22개정 · 함수와 그래프
함수의 뜻과 그래프
함수는 정의역의 각 입력에 출력이 정확히 하나씩 정해지는 대응입니다. 대응표, 식, 순서쌍, 그래프는 같은 함수를 서로 다른 방식으로 보여 주며, 모든 표현에서 '입력 하나에 출력 하나'라는 원칙이 유지됩니다.
1. 대응과 함수
두 집합 X, Y에서 X의 원소를 Y의 원소와 짝짓는 규칙을 대응이라고 합니다. 이 대응이 함수가 되려면 다음 두 조건을 동시에 만족해야 합니다.
- X의 모든 원소에 화살표가 있어야 합니다.
- X의 각 원소에서 나가는 화살표는 정확히 하나여야 합니다.
서로 다른 입력이 같은 출력으로 가는 것은 허용됩니다. 또한 Y에 사용되지 않는 원소가 있어도 함수일 수 있습니다.
2. 대응 그림으로 판별하기
3. 정의역, 공역, 치역
\(f:X\to Y\)에서 X는 정의역, Y는 공역입니다. 실제 함수값 전체의 집합이 치역입니다.
앞의 함수 그림에서 정의역은 \(\{1,2,3\}\), 공역은 \(\{a,b,c,d\}\), 치역은 \(\{a,b\}\)입니다. 공역과 치역은 같을 수도, 다를 수도 있습니다.
4. 함수값과 원상
\(f(a)=b\)는 입력 a가 함수 f에 의해 출력 b에 대응한다는 뜻입니다. b를 a에서의 함수값이라고 합니다.
\(f(x)=5\)를 만족하는 x를 찾는 것은 출력 5의 원상을 찾는 일입니다. 이 예에서는 \(2x-3=5\)이므로 \(x=4\)입니다.
5. 표와 순서쌍으로 나타낸 함수
함수는 입력과 출력을 한 행씩 맞춘 표 또는 순서쌍의 집합으로 표현할 수 있습니다.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
서로 다른 입력이 같은 출력을 가져도 함수입니다. 그러나 \((1,2)\)와 \((1,5)\)처럼 같은 첫째 성분에 서로 다른 둘째 성분이 대응하면 함수가 아닙니다.
6. 식으로 주어진 함수
식이 주어지면 특별한 언급이 없는 경우 식이 의미를 갖는 모든 실수를 정의역으로 생각합니다.
- \(f(x)=x^2-1\): 정의역은 \(\mathbb R\), 치역은 \([-1,\infty)\).
- \(g(x)=\frac1{x-2}\): \(x=2\)를 제외하므로 정의역은 \(\mathbb R-\{2\}\).
- \(h(x)=\sqrt{x+3}\): \(x+3\ge0\)이어야 하므로 정의역은 \([-3,\infty)\).
실제 상황에서는 식뿐 아니라 문맥도 정의역을 제한합니다. 사람 수나 물건 수는 음수나 임의의 실수가 될 수 없습니다.
7. 함수의 그래프
함수 \(f\)의 그래프는 정의역의 모든 x에 대하여 순서쌍 \((x,f(x))\)을 좌표평면에 나타낸 점들의 집합입니다.
그래프 위의 점 \((a,b)\)는 \(f(a)=b\)를 의미합니다. 반대로 \(f(a)=b\)이면 \((a,b)\)는 그래프 위의 점입니다.
8. 수직선 판정법
그래프에 임의의 수직선 \(x=a\)를 그었을 때 교점이 언제나 한 개 이하이면 함수의 그래프입니다. 교점이 두 개 이상이면 한 입력 a에 여러 출력이 대응하므로 함수가 아닙니다.
9. 그래프에서 함수값 읽기
\(f(a)\)를 찾을 때는 x축의 a에서 수직으로 이동해 그래프와 만난 뒤 그 점의 y좌표를 읽습니다. 반대로 \(f(x)=b\)의 해는 수평선 \(y=b\)와 그래프의 교점들의 x좌표입니다.
- x축과의 교점: \(f(x)=0\)의 해
- y축과의 교점: 정의되어 있다면 \((0,f(0))\)
- 그래프의 가로 범위: 정의역
- 그래프의 세로 범위: 치역
10. 끝점과 구간 읽기
그래프에서 채운 점은 끝점을 포함하고 빈 점은 포함하지 않습니다. 화살표는 그 방향으로 그래프가 계속된다는 뜻입니다.
정의역과 치역을 읽을 때는 왼쪽·오른쪽뿐 아니라 끝점의 포함 여부와 그래프의 연속 여부도 확인해야 합니다.
11. 일대일함수와 일대일대응
서로 다른 두 입력이 언제나 서로 다른 출력에 대응하면 일대일함수입니다.
치역과 공역이 같고 일대일함수이면 일대일대응입니다. 즉 공역의 각 원소가 정확히 한 번씩 사용됩니다.
| 구분 | 서로 다른 입력의 출력 | 치역과 공역 |
|---|---|---|
| 함수 | 같아도 됨 | 달라도 됨 |
| 일대일함수 | 반드시 다름 | 달라도 됨 |
| 일대일대응 | 반드시 다름 | 같음 |
그래프에서는 모든 수평선이 그래프와 한 점 이하에서 만나면 일대일함수입니다.
12. 항등함수와 상수함수
집합 X의 모든 원소를 자기 자신에 대응시키는 함수가 항등함수입니다.
정의역의 모든 원소를 공역의 한 원소 c에 대응시키는 함수는 상수함수이며 \(f(x)=c\)로 나타냅니다. 정의역의 원소가 둘 이상이면 상수함수는 일대일함수가 아닙니다.
13. 두 함수가 같다는 뜻
두 함수 f, g의 정의역과 공역이 같고 정의역의 모든 x에서 \(f(x)=g(x)\)이면 두 함수는 같습니다.
식의 겉모양이 달라도 모든 입력에서 같은 출력을 만들면 같은 함수입니다. 반대로 식이 같아 보여도 정의역이 다르면 같은 함수로 보지 않습니다.
14. 유한집합 사이 함수의 개수
\(n(X)=m\), \(n(Y)=n\)일 때 X의 각 원소는 Y의 n개 원소 중 하나를 독립적으로 선택합니다. 따라서 X에서 Y로 가는 함수의 개수는
예를 들어 원소가 3개인 집합에서 원소가 2개인 집합으로 가는 함수는 \(2^3=8\)개입니다. 함수에서는 각 입력이 반드시 하나의 출력을 선택한다는 점을 이용합니다.
15. 실생활에서 함수 세우기
입력과 출력, 단위, 허용 범위를 먼저 정하면 상황을 함수로 표현할 수 있습니다.
한 개에 1500원인 물건을 x개 살 때 총가격을 \(C(x)\)라 하면
식만 보면 모든 실수를 넣을 수 있을 것 같지만 물건 개수라는 문맥 때문에 정의역은 0 이상의 정수입니다. 출력의 단위는 원입니다.
16. 판단 절차와 자주 하는 실수
- 입력 집합과 출력의 목표 집합을 찾습니다.
- 모든 입력이 사용되었는지 확인합니다.
- 한 입력에 출력이 두 개 이상 연결되지 않았는지 확인합니다.
- 실제 출력만 모아 치역을 구합니다.
- 그래프라면 수직선 판정법을 적용하고 끝점 표시를 확인합니다.
- 서로 다른 입력이 같은 출력을 가지면 함수가 아니라고 오해합니다.
- 공역의 모든 원소가 사용되어야 함수라고 생각합니다.
- 분모가 0이 되는 값이나 제곱근 조건을 정의역에 포함합니다.
- 수직선 판정법과 수평선 판정법을 혼동합니다.
- \(f(x+1)\)을 \(f(x)+1\)로 계산합니다.
17. 연습문제
(1) \(X=\{1,2,3\}\), \(Y=\{a,b,c\}\)에서 대응 \(1\mapsto a,\ 2\mapsto a,\ 3\mapsto c\)가 함수인지 판단하세요.
(2) 순서쌍의 집합 \(\{(1,2),(2,3),(1,4)\}\)이 함수를 나타내는지 판단하세요.
(3) \(f:\{-2,-1,0,1,2\}\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\)의 정의역, 공역, 치역을 쓰세요.
(4) \(f(x)=3x-2\)일 때 \(f(-1)\), \(f(a+1)\), \(f(x)=10\)을 만족하는 x를 구하세요.
(5) \(g(x)=\frac{2}{x+3}\)의 정의역을 구하세요.
(6) \(h(x)=\sqrt{5-2x}\)의 정의역을 구하세요.
(7) \(\{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}\)로 주어진 함수에서 \(f(-1)\), \(f(2)\), 치역을 구하세요.
(8) 원 \(x^2+y^2=9\)가 y를 x의 함수로 나타내는 그래프가 아닌 이유를 설명하세요.
(9) 그래프 위의 점 \((-2,5)\), \((1,-3)\)이 함수 f의 그래프에 속할 때 \(f(-2)\), \(f(1)\)을 쓰세요.
(10) \(f:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=2x+1\)이 일대일함수인지 판단하세요.
(11) \(f:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=x^2\)이 일대일함수인지 판단하고 반례를 드세요.
(12) \(X=\{1,2,3,4\}\)에서 X로 가는 항등함수의 함수값을 모두 쓰고, X에서 X로 가는 상수함수의 개수를 구하세요.
(13) 원소가 4개인 집합 X에서 원소가 3개인 집합 Y로 가는 함수의 개수를 구하세요.
(14) 택시 기본요금이 4800원이고 이동 거리 1 km마다 1000원이 추가된다고 단순화할 때, 이동 거리 x km에 대한 요금 \(F(x)\)를 쓰고 현실적인 정의역을 설명하세요.
연습문제 해설 보기
(1) X의 각 원소에서 화살표가 정확히 하나씩 나가므로 함수입니다. 서로 다른 입력 1, 2가 같은 a에 대응해도 됩니다.
(2) 입력 1에 출력 2와 4가 동시에 대응하므로 함수가 아닙니다.
(3) 정의역은 \(\{-2,-1,0,1,2\}\), 공역은 \(\mathbb R\), 치역은 \(\{0,1,4\}\)입니다.
(4) \(f(-1)=-5\), \(f(a+1)=3a+1\). \(3x-2=10\)에서 \(x=4\).
(5) \(x\ne-3\)이므로 \(\mathbb R-\{-3\}\).
(6) \(5-2x\ge0\)에서 \(x\le\frac52\). 정의역은 \((-\infty,\frac52]\).
(7) \(f(-1)=1\), \(f(2)=4\), 치역은 \(\{0,1,4\}\).
(8) \(-3<x<3\)인 대부분의 x에서 \(y=\pm\sqrt{9-x^2}\)의 두 값이 대응합니다. 수직선이 원과 두 점에서 만나므로 함수가 아닙니다.
(9) \(f(-2)=5,\ f(1)=-3\).
(10) \(2x_1+1=2x_2+1\)이면 \(x_1=x_2\)이므로 일대일함수입니다.
(11) 일대일함수가 아닙니다. 예를 들어 \(f(-1)=f(1)=1\)입니다.
(12) \(I_X(1)=1,\ I_X(2)=2,\ I_X(3)=3,\ I_X(4)=4\). 상수값은 X의 네 원소 중 하나이므로 상수함수는 4개입니다.
(13) 각 입력이 3개 출력 중 하나를 선택하므로 \(3^4=81\)개.
(14) \(F(x)=4800+1000x\). 단순화한 모델에서는 \(x\ge0\)인 실수로 둘 수 있으며 실제 요금 체계에서는 거리 측정 단위와 추가요금 부과 간격에 맞게 정의역을 더 구체적으로 제한해야 합니다.
대응 (f:{1,2,3} o{a,b,c,d})가 (f(1)=a, f(2)=b, f(3)=b)로 주어졌습니다. 함수인지 판단하고 정의역, 공역, 치역을 각각 쓰세요. 이 함수가 일대일함수인지도 설명하세요.
정답과 해설 보기
각 입력 1, 2, 3에 출력이 정확히 하나씩 정해지므로 함수입니다. 정의역은 \(\{1,2,3\}\), 공역은 \(\{a,b,c,d\}\), 치역은 \(\{a,b\}\)입니다. 서로 다른 입력 2와 3이 같은 출력 b에 대응하므로 일대일함수는 아닙니다.