22개정 · 함수와 그래프

유리함수와 무리함수

유리함수에서는 분모가 0인 입력을, 무리함수에서는 제곱근 안이 음수가 되는 입력을 먼저 제외해야 합니다. 정의역을 확인한 뒤 기본 그래프의 이동·대칭·확대를 추적하면 식에서 그래프의 위치와 범위를 읽을 수 있습니다.

1. 유리식과 유리함수

두 다항식 \(P(x),Q(x)\)에 대하여 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 꼴로 나타나는 식을 유리식이라고 합니다. \(Q(x)\ne0\)이어야 하므로 유리함수의 정의역에서는 분모를 0으로 만드는 값을 제외합니다.

\[ f(x)=\frac{2x+1}{x-3} \quad\Rightarrow\quad D_f=\mathbb R-\{3\} \]

식을 약분할 수 있어도 원래 분모를 0으로 만든 값은 되살아나지 않습니다. 정의역은 약분하기 전에 확인하세요.

2. 기본 유리함수 \(y=\frac{k}{x}\)

\(k\ne0\)일 때 정의역과 치역은 모두 0을 제외한 실수 전체입니다.

\[ D=\mathbb R-\{0\},\qquad R=\mathbb R-\{0\} \]

점근선은 x축 \(y=0\)과 y축 \(x=0\)입니다.
그래프는 원점에 대하여 점대칭입니다.
\(k>0\)이면 제1·3사분면, \(k<0\)이면 제2·4사분면에 놓입니다.
\(|k|\)가 커지면 같은 x에서 \(|y|\)가 커집니다.

3. 점근선의 뜻

그래프가 한없이 가까워지는 직선을 점근선이라고 합니다. \(y=\frac{k}{x-p}+q\)에서는 x가 p에 가까워질수록 함수값의 크기가 매우 커지고, \(|x|\)가 커질수록 함수값이 q에 가까워집니다.

\[ \boxed{x=p},\qquad \boxed{y=q} \]

그래프는 점근선에 가까워질 뿐 교점이 없다고 단정해서는 안 됩니다. 이 기본 형태에서는 만나지 않지만 더 일반적인 함수에서는 수평 또는 사선 점근선과 교차할 수도 있습니다.

4. \(y=\frac{k}{x-p}+q\)의 그래프

\(k>0\): 중심 \((p,q)\)을 기준으로 오른쪽 위와 왼쪽 아래에 두 갈래가 놓입니다.

\(k<0\): 중심을 기준으로 왼쪽 위와 오른쪽 아래에 두 갈래가 놓입니다.

\[ D=\mathbb R-\{p\},\qquad R=\mathbb R-\{q\} \]

두 점근선의 교점 \((p,q)\)가 그래프의 대칭중심입니다.

5. 일반형을 기본형으로 바꾸기

\(c\ne0\)인 유리함수 \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)는 나눗셈을 이용하여 기본형으로 바꿀 수 있습니다.

\[ \frac{ax+b}{cx+d} =\frac ac+\frac{bc-ad}{c(cx+d)} =\frac{bc-ad}{c^2\left(x+\frac dc\right)}+\frac ac \]

\(ad-bc\ne0\)이면

\[ p=-\frac dc,\qquad q=\frac ac,\qquad k=\frac{bc-ad}{c^2} \]

이므로 수직 점근선은 \(x=-\frac dc\), 수평 점근선은 \(y=\frac ac\), 중심은 \(\left(-\frac dc,\frac ac\right)\)입니다.

예제. \(\frac{2x+5}{x+1}=2+\frac3{x+1}\)이므로 중심은 \((-1,2)\), 점근선은 \(x=-1,y=2\)입니다.

6. 예외적인 상수 모양

\(ad-bc=0\)이면 분자와 분모가 상수배 관계이므로 약분 후 거의 모든 곳에서 상수값을 갖습니다.

\[ \frac{2x+2}{x+1}=2\qquad(x\ne-1) \]

그래프는 직선 \(y=2\)에서 \((-1,2)\) 한 점이 빠진 모양입니다. 이 경우 \(x=-1\)은 수직 점근선이 아니라 제거 가능한 구멍입니다.

7. 절편과 그래프의 위치

\(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\)에서 분모가 0이 아니라면 x절편은 분자가 0일 때, y절편은 \(x=0\)을 대입하여 구합니다.

\[ x\text{절편}: ax+b=0,\qquad y\text{절편}: f(0)=\frac bd\quad(d\ne0) \]

점근선과 중심, 절편, 중심에 대칭인 점을 함께 표시하면 그래프의 두 갈래를 정확히 배치할 수 있습니다.

8. 유리함수 그래프 그리는 순서

분모가 0이 되는 값을 찾아 정의역에서 제외합니다.
나눗셈으로 \(\frac{k}{x-p}+q\) 꼴로 바꿉니다.
점근선 \(x=p,y=q\)와 중심 \((p,q)\)을 그립니다.
k의 부호로 두 갈래의 방향을 정합니다.
x절편, y절편 또는 계산하기 쉬운 점을 표시합니다.
중심에 대칭인 점을 이용해 반대쪽 갈래를 그립니다.

9. 유리방정식과 유리부등식

방정식에서는 먼저 분모가 0이 되는 값을 제외한 뒤 양변에 공통분모를 곱합니다. 마지막에 해가 원래 정의역에 속하는지 검산합니다.

예제. \(\frac2{x-1}=3\)을 풀면

\[ x\ne1,\qquad 2=3(x-1)\quad\Rightarrow\quad x=\frac53 \]

부등식은 분모의 부호가 바뀔 수 있으므로 무조건 분모를 곱하지 않습니다. 분자와 분모가 0이 되는 경계값으로 수직선을 나누고 각 구간의 부호를 조사하세요.

10. 반비례 모델

두 양의 양 x, y의 곱이 일정하면 \(y=\frac{k}{x}\) 꼴의 반비례 관계입니다.

거리 120 km를 일정한 속력 v로 이동할 때 걸리는 시간은

\[ T(v)=\frac{120}{v},\qquad v>0 \]

입니다. 속력이 커질수록 시간은 줄지만 실제 상황에서는 속력과 시간 모두 양수라는 문맥상의 제한이 있습니다.

11. 무리함수와 정의역

근호 안에 변수가 포함된 함수를 무리함수라고 합니다. 공통수학2에서는 주로 제곱근 함수 \(y=\sqrt{ax+b}+c\)의 그래프를 다룹니다. 실수 범위에서 제곱근 안은 0 이상이어야 합니다.

\[ f(x)=\sqrt{ax+b}+c \quad\Rightarrow\quad ax+b\ge0 \]

근호 밖의 c는 정의역을 바꾸지 않습니다. 먼저 근호 안만 사용하여 정의역을 결정하세요.

12. 기본 무리함수 \(y=\sqrt{x}\)

제곱수인 x값을 선택하면 그래프의 점을 쉽게 얻을 수 있습니다.

x	0	1	4	9	16
\(\sqrt{x}\)	0	1	2	3	4

정의역과 치역은 모두 \([0,\infty)\)이고 시작점은 \((0,0)\)입니다. 오른쪽으로 갈수록 증가하지만 증가하는 정도는 점차 완만해집니다.

13. 무리함수의 이동과 대칭

\(y=a\sqrt{x-p}+q,\ a>0\): \((p,q)\)에서 오른쪽 위로 뻗습니다.

\(y=-a\sqrt{p-x}+q,\ a>0\): \((p,q)\)에서 왼쪽 아래로 뻗습니다.

근호 안의 x계수 부호가 그래프가 뻗는 좌우 방향을, 근호 밖 계수의 부호가 위아래 방향을 결정합니다.

14. 시작점, 정의역, 치역

\(y=a\sqrt{x-p}+q\)에서 \(a\ne0\)이면 시작점은 \((p,q)\)이고 정의역은 \(x\ge p\)입니다.

\[ a>0:\ y\ge q,\qquad a<0:\ y\le q \]

\(y=a\sqrt{p-x}+q\)에서는 정의역이 \(x\le p\)입니다. 시작점에서 그래프가 어느 방향으로 뻗는지를 식의 안쪽과 바깥쪽 부호로 각각 판단하세요.

15. 무리함수 그래프 그리는 순서

근호 안이 0 이상이라는 조건으로 정의역을 구합니다.
근호 안이 0이 되는 x를 찾아 시작점을 구합니다.
x계수의 부호로 좌우 방향을 정합니다.
근호 밖 계수의 부호로 위아래 방향을 정합니다.
근호 안이 \(1,4,9\)가 되는 x값을 골라 점을 추가합니다.
정의역과 치역, 절편을 확인합니다.

16. 포물선과의 관계

\(y=\sqrt{x}\)에서 양변을 제곱하면 \(x=y^2\)이고 제곱근의 값은 0 이상이므로 \(y\ge0\)입니다.

\[ y=\sqrt{x} \quad\Longleftrightarrow\quad x=y^2,\ y\ge0 \]

따라서 \(y=\sqrt{x}\)는 오른쪽으로 열린 포물선 \(x=y^2\)의 위쪽 절반입니다. \(y=\pm\sqrt{x}\)처럼 두 부호를 모두 사용하면 하나의 x에 두 y값이 생겨 y가 x의 함수가 아닙니다.

17. 무리방정식과 무리부등식

근호를 한쪽에 고립시킨 뒤 양변을 제곱합니다. 제곱 과정에서 원래 식을 만족하지 않는 무연근이 생길 수 있으므로 반드시 대입하여 확인합니다.

예제. \(\sqrt{x+5}=x-1\)을 푸세요.

\[ x-1\ge0,\qquad x+5=(x-1)^2 \]\[ x^2-3x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4,-1 \]

원래 식의 오른쪽이 0 이상이어야 하므로 \(x\ge1\)이고, 대입하면 해는 \(x=4\)뿐입니다.

부등식에서도 먼저 정의역과 양변의 부호를 확인한 뒤, 제곱해도 부등호 관계가 유지되는 경우에만 제곱합니다.

18. 무리함수 모델

원의 넓이 A에서 반지름 r을 구하면

\[ A=\pi r^2 \quad\Rightarrow\quad r(A)=\sqrt{\frac A\pi},\qquad A\ge0 \]

반지름은 음수가 될 수 없으므로 양의 제곱근만 사용합니다. 식의 대수적 조건과 실제 양의 의미가 같은 정의역·치역 제한을 만드는 예입니다.

19. 자주 하는 실수

약분한 뒤 분모가 0이던 값을 정의역에 다시 포함합니다.
\(\frac{k}{x-p}+q\)의 수직 점근선을 \(x=-p\)로 잘못 읽습니다.
유리함수의 공역과 치역에서 q가 빠진다는 사실을 놓칩니다.
\(\sqrt{x-p}\)의 시작점을 \((-p,0)\)으로 잘못 읽습니다.
근호 밖의 이동량을 정의역 조건에 포함합니다.
무리방정식에서 제곱한 뒤 원래 식에 대입하지 않습니다.
유리부등식에서 분모의 부호를 확인하지 않고 곱합니다.

20. 연습문제

(1) \(f(x)=\frac{2x+1}{x-3}\)의 정의역, x절편, y절편을 구하세요.

(2) \(y=\frac3{x-2}-1\)의 두 점근선, 중심, 정의역과 치역을 구하세요.

(3) (2)의 그래프가 점 \((5,0)\)을 지나는지 확인하세요.

(4) \(y=-\frac4{x+1}+2\)의 두 갈래가 중심을 기준으로 어느 방향에 놓이는지 설명하세요.

(5) \(\frac{2x+5}{x+1}\)을 \(\frac{k}{x-p}+q\) 꼴로 바꾸고 k, p, q를 구하세요.

(6) \(y=\frac{3x-4}{2x+5}\)의 수직·수평 점근선과 중심을 구하세요.

(7) 방정식 \(\frac2{x-1}=3\)을 푸세요.

(8) 부등식 \(\frac1{x-2}>0\)의 해를 구하세요.

(9) \(y=\sqrt{x-4}+2\)의 시작점, 정의역과 치역을 구하세요.

(10) \(y=\sqrt{6-2x}-1\)의 시작점, 정의역과 치역, 그래프가 뻗는 방향을 구하세요.

(11) \(y=-2\sqrt{x+1}+3\)의 시작점, 정의역과 치역을 구하세요.

(12) 방정식 \(\sqrt{x+5}=x-1\)을 풀고 무연근을 밝히세요.

(13) 부등식 \(\sqrt{x+1}\le2\)의 해를 구하세요.

(14) 두 그래프 \(y=\sqrt{x}\), \(y=\frac1x\)의 교점을 구하세요.

연습문제 해설 보기

(1) 정의역은 \(\mathbb R-\{3\}\). 분자가 0인 \(x=-\frac12\)에서 x절편은 \((-\frac12,0)\), \(f(0)=-\frac13\)이므로 y절편은 \((0,-\frac13)\).

(2) 점근선은 \(x=2,y=-1\), 중심은 \((2,-1)\). 정의역은 \(\mathbb R-\{2\}\), 치역은 \(\mathbb R-\{-1\}\).

(3) \(x=5\)를 대입하면 \(y=\frac33-1=0\)이므로 지납니다.

(4) \(k=-4<0\)이므로 중심 \((-1,2)\)을 기준으로 왼쪽 위와 오른쪽 아래에 놓입니다.

(5) \(\frac{2x+5}{x+1}=2+\frac3{x+1}=\frac3{x-(-1)}+2\). 따라서 \(k=3,p=-1,q=2\).

(6) 수직 점근선은 \(x=-\frac52\), 수평 점근선은 \(y=\frac32\), 중심은 \((-\frac52,\frac32)\).

(7) \(x\ne1\)에서 \(2=3x-3\)이므로 \(x=\frac53\).

(8) 분자는 양수이므로 분모가 양수여야 합니다. 따라서 \(x>2\).

(9) 시작점은 \((4,2)\), 정의역은 \([4,\infty)\), 치역은 \([2,\infty)\).

(10) 근호 안이 0인 \(x=3\)에서 시작점은 \((3,-1)\). 정의역은 \((-\infty,3]\), 치역은 \([-1,\infty)\)이고 시작점에서 왼쪽 위로 뻗습니다.

(11) 시작점은 \((-1,3)\), 정의역은 \([-1,\infty)\), 치역은 \((-\infty,3]\).

(12) 제곱 후 후보는 4와 -1입니다. 원래 식에 대입하면 \(x=4\)만 해이고 -1은 무연근입니다.

(13) 정의역에서 \(x\ge-1\). 양변이 음이 아니므로 제곱하면 \(x+1\le4\), 따라서 \(-1\le x\le3\).

(14) \(x>0\)에서 \(\sqrt{x}=\frac1x\). 양변을 제곱하면 \(x=\frac1{x^2}\), 즉 \(x^3=1\)이므로 \(x=1,y=1\). 교점은 \((1,1)\).

Checkpoint

\(f(x)=\frac{2x+5}{x+1}\)을 \(\frac{k}{x-p}+q\) 꼴로 바꾸고 점근선, 중심, 정의역과 치역을 구하세요. 이어서 \(g(x)=\sqrt{x-2}+1\)의 시작점, 정의역과 치역을 구하세요.

정답과 해설 보기

\(f(x)=2+\frac3{x+1}=\frac3{x-(-1)}+2\)이므로 \(k=3,p=-1,q=2\)입니다. 점근선은 \(x=-1,y=2\), 중심은 \((-1,2)\), 정의역은 \(\mathbb R-\{-1\}\), 치역은 \(\mathbb R-\{2\}\)입니다. \(g\)는 \((2,1)\)에서 시작하며 정의역은 \([2,\infty)\), 치역은 \([1,\infty)\)입니다.