22개정 · 함수와 그래프
일차함수와 이차함수의 그래프
일차함수는 입력이 일정하게 변할 때 출력도 일정한 양만큼 변하고, 이차함수는 변화율이 일정하게 달라지며 포물선을 만듭니다. 식을 기울기·절편·꼭짓점·근의 정보로 바꾸면 그래프를 정확하고 빠르게 그릴 수 있습니다.
1. 일차함수와 일정한 변화율
일차함수는 \(m\ne0\)인 두 상수 m, b에 대하여 \(f(x)=mx+b\) 꼴로 나타나는 함수입니다. 그래프는 직선이며 m은 x가 1만큼 증가할 때 함수값이 변하는 양입니다.
\(m>0\)이면 오른쪽으로 갈수록 증가하고, \(m<0\)이면 감소합니다. \(m=0\)이면 \(f(x)=b\)인 상수함수입니다.
2. 기울기를 그래프에서 읽기
기울기는 직선의 가파른 정도와 방향을 함께 나타냅니다. 분모와 분자의 순서를 바꾸거나 두 점을 뺄 때 순서를 다르게 사용하지 않도록 주의하세요.
3. 일차함수의 세 가지 식
| 형태 | 식 | 바로 읽을 수 있는 정보 |
|---|---|---|
| 기울기-절편형 | \(y=mx+b\) | 기울기 m, y절편 \((0,b)\) |
| 점-기울기형 | \(y-y_1=m(x-x_1)\) | 기울기 m, 지나는 점 \((x_1,y_1)\) |
| 일반형 | \(Ax+By+C=0\) | 절편과 직선 사이의 관계 |
\(B\ne0\)이면 일반형의 기울기는 \(-\frac AB\), y절편은 \(-\frac CB\)입니다. 문제에서 주어진 정보에 가장 가까운 형태를 먼저 사용하세요.
4. 두 점으로 직선 구하기
서로 다른 두 점 \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)가 주어지면 먼저 기울기를 구하고 점-기울기형에 대입합니다.
예제. \((1,4)\), \((3,10)\)을 지나는 직선을 구하세요.
마지막에 두 점을 식에 다시 대입하면 계산 오류를 검산할 수 있습니다.
5. 절편, 영점, 함수의 부호
\(f(x)=mx+b\)에서 y절편은 \(f(0)=b\), x절편은 \(f(x)=0\)의 해입니다.
그래프가 x축보다 위에 있으면 \(f(x)>0\), 아래에 있으면 \(f(x)<0\)입니다. 방정식과 부등식의 해를 그래프로 해석할 수 있습니다.
6. 평행과 수직
서로 다른 두 직선의 기울기가 같으면 평행입니다. 두 기울기가 모두 정의되고 두 직선이 수직이면 기울기의 곱은 -1입니다.
수평선의 기울기는 0이고 수직선의 기울기는 정의되지 않지만 두 직선은 서로 수직입니다. \(y=mx+b\) 꼴로 나타낼 수 없는 수직선은 x에 대한 함수의 그래프가 아닙니다.
7. 일차함수로 상황 모델링하기
초깃값과 단위당 변화량이 일정한 상황은 일차함수로 나타낼 수 있습니다.
물통에 처음 120 L가 있고 매분 8 L씩 물이 빠진다면 t분 뒤 물의 양은 \(V(t)=120-8t\)입니다. 기울기 -8은 매분 8 L 감소함을, y절편 120은 처음 양을 뜻합니다. 현실적인 정의역은 \(0\le t\le15\)입니다.
8. 이차함수와 포물선
이차함수는 \(a\ne0\)인 상수 a, b, c에 대하여 \(f(x)=ax^2+bx+c\)로 나타나는 함수입니다. 그래프는 하나의 대칭축과 꼭짓점을 갖는 포물선입니다.
9. 이차함수의 세 가지 형태
| 형태 | 식 | 바로 읽을 수 있는 정보 |
|---|---|---|
| 표준형 | \(f(x)=ax^2+bx+c\) | y절편 \((0,c)\), 계수 |
| 꼭짓점형 | \(f(x)=a(x-p)^2+q\) | 꼭짓점 \((p,q)\), 축 \(x=p\) |
| 인수분해형 | \(f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\) | x절편 \(r_1,r_2\) |
하나의 이차함수를 여러 형태로 바꾸면 그래프의 중요한 정보를 모두 얻을 수 있습니다.
따라서 꼭짓점은 \((2,-1)\), 축은 \(x=2\), x절편은 \((1,0),(3,0)\), y절편은 \((0,3)\)입니다.
10. 완전제곱으로 꼭짓점 찾기
표준형을 꼭짓점형으로 바꾸려면 \(x^2\)과 x항을 묶어 완전제곱식을 만듭니다.
따라서 대칭축과 꼭짓점은
입니다. 공식을 외우더라도 완전제곱으로 결과를 확인하면 부호 실수를 줄일 수 있습니다.
11. 계수 a가 그래프에 주는 영향
- \(a>0\): 위로 열리고 꼭짓점에서 최솟값을 가집니다.
- \(a<0\): 아래로 열리고 꼭짓점에서 최댓값을 가집니다.
- \(|a|\)가 클수록 같은 y변화에 필요한 x변화가 작아져 그래프가 더 좁아 보입니다.
- \(|a|\)가 작을수록 그래프가 더 넓어 보입니다.
꼭짓점형 \(a(x-p)^2+q\)에서 p는 좌우 이동, q는 상하 이동을 결정합니다.
12. 절편과 판별식
x절편은 \(ax^2+bx+c=0\)의 실근입니다. 판별식 \(D=b^2-4ac\)의 부호로 x축과 만나는 횟수를 알 수 있습니다.
| 판별식 | 실근 | 그래프와 x축 |
|---|---|---|
| \(D>0\) | 서로 다른 두 실근 | 두 점에서 만남 |
| \(D=0\) | 중근 하나 | 꼭짓점에서 접함 |
| \(D<0\) | 실근 없음 | 만나지 않음 |
y절편은 항상 \((0,c)\)입니다. 절편과 꼭짓점, 대칭축을 함께 표시하면 포물선의 위치를 안정적으로 정할 수 있습니다.
13. 이차함수 그래프 그리는 순서
- a의 부호로 열리는 방향을 정합니다.
- 완전제곱 또는 \(x=-\frac b{2a}\)로 꼭짓점과 축을 구합니다.
- \(f(0)\)으로 y절편을 구합니다.
- 방정식 \(f(x)=0\)을 풀 수 있으면 x절편을 구합니다.
- 축에 대칭인 점들을 짝지어 표시합니다.
- 정의역 제한과 끝점이 있으면 그 범위만 그립니다.
14. 최댓값과 최솟값
정의역이 실수 전체이면 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값을 가집니다.
- \(a>0\): \(x=p\)에서 최솟값 q, 최댓값은 없습니다.
- \(a<0\): \(x=p\)에서 최댓값 q, 최솟값은 없습니다.
정의역이 닫힌구간이면 꼭짓점이 구간 안에 있는지 확인하고 꼭짓점과 양 끝점의 함수값을 비교합니다.
예제. \(f(x)=-(x-2)^2+5\), \(0\le x\le5\)에서 최댓값과 최솟값을 구하세요.
꼭짓점에서 \(f(2)=5\), 양 끝점에서 \(f(0)=1,\ f(5)=-4\)이므로 최댓값은 5, 최솟값은 -4입니다.
15. 직선과 포물선의 교점
두 그래프의 교점에서는 같은 x에 대한 y값이 같으므로 두 함수식을 같게 놓습니다.
예제. \(y=x^2\)과 \(y=2x+3\)의 교점을 구하세요.
\(x=-1,3\)이고 각 식에 대입하면 교점은 \((-1,1)\), \((3,9)\)입니다. 만들어진 이차방정식의 판별식은 교점의 개수를 알려 줍니다.
16. 이차함수로 상황 모델링하기
일정한 중력 아래의 높이, 넓이의 최대화처럼 변화율이 일정하게 변하는 상황은 이차함수로 모델링할 수 있습니다.
지면에서 공을 위로 던졌을 때 t초 후 높이를 \(h(t)=-5t^2+20t+1\) m로 나타낸다고 합시다.
공은 \(t=2\)초에 최고 높이 21 m에 도달합니다. 시간은 음수가 될 수 없고 공이 땅에 닿은 뒤에는 이 식을 적용하지 않으므로 문맥에 맞는 정의역을 함께 정해야 합니다.
17. 자주 하는 실수
- 기울기를 구할 때 x와 y의 변화량 순서를 뒤집습니다.
- 두 점을 뺄 때 분자와 분모에서 서로 다른 순서를 사용합니다.
- \(a(x-p)^2+q\)의 꼭짓점을 \((-p,q)\)로 잘못 읽습니다.
- 대칭축 \(x=p\)를 점이나 y값으로 씁니다.
- 판별식이 0일 때 x축과 만나지 않는다고 판단합니다.
- 제한된 구간의 최대·최소에서 양 끝점을 확인하지 않습니다.
- 그래프의 교점에서 x좌표만 구하고 y좌표를 구하지 않습니다.
18. 연습문제
(1) \(f(x)=3x-6\)의 기울기, x절편, y절편을 구하세요.
(2) 두 점 \((-2,5)\), \((4,-7)\)을 지나는 직선의 방정식을 구하세요.
(3) 점 \((2,-1)\)을 지나고 \(y=4x+3\)과 평행한 직선의 방정식을 구하세요.
(4) 점 \((-1,2)\)을 지나고 \(y=-\frac12x+4\)와 수직인 직선의 방정식을 구하세요.
(5) \(f(x)=-2x+4\)에 대하여 \(f(x)>0\)인 x의 범위를 그래프와 연결하여 구하세요.
(6) \(f(x)=x^2-6x+5\)를 꼭짓점형과 인수분해형으로 각각 나타내세요.
(7) (6)의 꼭짓점, 대칭축, x절편, y절편을 구하세요.
(8) \(y=2x^2+4x+5\)가 x축과 만나는 횟수를 판별식으로 판단하세요.
(9) x절편이 -2와 3이고 점 \((1,-6)\)을 지나는 이차함수의 식을 구하세요.
(10) \(f(x)=-3(x+1)^2+7\)의 최댓값과 그때의 x값을 구하세요.
(11) \(f(x)=(x-1)^2-2\), \(-1\le x\le4\)에서 최댓값과 최솟값을 구하세요.
(12) 직선 \(y=x+1\)과 포물선 \(y=x^2-x-1\)의 교점을 구하세요.
(13) \(y=x^2\)의 그래프를 오른쪽으로 3, 아래로 4만큼 평행이동하고 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식을 구하세요.
(14) 가로와 세로의 합이 20 m인 직사각형의 넓이를 가로 길이 x의 함수로 나타내고, 넓이의 최댓값과 그때의 두 변의 길이를 구하세요.
연습문제 해설 보기
(1) 기울기는 3, y절편은 \((0,-6)\), \(3x-6=0\)에서 x절편은 \((2,0)\).
(2) \(m=\frac{-7-5}{4-(-2)}=-2\). \(y-5=-2(x+2)\)이므로 \(y=-2x+1\).
(3) 기울기는 4. \(y+1=4(x-2)\)이므로 \(y=4x-9\).
(4) 수직인 직선의 기울기는 2. \(y-2=2(x+1)\)이므로 \(y=2x+4\).
(5) \(-2x+4>0\)에서 \(x<2\). 그래프가 x축보다 위에 있는 범위입니다.
(6) \(f(x)=(x-3)^2-4=(x-1)(x-5)\).
(7) 꼭짓점 \((3,-4)\), 축 \(x=3\), x절편 \((1,0),(5,0)\), y절편 \((0,5)\).
(8) \(D=4^2-4\cdot2\cdot5=-24<0\)이므로 x축과 만나지 않습니다.
(9) \(f(x)=a(x+2)(x-3)\). \(f(1)=-6a=-6\)에서 \(a=1\), 따라서 \(f(x)=(x+2)(x-3)\).
(10) 아래로 열린 포물선이므로 \(x=-1\)에서 최댓값 7.
(11) 꼭짓점 \(x=1\)에서 최솟값 -2. 끝점 함수값은 \(f(-1)=2,\ f(4)=7\)이므로 최댓값은 7.
(12) \(x+1=x^2-x-1\)에서 \(x^2-2x-2=0\), \(x=1\pm\sqrt3\). \(y=x+1\)이므로 교점은 \((1-\sqrt3,2-\sqrt3)\), \((1+\sqrt3,2+\sqrt3)\).
(13) 평행이동하면 \(y=(x-3)^2-4\), x축 대칭 후 \(y=-(x-3)^2+4\).
(14) 세로는 \(20-x\)이므로 \(A(x)=x(20-x)=-(x-10)^2+100\), \(0<x<20\). 최댓값은 100 \(\mathrm{m}^2\), 두 변은 각각 10 m입니다.
(f(x)=2(x-1)^2-3)의 꼭짓점, 대칭축, 열리는 방향과 최솟값을 구하세요. 이 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표도 구하세요.
정답과 해설 보기
꼭짓점은 \((1,-3)\), 대칭축은 \(x=1\)입니다. \(a=2>0\)이므로 위로 열리고 \(x=1\)에서 최솟값 -3을 가집니다. x절편은 \(2(x-1)^2-3=0\)에서 \((x-1)^2=\frac32\)이므로 \(x=1\pm\sqrt{\frac32}=1\pm\frac{\sqrt6}{2}\)입니다.