22개정 · 집합과 명제
명제와 진리값
명제는 참인지 거짓인지 객관적으로 판별할 수 있는 문장입니다. 문장을 논리 기호와 집합으로 번역하면 복잡한 조건의 진리값도 일관되게 판단할 수 있습니다.
1. 명제란 무엇인가
명제는 참 또는 거짓 중 하나의 진리값을 갖는 문장입니다. 우리가 당장 답을 모른다는 것과 진리값이 없다는 것은 다릅니다. 충분한 정보와 정해진 수학적 의미에 따라 참·거짓이 결정된다면 명제입니다.
- “2는 짝수이다.”는 참인 명제입니다.
- “9는 소수이다.”는 거짓인 명제입니다.
- “\(x+1=4\)”는 \(x\)가 정해지지 않았으므로 그 자체로는 명제가 아니라 조건입니다.
- “이 문제를 풀어라.”는 명령문이고, “수학은 재미있다.”는 판단 기준이 주관적이므로 명제가 아닙니다.
문장의 형태보다 객관적인 진리값이 하나로 정해지는가를 먼저 확인하세요.
2. 진리값과 단순명제·합성명제
참인 명제의 진리값은 T, 거짓인 명제의 진리값은 F로 나타냅니다. 하나의 판단만 담은 문장은 단순명제이고, 여러 명제를 논리연결사로 묶은 문장은 합성명제입니다.
“5는 양수이고 5는 홀수이다.”는 두 단순명제를 ‘그리고’로 연결한 합성명제입니다.
3. 조건과 전체집합
변수를 포함하여 그 값에 따라 참·거짓이 달라지는 문장을 조건이라고 합니다. \(p(x)\)처럼 쓰며, 변수가 움직이는 범위인 전체집합 \(U\)를 함께 정해야 합니다.
\(U=\mathbb Z\)이면 \(x=-2,2\)에서 참입니다. \(U=\mathbb N\)이면 자연수를 1부터 센다는 약속 아래 \(x=2\)에서만 참입니다. 같은 조건도 전체집합에 따라 결과가 달라질 수 있습니다.
4. 진리집합
전체집합 \(U\)에서 조건 \(p(x)\)를 참이 되게 하는 모든 \(x\)의 집합을 조건의 진리집합이라고 합니다.
예를 들어 \(U=\{1,2,\ldots,10\}\), \(p(x):x\text{는 짝수}\)이면 \(P=\{2,4,6,8,10\}\)입니다.
5. 명제의 부정
명제 \(p\)의 부정 \(\sim p\)는 p가 참일 때 거짓, p가 거짓일 때 참입니다. 부정은 원래 문장의 모든 경우를 정확히 뒤집어야 합니다.
단순히 “\(x>3\)이 아니다”라고 멈추기보다 \(x\le3\)처럼 빠짐없는 수학적 조건으로 쓰세요. 또한 \(\sim(\sim p)\)는 다시 p와 같은 뜻입니다.
6. ‘그리고’와 ‘또는’
\(p\land q\)는 p와 q가 모두 참일 때만 참입니다. \(p\lor q\)는 둘 중 적어도 하나가 참이면 참이며, 둘 다 참인 경우도 포함합니다.
- \(p\land q\): p 그리고 q
- \(p\lor q\): p 또는 q
- 수학에서 ‘또는’은 별도의 제한이 없으면 포괄적 의미입니다.
7. 진리표
진리표는 단순명제의 가능한 진리값을 빠짐없이 나열하여 합성명제의 진리값을 계산하는 표입니다.
| \(p\) | \(q\) | \(\sim p\) | \(p\land q\) | \(p\lor q\) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | F | F |
두 명제가 있으면 가능한 경우는 \(2^2=4\)가지입니다. 열을 하나씩 계산하면 긴 합성명제도 실수를 줄일 수 있습니다.
8. 조건의 연산과 집합의 연산
조건 \(p(x),q(x)\)의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면 논리연산은 집합의 연산과 정확히 대응합니다.
여기서 \(T(\cdot)\)는 해당 조건의 진리집합을 뜻합니다. 논리 문제를 벤 다이어그램으로 바꾸어 생각할 수 있는 이유입니다.
9. 드모르간 법칙
‘그리고’ 전체를 부정하면 각각을 부정한 ‘또는’이 되고, ‘또는’ 전체를 부정하면 각각을 부정한 ‘그리고’가 됩니다.
괄호의 범위를 먼저 확인한 뒤 연결사를 바꾸고 각 명제를 부정하세요.
10. ‘모든’과 ‘어떤’을 포함한 명제
조건 \(p(x)\)와 전체집합 \(U\)가 있을 때 다음 두 형태를 구분합니다.
- 모든 명제: \(U\)의 모든 원소에서 조건이 참이어야 합니다. 단 하나의 반례만 찾아도 거짓입니다.
- 어떤 명제: 조건을 만족하는 원소가 적어도 하나 있으면 참입니다. 그 원소를 예 또는 증거라고 합니다.
“모든 소수는 홀수이다.”는 소수 2가 반례이므로 거짓입니다. “어떤 정수의 제곱은 16이다.”는 \(4\) 또는 \(-4\)가 증거이므로 참입니다.
11. 양화명제의 부정
‘모든’의 부정은 ‘적어도 하나는 그렇지 않다’이고, ‘어떤’의 부정은 ‘하나도 없다’, 즉 ‘모두 그렇지 않다’입니다.
예를 들어 “모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2<4\)이다.”의 부정은 “어떤 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2\ge4\)이다.”입니다. ‘모든’을 ‘어떤’으로만 바꾸지 말고 안쪽 조건도 반드시 부정해야 합니다.
12. 항상 참과 항상 거짓
p의 진리값과 관계없이 항상 참인 합성명제를 항진명제, 항상 거짓인 합성명제를 모순명제라고 합니다.
진리표의 마지막 열이 모두 T인지 모두 F인지 확인하면 판별할 수 있습니다.
13. 판단 절차
- 문장이 객관적인 진리값을 가질 수 있는지 확인합니다.
- 변수가 있다면 전체집합과 조건을 찾습니다.
- ‘아니다’, ‘그리고’, ‘또는’, ‘모든’, ‘어떤’과 괄호의 범위를 표시합니다.
- 필요하면 조건을 진리집합이나 진리표로 바꿉니다.
- 모든 명제는 반례를, 어떤 명제는 조건을 만족하는 예를 먼저 찾습니다.
- 부정할 때 양화사와 안쪽 조건을 모두 바꾸었는지 검산합니다.
14. 자주 하는 실수
- 변수의 범위를 정하지 않고 조건의 진리값을 판단합니다.
- “또는”에서 둘 다 참인 경우를 제외합니다.
- \(x>a\)의 부정을 \(x<a\)로 써서 \(x=a\)를 빠뜨립니다.
- ‘모든’ 명제의 몇 가지 예만 확인하고 참이라고 결론냅니다.
- ‘어떤’의 부정을 다시 ‘어떤’으로 쓰거나 안쪽 조건을 그대로 둡니다.
- \(\sim(p\land q)\)를 \((\sim p)\land(\sim q)\)로 잘못 바꿉니다.
15. 대표 예제
예제 1. \(U=\mathbb Z\), \(p(x):x^2-5x+6=0\)의 진리집합을 구하세요.
풀이. \((x-2)(x-3)=0\)이므로 \(P=\{2,3\}\)입니다.
예제 2. \(U=\{1,2,\ldots,10\}\)에서 p는 “짝수이다”, q는 “3의 배수이다”일 때 \(p\land q\), \(p\lor q\), \(\sim p\)의 진리집합을 구하세요.
풀이. \(P=\{2,4,6,8,10\}\), \(Q=\{3,6,9\}\)이므로
예제 3. “모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(n^2+n\)은 짝수이다.”의 진리값을 판단하세요.
풀이. \(n^2+n=n(n+1)\)이고 연속한 두 자연수 중 하나는 짝수이므로 항상 짝수입니다. 따라서 참입니다.
예제 4. “어떤 정수 \(n\)에 대하여 \(n^2=-1\)이다.”의 진리값과 부정을 쓰세요.
풀이. 정수의 제곱은 음수가 될 수 없으므로 거짓입니다. 부정은 “모든 정수 \(n\)에 대하여 \(n^2\ne-1\)이다.”이며 참입니다.
16. 연습문제
(1) 다음 중 명제를 모두 고르세요. (가) 7은 소수이다. (나) \(x+1=3\) (다) 이 식을 계산하여라. (라) 대한민국의 수도는 서울이다.
(2) “15는 홀수이다.”와 “\(\sqrt{16}=-4\)이다.”의 진리값을 각각 판단하세요.
(3) \(U=\mathbb Z\), \(p(x):x^2-5x+6=0\)의 진리집합을 구하세요.
(4) \(U=\{1,2,\ldots,12\}\)에서 P는 2의 배수의 집합, Q는 12의 양의 약수의 집합입니다. \(P\cap Q\), \(P\cup Q\), \(P^c\)를 구하세요.
(5) p가 참이고 q가 거짓일 때 \(\sim p\), \(p\land q\), \(p\lor q\)의 진리값을 구하세요.
(6) 진리표를 이용하여 \(\sim(p\land q)\)와 \((\sim p)\lor(\sim q)\)가 항상 같은 진리값을 가짐을 확인하세요.
(7) \(x<5\)와 \(x\ne0\)의 부정을 각각 부등식 또는 등식으로 쓰세요.
(8) “모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(n+1>n\)이다.”의 부정을 쓰세요.
(9) “어떤 정수 \(n\)에 대하여 \(n^2=2\)이다.”의 부정을 쓰세요.
(10) “모든 4의 배수는 짝수이다.”와 “모든 소수는 홀수이다.”의 진리값을 판단하세요. 거짓인 명제에는 반례를 제시하세요.
(11) “어떤 정수의 제곱은 \(-1\)이다.”와 “어떤 실수의 제곱은 2이다.”의 진리값을 판단하세요. 참인 명제에는 예를 제시하세요.
(12) \(U=\mathbb R\), \(p(x):x^2=1\), \(q(x):x>0\)일 때 p, \(p\land q\), \(p\lor q\)의 진리집합을 구하세요.
(13) \(p\lor(\sim p)\)와 \(p\land(\sim p)\)를 각각 항진명제와 모순명제로 분류하세요.
(14) “모든 학생이 두 과목 중 적어도 하나를 신청했다.”를 p: “첫 과목을 신청했다”, q: “둘째 과목을 신청했다”를 이용해 나타내고, 그 부정을 우리말로 쓰세요.
연습문제 해설 보기
(1) (가), (라)는 진리값이 정해지는 명제입니다. (나)는 x가 정해지지 않은 조건이고, (다)는 명령문입니다.
(2) 15는 홀수이므로 T. \(\sqrt{16}\)은 주값 4를 뜻하므로 두 번째 명제는 F입니다.
(3) \((x-2)(x-3)=0\)이므로 \(\{2,3\}\).
(4) \(P=\{2,4,6,8,10,12\}\), \(Q=\{1,2,3,4,6,12\}\). 따라서 \(P\cap Q=\{2,4,6,12\}\), \(P\cup Q=\{1,2,3,4,6,8,10,12\}\), \(P^c=\{1,3,5,7,9,11\}\).
(5) 차례로 F, F, T입니다.
(6) p, q가 TT, TF, FT, FF일 때 두 식의 진리값은 모두 F, T, T, T입니다.
(7) 각각 \(x\ge5\), \(x=0\).
(8) “어떤 자연수 \(n\)에 대하여 \(n+1\le n\)이다.”
(9) “모든 정수 \(n\)에 대하여 \(n^2\ne2\)이다.”
(10) 첫 명제는 참입니다. 두 번째 명제는 거짓이며 반례는 소수 2입니다.
(11) 첫 명제는 거짓입니다. 두 번째는 참이며 \(x=\sqrt2\) 또는 \(x=-\sqrt2\)가 예입니다.
(12) \(T(p)=\{-1,1\}\), \(T(p\land q)=\{1\}\), \(T(p\lor q)=\{-1\}\cup(0,\infty)\).
(13) \(p\lor(\sim p)\)는 항진명제, \(p\land(\sim p)\)는 모순명제입니다.
(14) 각 학생에 대해 \(p\lor q\)입니다. 부정은 “어떤 학생은 두 과목을 모두 신청하지 않았다.”입니다.
'모든 소수는 홀수이다'의 진리값을 판단하고, 이 명제의 부정을 쓴 뒤 원래 명제가 거짓임을 보이는 반례를 제시하세요.
정답과 해설 보기
거짓입니다. 부정은 “어떤 소수는 홀수가 아니다.”이고, 소수 2가 홀수가 아니므로 반례는 2입니다. 이 반례는 동시에 부정 명제가 참임을 보여 줍니다.