벤 다이어그램과 원소의 개수

1. 원소의 개수와 영역

유한집합 \(A\)의 원소 개수를 \(n(A)\)로 나타냅니다. 벤 다이어그램에서는 전체집합을 직사각형, 부분집합을 원이나 닫힌 곡선으로 나타내고 각 영역에 원소 또는 원소의 개수를 씁니다.

계산의 핵심은 다이어그램을 서로 겹치지 않는 영역으로 나누는 것입니다. 서로 겹치지 않는 영역의 수는 그대로 더할 수 있습니다.

2. 두 집합의 네 영역

두 원이 겹치면 전체집합은 “A만”, “A와 B 모두”, “B만”, “어느 것도 아님”의 네 영역으로 나뉩니다. \(n(A)\)는 A만의 수와 교집합의 수를 더한 값입니다.

3. 두 집합의 포함배제 원리

\(n(A)+n(B)\)를 계산하면 \(A\cap B\)의 원소가 두 번 세어집니다. 한 번만 남기기 위해 교집합의 개수를 한 번 뺍니다.

이 식은 필요한 항을 이항하여 교집합이나 한 집합의 원소 수를 역으로 구할 때도 사용할 수 있습니다.

7. 가능한 데이터인지 검토하기

교집합은 어느 한 집합보다 클 수 없고, 합집합은 전체집합보다 클 수 없습니다.

또한 전체집합의 크기가 \(N\)이면 합집합이 \(N\)을 넘지 않아야 하므로

입니다. 계산 결과가 음수이거나 전체보다 크다면 조건을 잘못 해석했거나 주어진 자료가 서로 모순입니다.

8. 세 집합의 여덟 영역

세 집합은 내부의 일곱 영역과 세 집합 바깥의 한 영역, 모두 여덟 개의 서로 겹치지 않는 영역으로 나뉩니다.

9. 세 집합의 포함배제 원리

세 집합의 원소 수를 모두 더하면 각 쌍의 교집합이 중복됩니다. 세 쌍의 교집합을 빼면 세 겹 교집합은 처음에 세 번 더해지고 다시 세 번 빠져 0번이 되므로 마지막에 한 번 더합니다.

10. 세 집합 벤 다이어그램 채우는 순서

1. 가운데 \(A\cap B\cap C\)를 가장 먼저 씁니다.
2. 각 쌍의 교집합에서 가운데 값을 빼 “두 집합에만” 속하는 영역을 채웁니다.
3. 각 집합의 전체 원소 수에서 그 집합 안의 이미 채운 세 영역을 빼 “그 집합에만” 속하는 영역을 구합니다.
4. 일곱 내부 영역을 더해 합집합의 원소 수를 구합니다.
5. 전체집합에서 합집합을 빼 바깥 영역을 구합니다.

주어진 쌍의 교집합 \(n(A\cap B)\)는 보통 세 겹 교집합을 포함한다는 점이 가장 중요합니다.

11. 문장과 영역의 대응

12. 대표 예제

예제 1: 두 집합의 합집합

\(n(A)=22\), \(n(B)=18\), \(n(A\cap B)=7\)이면

예제 2: 어느 것도 아닌 경우

전체가 40명이고 예제 1의 조건을 만족하면 어느 집합에도 속하지 않는 학생은 \(40-33=7\)명입니다.

예제 3: 정확히 하나

A에만 속하는 학생은 \(22-7=15\)명, B에만 속하는 학생은 \(18-7=11\)명이므로 정확히 하나에 속하는 학생은 26명입니다.

예제 4: 교집합 역산

\(n(A)=24\), \(n(B)=19\), \(n(A\cup B)=35\)이면

예제 5: 교집합의 가능한 범위

전체 50명 중 \(n(A)=30\), \(n(B)=28\)이면 교집합은 적어도 \(30+28-50=8\)명이고 많아도 28명입니다.

예제 6: 포함 관계

\(A\subseteq B\), \(n(A)=14\), \(n(B)=22\)이면 \(n(A\cap B)=14\), \(n(A\cup B)=22\), \(n(B-A)=8\)입니다.

예제 7: 세 집합의 합집합

\(n(A)=50\), \(n(B)=45\), \(n(C)=40\), \(n(A\cap B)=20\), \(n(B\cap C)=18\), \(n(C\cap A)=15\), \(n(A\cap B\cap C)=8\)이면

예제 8: 세 집합의 각 영역

예제 7에서 세 집합 모두는 8명입니다. AB만은 12명, BC만은 10명, CA만은 7명입니다. 따라서 A만은 \(50-12-7-8=23\)명, B만은 15명, C만은 15명입니다.

예제 9: 설문에서 빠진 값

60명 중 국어를 선택한 학생이 35명, 영어가 32명, 어느 것도 선택하지 않은 학생이 8명이면 합집합은 52명입니다. 두 과목 모두 선택한 학생은 \(35+32-52=15\)명입니다.

예제 10: 정확히 두 개와 적어도 두 개

예제 8에서 정확히 두 집합에 속한 학생은 \(12+10+7=29\)명이고, 적어도 두 집합에 속한 학생은 가운데 8명을 더한 37명입니다.

13. 문제 해결 절차

1. 전체집합과 각 집합이 무엇을 뜻하는지 정합니다.
2. “만”, “모두”, “적어도”, “어느 것도 아님”을 정확한 영역으로 번역합니다.
3. 두 집합은 교집합부터, 세 집합은 세 겹 교집합부터 채웁니다.
4. 주어진 집합 전체 수에서 이미 채운 겹치는 영역을 빼 단독 영역을 구합니다.
5. 서로 겹치지 않는 영역만 더해 원하는 값을 구합니다.
6. 모든 내부 영역과 바깥 영역의 합이 전체 수와 같은지 확인합니다.

14. 자료의 일관성 점검

• 각 영역의 원소 수는 음수가 될 수 없습니다.
• 교집합은 그것을 포함하는 어느 집합보다 클 수 없습니다.
• 합집합은 전체집합보다 클 수 없습니다.
• 세 집합에서 세 겹 교집합은 각 쌍의 교집합보다 클 수 없습니다.
• 모든 서로 겹치지 않는 영역의 합은 정확히 전체 원소 수와 같아야 합니다.

15. 자주 하는 실수

• \(n(A)+n(B)\)만 계산하여 교집합을 두 번 세는 실수
• “A와 B 모두”와 “A와 B에만”을 같은 영역으로 보는 실수
• “적어도 하나”를 정확히 하나로 해석하는 실수
• 어느 것도 아닌 수를 구할 때 전체집합에서 빼지 않는 실수
• 세 집합에서 쌍의 교집합 수에 세 겹 교집합이 포함됨을 잊는 실수
• 세 집합의 포함배제 공식 마지막 항을 빼는 실수
• 바깥 영역까지 합집합에 포함하는 실수
• 계산 결과가 음수나 전체 초과인데도 자료를 다시 확인하지 않는 실수

16. 연습문제

(1) \(n(A)=15\), \(n(B)=12\), \(n(A\cap B)=5\)일 때 \(n(A\cup B)\)를 구하세요.

(2) 전체집합의 원소가 30개이고 (1)의 조건을 만족할 때 어느 집합에도 속하지 않는 원소의 개수를 구하세요.

(3) (1)의 조건에서 정확히 한 집합에만 속하는 원소의 개수를 구하세요.

(4) \(n(A)=27\), \(n(B)=24\), \(n(A\cup B)=40\)일 때 \(n(A\cap B)\)를 구하세요.

(5) 전체 45명 중 A를 선택한 학생은 28명, B는 25명, 어느 것도 선택하지 않은 학생은 5명입니다. 둘 다 선택한 학생은 몇 명인가요?

(6) \(A\subseteq B\), \(n(A)=14\), \(n(B)=22\)일 때 \(n(A\cap B)\), \(n(A\cup B)\), \(n(B-A)\)를 구하세요.

(7) A와 B가 서로소이고 \(n(A)=16\), \(n(B)=9\)일 때 \(n(A\cup B)\)를 구하세요.

(8) \(n(A)=30\), \(n(B)=28\), \(n(C)=25\), \(n(A\cap B)=12\), \(n(B\cap C)=10\), \(n(C\cap A)=9\), \(n(A\cap B\cap C)=4\)일 때 합집합의 원소 수를 구하세요.

(9) 전체집합의 원소가 65개이고 (8)의 조건을 만족할 때 어느 집합에도 속하지 않는 원소 수를 구하세요.

(10) (8)의 조건에서 정확히 두 집합에 속하는 원소 수와 적어도 두 집합에 속하는 원소 수를 구하세요.

(11) (8)의 조건에서 A에만, B에만, C에만 속하는 원소 수를 각각 구하세요.

(12) 80명 중 커피를 좋아하는 사람이 45명, 차를 좋아하는 사람이 38명, 둘 다 좋아하는 사람이 20명입니다. 커피만, 차만, 정확히 하나, 어느 것도 좋아하지 않는 사람의 수를 구하세요.

(13) 전체가 40명이고 \(n(A)=30\), \(n(B)=25\), \(n(A\cap B)=10\)이라는 자료가 가능한지 판단하고 이유를 설명하세요.

(14) 전체 원소 수가 \(N\)일 때 \(n(A\cap B)\ge n(A)+n(B)-N\)이어야 하는 이유를 포함배제 원리로 설명하세요.