 직선의 일반형을 \(2x-y+c=0\)으로 둘 수 있습니다. 두 법선계수의 내적이 \(1\cdot2+2\cdot(-1)=0\)이기 때문입니다. 이 직선이 \((2,3)\)을 지나므로 \(c=-1\), 즉

\[ 2x-y-1=0 \]

입니다.

예제 7: 문자가 있는 직선

직선 \((k-1)x+2y-3=0\)이 점 \((1,2)\)를 지나면

\[ (k-1)+4-3=0\Rightarrow k=0. \]

예제 8: 선분의 수직이등분선

\(A(-2,1)\), \(B(4,5)\)의 중점은 \((1,3)\), \(AB\)의 기울기는 \(2/3\)입니다. 수직이등분선의 기울기는 \(-3/2\)이므로

\[ y-3=-\frac32(x-1) \Rightarrow 3x+2y-9=0. \]

예제 9: 점과 직선 사이의 거리

점 \(P(2,-1)\)과 직선 \(3x-4y+5=0\) 사이의 거리는

\[ d=\frac{|3(2)-4(-1)+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} =\frac{15}{5}=3. \]

13. 문제 해결과 검산 전략

직선이 수직선인지 먼저 확인합니다.
주어진 정보에 맞는 표현을 선택합니다.
두 점으로 기울기를 구할 때 분자와 분모의 점 순서를 맞춥니다.
점-기울기형에서 시작해 요구된 형태로 정리합니다.
주어진 점을 최종식에 대입하여 등식이 성립하는지 확인합니다.
평행 문제는 기울기 또는 \(a_1b_2-a_2b_1\), 수직 문제는 기울기 곱 또는 \(a_1a_2+b_1b_2\)로 다시 확인합니다.

14. 자주 하는 실수

기울기에서 x좌표는 \(x_2-x_1\), y좌표는 \(y_1-y_2\)처럼 서로 다른 순서로 빼는 실수
x좌표가 같은 두 점에 기울기 공식을 적용하여 0으로 나누는 실수
\((x_1,y_1)=(-2,3)\)일 때 \(x-x_1=x-2\)로 쓰는 부호 실수
평행한 직선의 y절편까지 같게 만들어 같은 직선을 쓰는 실수
수직 기울기를 단순히 부호만 바꾸거나 역수만 취하는 실수
수평선 \(y=b\)와 수직선 \(x=a\)을 뒤바꾸는 실수
일반형에서 기울기를 \(a/b\)로 읽고 앞의 음수를 빠뜨리는 실수
점과 직선 사이 거리 공식에서 절댓값이나 분모 \(\sqrt{a^2+b^2}\)를 빠뜨리는 실수
평행선 사이의 거리를 구할 때 두 직선의 x, y 계수를 먼저 맞추지 않는 실수
구한 방정식이 주어진 점을 실제로 지나는지 검산하지 않는 실수

15. 연습문제

(1) 점 \((2,-1)\)을 지나고 기울기가 3인 직선의 방정식을 구하세요.

(2) 두 점 \((-2,5)\), \((4,-1)\)을 지나는 직선의 방정식을 구하세요.

(3) 두 점 \((3,2)\), \((3,-4)\)를 지나는 직선의 방정식을 구하세요.

(4) \(4x+2y-8=0\)의 기울기, x절편, y절편을 구하세요.

(5) \(3x+y-2=0\)과 평행하고 점 \((-1,4)\)를 지나는 직선의 방정식을 구하세요.

(6) \(2x-y+1=0\)과 수직이고 점 \((1,1)\)을 지나는 직선의 방정식을 구하세요.

(7) \(kx+3y-6=0\)과 \(2x-y+4=0\)이 평행할 때 \(k\)를 구하세요.

(8) \(ax+2y-5=0\)과 \(3x-6y+1=0\)이 수직일 때 \(a\)를 구하세요.

(9) 점 \((2,1)\)이 직선 \((t+1)x-ty+3=0\) 위에 있을 때 \(t\)를 구하세요.

(10) \(A(0,2)\), \(B(4,0)\)를 잇는 선분의 수직이등분선의 방정식을 구하세요.

(11) x절편이 6이고 y절편이 \(-3\)인 직선의 방정식을 구하세요.

(12) \(y=1.5x+2\)가 시간 \(x\)시간과 물의 높이 \(y\)cm의 관계를 나타낼 때 기울기와 y절편을 상황에 맞게 해석하세요.

(13) 점 \(P(1,2)\)와 직선 \(2x-y+4=0\) 사이의 거리를 구하세요.

(14) 두 평행선 \(3x-4y+2=0\), \(3x-4y-8=0\) 사이의 거리를 구하세요.

연습문제 해설 보기

(1) \(y+1=3(x-2)\)이므로 \(y=3x-7\).

(2) 기울기는 \(-1\). \(y-5=-(x+2)\)이므로 \(x+y-3=0\).

(3) x좌표가 모두 3이므로 \(x=3\).

(4) \(y=-2x+4\)이므로 기울기는 \(-2\), x절편은 \((2,0)\), y절편은 \((0,4)\).

(5) \(3x+y+c=0\)에 \((-1,4)\)를 대입하면 \(c=-1\). 따라서 \(3x+y-1=0\).

(6) 주어진 직선의 기울기는 2이므로 수직인 기울기는 \(-1/2\). \(y-1=-\frac12(x-1)\), 즉 \(x+2y-3=0\).

(7) \(k\cdot(-1)-2\cdot3=0\)이므로 \(k=-6\).

(8) 일반형 수직 조건에서 \(3a+2(-6)=0\)이므로 \(a=4\).

(9) \(2(t+1)-t+3=0\)이므로 \(t=-5\).

(10) 중점은 \((2,1)\), \(AB\)의 기울기는 \(-1/2\)이므로 수직이등분선의 기울기는 2. 따라서 \(y-1=2(x-2)\), 즉 \(2x-y-3=0\).

(11) \(\frac{x}{6}+\frac{y}{-3}=1\)이므로 \(x-2y=6\).

(12) 기울기 1.5는 시간이 1시간 늘 때 물의 높이가 1.5 cm씩 증가함을 뜻합니다. y절편 2는 측정을 시작한 \(x=0\)일 때 높이가 2 cm임을 뜻합니다.

(13) \(d=\frac{|2(1)-2+4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac4{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}\).

(14) x, y 계수가 같으므로 \(d=\frac{|2-(-8)|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=2\).

Checkpoint

점 \((2,-1)\)을 지나고 기울기가 3인 직선의 방정식을 점-기울기형과 일반형으로 나타내고, 점 \((3,2)\)가 이 직선 위에 있는지 확인하세요.

정답과 해설 보기

점-기울기형은 \(y+1=3(x-2)\)입니다. 정리하면 \(3x-y-7=0\)입니다. \((3,2)\)를 대입하면 \(9-2-7=0\)이므로 이 점은 직선 위에 있습니다.