22개정 · 집합과 명제
집합의 뜻과 연산
집합은 대상을 분명한 기준으로 분류하는 수학의 언어입니다. 원소와 부분집합을 구분하고 합집합, 교집합, 여집합, 차집합의 의미와 법칙을 익히면 명제와 함수의 조건을 더 정확하게 다룰 수 있습니다.
1. 집합이 되기 위한 조건
주어진 조건에 따라 어떤 대상이 모임에 속하는지 속하지 않는지를 누구나 분명하게 판단할 수 있을 때 그 모임을 집합이라고 합니다.
- “12의 양의 약수의 모임”은 포함 여부가 명확하므로 집합입니다.
- “우리 반에서 안경을 쓴 학생의 모임”도 관찰 기준이 명확하므로 집합입니다.
- “멋진 노래의 모임”, “키가 큰 학생의 모임”은 기준이 정해지지 않으면 판단이 사람마다 달라 집합으로 보기 어렵습니다.
대상의 모임이라는 말만으로는 충분하지 않습니다. 소속 기준의 명확성이 핵심입니다.
2. 집합과 원소
집합을 이루는 각각의 대상을 원소라고 합니다. \(a\)가 \(A\)의 원소이면 \(a\in A\), 원소가 아니면 \(a\notin A\)라고 씁니다.
\(\in\)은 하나의 대상과 집합 사이의 관계를 나타냅니다.
3. 집합을 나타내는 두 방법
원소나열법은 원소를 중괄호 안에 나열합니다.
조건제시법은 원소가 만족해야 할 조건을 씁니다.
조건제시법에서는 수의 범위와 소속 집합을 분명히 해야 합니다.
4. 집합 표현의 약속
- 원소의 나열 순서는 집합을 바꾸지 않습니다.
- 같은 원소를 여러 번 써도 한 번만 센 것으로 봅니다.
- \(\{1,2,2,3\}=\{3,2,1\}\)입니다.
- \(\{1,2\}\)와 \((1,2)\)는 다릅니다. 앞은 집합, 뒤는 문맥에 따라 순서쌍이나 열린구간입니다.
5. 유한집합, 무한집합, 공집합
원소의 개수가 유한하면 유한집합, 끝없이 많으면 무한집합입니다. 집합 \(A\)의 원소 개수는 \(n(A)\)로 나타냅니다.
원소가 하나도 없는 집합은 공집합 \(\emptyset\)입니다. \(\{\emptyset\}\)은 공집합을 하나의 원소로 가지므로 원소가 1개인 집합입니다.
6. 부분집합과 집합의 포함 관계
집합 \(A\)의 모든 원소가 \(B\)에도 속할 때 \(A\)는 \(B\)의 부분집합이라고 하며
라고 씁니다. \(A\subseteq B\)이면서 \(A\ne B\)이면 진부분집합 \(A\subsetneq B\)입니다.
- 모든 집합은 자기 자신의 부분집합입니다.
- 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다.
- \(A\subseteq B\)이고 \(B\subseteq A\)이면 \(A=B\)입니다.
- \(\in\)은 원소와 집합 사이, \(\subseteq\)는 집합과 집합 사이에 사용합니다.
7. 부분집합의 개수
원소가 \(n\)개인 집합에서 각 원소는 부분집합에 “포함” 또는 “미포함”의 두 선택을 가집니다. 따라서 부분집합의 개수는
입니다. 공집합과 자기 자신도 포함합니다. 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합을 멱집합이라고 합니다.
8. 벤 다이어그램으로 연산 보기
벤 다이어그램은 집합 연산을 영역으로 보여 줍니다. 복잡한 식은 가장 안쪽 괄호부터 영역을 정하고, 여집합이면 전체집합 안에서 그 영역의 바깥을 선택합니다.
9. 합집합과 교집합
수학에서 “또는”은 둘 다인 경우도 포함합니다. \(A\cap B=\emptyset\)이면 두 집합은 서로소입니다.
10. 전체집합과 여집합
논의하는 대상 전체를 모은 집합을 전체집합 \(U\)라고 합니다. \(A\subseteq U\)일 때
입니다. 여집합은 전체집합이 무엇인지에 따라 달라지므로 \(U\)를 먼저 확인해야 합니다.
11. 차집합
\(A\)에는 속하지만 \(B\)에는 속하지 않는 원소의 집합은
입니다. 일반적으로 \(A-B\ne B-A\)이므로 뺄셈처럼 순서를 지켜야 합니다.
12. 집합의 연산법칙
| 법칙 | 합집합 | 교집합 |
|---|---|---|
| 교환법칙 | \(A\cup B=B\cup A\) | \(A\cap B=B\cap A\) |
| 결합법칙 | \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\) | \((A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\) |
| 분배법칙 | \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\) | \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\) |
| 항등·지배 | \(A\cup\emptyset=A,\ A\cup U=U\) | \(A\cap U=A,\ A\cap\emptyset=\emptyset\) |
| 멱등법칙 | \(A\cup A=A\) | \(A\cap A=A\) |
| 흡수법칙 | \(A\cup(A\cap B)=A\) | \(A\cap(A\cup B)=A\) |
법칙을 외우는 것에 그치지 말고 임의의 원소 \(x\)가 양변에 속하는 조건이 같은지 또는 벤 다이어그램의 영역이 같은지 확인합니다.
13. 여집합과 드모르간 법칙
합집합이나 교집합 전체의 여집합을 취하면 연산이 서로 바뀝니다.
“A 또는 B가 아니다”는 둘 다 아닌 것이고, “A와 B를 동시에 만족하는 것은 아니다”는 적어도 하나를 만족하지 않는 것입니다.
14. 수의 범위와 집합 연산
부등식의 해집합도 집합입니다. 수직선을 그리면 구간의 합집합, 교집합, 차집합을 정확히 찾을 수 있습니다.
예를 들어 \(A=(-\infty,2]\), \(B=(0,5)\)이면
15. 대표 예제
예제 1: 집합인지 판별
“12의 양의 약수”는 \(\{1,2,3,4,6,12\}\)로 분명히 정해지므로 집합입니다. “좋은 수학 문제”는 좋은 것의 기준이 없으면 집합이 아닙니다.
예제 2: 표현 바꾸기
\(A=\{x\in\mathbb Z\mid-2\le x<3\}\)을 원소나열법으로 쓰면
예제 3: 같은 집합
\(A=\{1,2,2,3\}\), \(B=\{3,2,1\}\)은 원소의 종류가 완전히 같으므로 \(A=B\)입니다.
예제 4: 모든 부분집합
\(A=\{a,b\}\)의 부분집합은 \(\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\)의 4개입니다. \(2^2=4\)와 일치합니다.
예제 5: 네 가지 연산
\(U=\{1,2,\ldots,10\}\), \(A=\{2,4,6,8,10\}\), \(B=\{2,3,5,7\}\)이면
예제 6: 구간의 연산
\(A=(-\infty,2]\), \(B=(0,5)\)에서는 수직선의 겹친 부분이 \((0,2]\), 모두 합친 부분이 \((-\infty,5)\)입니다.
예제 7: 흡수법칙
\(A\cap(A\cup B)\)에 속하려면 먼저 \(A\)에 속해야 합니다. \(A\)에 속하면 두 번째 조건은 자동으로 만족하므로 결과는 \(A\)입니다.
예제 8: 드모르간 법칙
\((A\cup B)^c\)는 A에도 없고 B에도 없는 원소이므로 \(A^c\cap B^c\)입니다.
예제 9: 미지의 집합
\(A\subseteq B\), \(A\cup X=B\), \(A\cap X=\emptyset\)을 모두 만족하는 \(X\)는 \(B-A\)입니다. B에서 A에 이미 있는 원소를 제외한 나머지를 정확히 채워야 합니다.
예제 10: 일상 언어 번역
전체 학생을 \(U\), 수학 동아리 학생을 \(M\), 과학 동아리 학생을 \(S\)라 하면 “두 동아리 모두”는 \(M\cap S\), “적어도 하나”는 \(M\cup S\), “어느 동아리에도 속하지 않음”은 \((M\cup S)^c\)입니다.
16. 문제 해결 절차
- 전체집합과 각 집합의 원소 조건을 확인합니다.
- \(\in\)과 \(\subseteq\) 중 어느 관계를 묻는지 구분합니다.
- 문장의 “또는”, “그리고”, “아닌”을 집합 기호로 번역합니다.
- 복잡한 연산은 가장 안쪽 괄호부터 계산하거나 표시합니다.
- 여집합은 전체집합 안에서만 구합니다.
- 필요하면 드모르간 법칙과 분배·흡수법칙으로 식을 단순화합니다.
- 마지막 원소를 원래 조건에 대입하여 빠진 원소나 중복이 없는지 확인합니다.
17. 자주 하는 실수
- 주관적인 조건의 모임을 집합이라고 판단하는 실수
- 원소의 반복 횟수나 나열 순서가 집합을 바꾼다고 생각하는 실수
- \(a\in A\)와 \(\{a\}\subseteq A\)를 구분하지 않는 실수
- 공집합 \(\emptyset\)과 원소가 공집합인 집합 \(\{\emptyset\}\)을 혼동하는 실수
- 부분집합의 개수에서 공집합과 자기 자신을 빠뜨리는 실수
- 합집합에서 공통 원소를 두 번 쓰거나 교집합에서 한쪽에만 있는 원소를 포함하는 실수
- 전체집합을 확인하지 않고 여집합을 구하는 실수
- \(A-B\)와 \(B-A\)를 같다고 생각하는 실수
- 드모르간 법칙에서 여집합만 분배하고 \(\cup,\cap\)을 바꾸지 않는 실수
- 열린구간과 닫힌구간의 끝점 포함 여부를 무시하는 실수
18. 연습문제
(1) “20 이하의 소수의 모임”과 “재미있는 영화의 모임” 중 집합인 것을 판단하고 이유를 설명하세요.
(2) \(A=\{x\in\mathbb Z\mid-3<x\le2\}\)를 원소나열법으로 나타내세요.
(3) \(B=\{3,6,9,12,15\}\)를 조건제시법으로 나타내세요.
(4) \(A=\{1,\{1\},2\}\)일 때 \(1\in A\), \(\{1\}\in A\), \(\{1\}\subseteq A\)의 참·거짓을 판단하세요.
(5) 원소가 5개인 집합의 부분집합과 진부분집합은 각각 몇 개인가요?
(6) \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{3,4,5\}\)일 때 \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(A-B\), \(B-A\)를 구하세요.
(7) \(U=\{1,2,\ldots,8\}\), \(A=\{2,4,6,8\}\)일 때 \(A^c\)를 구하세요.
(8) \(A-B=A\cap B^c\)임을 원소의 소속 조건으로 설명하세요.
(9) \((A\cup B)\cap A^c\)를 간단히 하세요.
(10) \((A\cap B^c)^c\)를 드모르간 법칙으로 간단히 하세요.
(11) \(A=[-2,3)\), \(B=(1,5]\)일 때 \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(A-B\)를 구하세요.
(12) \(A=\{1,3\}\subseteq B=\{1,2,3,4\}\)입니다. \(A\cup X=B\), \(A\cap X=\emptyset\)을 만족하는 \(X\)를 구하세요.
(13) 전체 학생을 \(U\), 수학 동아리를 \(M\), 과학 동아리를 \(S\)라 할 때 “두 동아리 모두”, “적어도 한 동아리”, “어느 동아리에도 속하지 않는 학생”을 집합 기호로 나타내세요.
(14) \(A=\{1\}\), \(B=\{\{1\},2\}\)일 때 \(A\in B\)와 \(A\subseteq B\)의 참·거짓을 판단하여 원소 관계와 부분집합 관계의 차이를 설명하세요.
연습문제 해설 보기
(1) 20 이하의 소수는 포함 여부가 분명하므로 집합입니다. 재미있다는 기준은 주관적이므로 별도 기준이 없으면 집합이 아닙니다.
(2) \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\).
(3) 한 가지 표현은 \(B=\{x\mid x\text{는 }15\text{ 이하의 양의 }3\text{의 배수}\}\).
(4) \(1\in A\)는 참, \(\{1\}\in A\)도 참입니다. 집합 \(\{1\}\)의 유일한 원소 1이 A에 속하므로 \(\{1\}\subseteq A\)도 참입니다.
(5) 부분집합은 \(2^5=32\)개, 자기 자신을 제외한 진부분집합은 31개.
(6) \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), \(A\cap B=\{3,4\}\), \(A-B=\{1,2\}\), \(B-A=\{5\}\).
(7) \(A^c=\{1,3,5,7\}\).
(8) \(x\in A-B\)는 \(x\in A\)이면서 \(x\notin B\)라는 뜻입니다. \(x\notin B\)는 \(x\in B^c\)와 같으므로 \(x\in A\cap B^c\)입니다.
(9) 분배법칙을 사용하면 \((A\cap A^c)\cup(B\cap A^c)=B\cap A^c=B-A\).
(10) \((A\cap B^c)^c=A^c\cup(B^c)^c=A^c\cup B\).
(11) \(A\cap B=(1,3)\), \(A\cup B=[-2,5]\), \(A-B=[-2,1]\).
(12) A에 없는 B의 원소를 정확히 채워야 하므로 \(X=B-A=\{2,4\}\).
(13) \(M\cap S\), \(M\cup S\), \((M\cup S)^c\).
(14) A 자체가 B의 원소이므로 \(A\in B\)는 참입니다. 그러나 A의 원소 1은 B의 원소가 아니므로 \(A\subseteq B\)는 거짓입니다.
\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{3,4,5\}\)일 때 \(A\cup B\), \(A\cap B\), \(A-B\), \((A\cup B)^c\)를 구하고 드모르간 법칙으로 마지막 결과를 확인하세요.
정답과 해설 보기
\(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\), \(A\cap B=\{3,4\}\), \(A-B=\{1,2\}\), \((A\cup B)^c=\{6\}\)입니다. \(A^c=\{5,6\}\), \(B^c=\{1,2,6\}\)이므로 \(A^c\cap B^c=\{6\}\)으로 같은 결과가 나옵니다.