22개정 · 도형의 방정식
평행이동과 대칭이동
도형의 이동은 모든 점을 같은 규칙으로 옮기는 변환입니다. 점의 새 좌표를 구하는 규칙과 이동한 도형의 방정식을 구하는 역치환을 구분하면 직선, 원, 일반 도형의 이동을 일관되게 처리할 수 있습니다.
1. 도형의 이동과 좌표
도형은 점들의 집합이므로 도형을 이동한다는 것은 도형을 이루는 모든 점에 같은 좌표 규칙을 적용한다는 뜻입니다. 평행이동과 대칭이동은 길이와 각의 크기를 보존하는 이동이어서 원래 도형과 이동한 도형의 모양과 크기가 같습니다.
- 원상: 이동하기 전의 점이나 도형
- 상: 이동한 뒤의 점이나 도형
- 대응: 원상의 각 점에 이동 후의 점을 하나씩 연결하는 규칙
2. 점의 평행이동
점 \(P(x,y)\)를 x축 방향으로 \(a\), y축 방향으로 \(b\)만큼 평행이동하면
\(a<0\)이면 왼쪽, \(b<0\)이면 아래쪽으로 이동합니다. 이동벡터를 \((a,b)\)라고 부르기도 합니다.
3. 평행이동의 성질
- 두 점에 같은 \((a,b)\)를 더하면 좌표의 차가 변하지 않아 거리가 보존됩니다.
- 직선의 기울기, 선분의 길이, 각의 크기와 원의 반지름은 변하지 않습니다.
- \((a,b)\)만큼 이동한 뒤 \((c,d)\)만큼 이동하면 한 번에 \((a+c,b+d)\)만큼 이동한 것과 같습니다.
- 역이동은 \((-a,-b)\)만큼의 평행이동입니다.
4. 도형의 방정식 평행이동
원래 도형의 방정식이 \(F(x,y)=0\)이라고 하겠습니다. 원래 점 \((u,v)\)가 \((a,b)\)만큼 이동하여 새 점 \((x,y)\)가 되었다면
원래 점 \((u,v)\)는 \(F(u,v)=0\)을 만족하므로 새 도형의 방정식은
입니다. 점의 좌표에는 \((a,b)\)를 더하지만, 이동한 도형의 방정식에는 \(x-a,y-b\)를 대입합니다. 새 점에서 이동벡터를 빼 원래 점을 되찾기 때문입니다.
5. 직선의 평행이동
직선 \(Ax+By+C=0\)을 \((a,b)\)만큼 이동하면
이 됩니다. 정리해도 x, y 계수는 같으므로 원래 직선과 평행합니다.
6. 원의 평행이동
원 \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)을 \((a,b)\)만큼 이동하면 중심만 \((p+a,q+b)\)로 이동하고 반지름은 그대로입니다.
중심의 이동으로 구한 결과와 \(x-a,y-b\)를 대입한 결과가 일치합니다.
7. 기본 대칭이동의 좌표 규칙
| 대칭의 기준 | 점의 좌표 변화 | 변하지 않는 정보 |
|---|---|---|
| x축 | \((x,y)\to(x,-y)\) | x좌표 |
| y축 | \((x,y)\to(-x,y)\) | y좌표 |
| 원점 | \((x,y)\to(-x,-y)\) | 원점까지의 거리 |
| 직선 \(y=x\) | \((x,y)\to(y,x)\) | 두 좌표의 역할을 교환 |
| 직선 \(y=-x\) | \((x,y)\to(-y,-x)\) | 교환한 뒤 두 부호 변경 |
대칭축 위의 점은 이동하지 않습니다. 원상과 상을 잇는 선분은 대칭축에 수직이고, 대칭축은 그 선분을 이등분합니다.
8. x=a, y=b에 대한 대칭
수직선 \(x=a\)는 원상과 상의 x좌표 평균이 \(a\)가 되게 합니다. 수평선 \(y=b\)도 같은 원리입니다.
9. 도형의 방정식 대칭이동
원래 도형이 \(F(x,y)=0\)일 때 이동한 도형의 방정식은 다음 치환으로 구합니다.
| 대칭의 기준 | 이동한 도형의 방정식 |
|---|---|
| x축 | \(F(x,-y)=0\) |
| y축 | \(F(-x,y)=0\) |
| 원점 | \(F(-x,-y)=0\) |
| 직선 \(y=x\) | \(F(y,x)=0\) |
| 직선 \(y=-x\) | \(F(-y,-x)=0\) |
치환 뒤에는 식을 정리합니다. 방정식 전체에 \(-1\)을 곱한 식은 같은 도형을 나타내므로 겉모양만 보고 다른 결과라고 판단하지 않습니다.
10. 대칭인 도형 판정
방정식에 해당 대칭 치환을 했을 때 원래 방정식과 같은 해집합이 나오면 그 도형은 그 기준에 대하여 대칭입니다.
- \(F(x,-y)=F(x,y)\): x축 대칭 여부 확인
- \(F(-x,y)=F(x,y)\): y축 대칭 여부 확인
- \(F(-x,-y)=F(x,y)\): 원점 대칭 여부 확인
- \(F(y,x)=F(x,y)\): \(y=x\) 대칭 여부 확인
식이 정확히 같지 않아도 0이 아닌 상수배라면 같은 해집합인지 확인합니다.
11. 합성 이동과 순서
두 평행이동끼리는 순서를 바꾸어도 결과가 같지만, 대칭이동과 평행이동을 섞으면 일반적으로 순서에 따라 결과가 달라집니다.
각 단계마다 좌표를 한 번씩 적고 화살표로 연결하면 순서를 안전하게 관리할 수 있습니다.
12. 대표 예제
예제 1: 점의 평행이동
\(P(-3,2)\)를 오른쪽으로 5, 아래로 4만큼 이동하면
예제 2: 도형의 꼭짓점 이동
삼각형의 꼭짓점이 \(A(0,0)\), \(B(2,1)\), \(C(-1,3)\)일 때 \((-2,4)\)만큼 평행이동하면 \(A'(-2,4)\), \(B'(0,5)\), \(C'(-3,7)\)입니다.
예제 3: 직선의 평행이동
직선 \(2x-y+3=0\)을 오른쪽으로 4, 아래로 1만큼 이동합니다. 이동벡터가 \((4,-1)\)이므로 \(x-4,y+1\)을 대입합니다.
예제 4: 원의 평행이동
원 \((x+2)^2+(y-3)^2=16\)의 중심 \((-2,3)\)을 \((5,-1)\)만큼 이동하면 새 중심은 \((3,2)\)입니다.
예제 5: 이동벡터 역으로 찾기
원 \((x-1)^2+(y+2)^2=9\)의 중심은 \((1,-2)\), 이동한 원 \((x-5)^2+(y-1)^2=9\)의 중심은 \((5,1)\)입니다. 따라서 이동벡터는 \((4,3)\)입니다.
예제 6: 한 점의 여러 대칭
\(P(3,-4)\)의 x축, y축, 원점, \(y=x\), \(y=-x\) 대칭점은 차례로
예제 7: 직선의 x축 대칭
\(2x-3y+6=0\)에 \(y\) 대신 \(-y\)를 대입하면
예제 8: 원의 y축 대칭
원 \((x-2)^2+(y+1)^2=4\)의 중심 \((2,-1)\)은 \((-2,-1)\)로 이동합니다. 따라서
예제 9: y=x 대칭
포물선 \(y=x^2+2x\)에서 x와 y를 바꾸면 \(x=y^2+2y\)입니다. 원래 그래프의 각 점 \((u,v)\)가 \((v,u)\)로 이동합니다.
예제 10: 합성 순서 비교
\(P(1,2)\)를 y축 대칭한 뒤 \((3,-4)\)만큼 이동하면 \((-1,2)\to(2,-2)\)입니다. 반대로 먼저 이동하면 \((4,-2)\to(-4,-2)\)이므로 결과가 다릅니다.
13. 문제 해결 절차
- 점의 이동인지 도형 방정식의 이동인지 구분합니다.
- 오른쪽·왼쪽, 위·아래를 부호가 있는 이동벡터로 표현합니다.
- 점에는 이동벡터를 더하고, 방정식에는 원상 좌표를 되찾는 역치환을 사용합니다.
- 대칭 기준에 맞는 좌표 규칙 또는 변수 치환을 적용합니다.
- 합성 이동은 한 단계씩 순서대로 계산합니다.
- 거리, 기울기, 반지름처럼 보존되어야 할 양이 그대로인지 검산합니다.
14. 자주 하는 실수
- 점을 오른쪽으로 \(a\)만큼 옮길 때 \(x-a\)로 계산하는 실수
- 도형을 오른쪽으로 \(a\)만큼 옮긴 방정식에 \(x+a\)를 대입하는 실수
- 아래쪽 이동량이나 괄호 속 음수의 부호를 잘못 처리하는 실수
- x축 대칭에서 x좌표의 부호를 바꾸거나 y축 대칭에서 y좌표를 바꾸는 실수
- \(y=x\) 대칭과 원점 대칭을 혼동하는 실수
- \(y=-x\) 대칭에서 좌표만 교환하고 두 부호를 바꾸지 않는 실수
- 원의 방정식을 이동하면서 반지름까지 변화시키는 실수
- 대칭이동과 평행이동의 순서를 무시하는 실수
- 정리된 두 방정식이 상수배 관계로 같은 도형인지 확인하지 않는 실수
15. 연습문제
(1) 점 \(P(-2,5)\)를 \((4,-3)\)만큼 평행이동한 점을 구하세요.
(2) 점 \(Q\)를 \((-3,5)\)만큼 평행이동했더니 \(Q'(7,-1)\)이 되었습니다. \(Q\)를 구하세요.
(3) 삼각형의 꼭짓점 \(A(0,0)\), \(B(2,1)\), \(C(-1,3)\)을 \((-2,4)\)만큼 평행이동한 좌표를 구하세요.
(4) 직선 \(x+2y-4=0\)을 오른쪽으로 3, 아래로 2만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구하세요.
(5) 원 \((x+1)^2+(y-2)^2=9\)를 \((-4,3)\)만큼 평행이동한 원의 방정식을 구하세요.
(6) 원 \((x-2)^2+(y+1)^2=16\)이 \((x+3)^2+(y-4)^2=16\)으로 이동했습니다. 이동벡터를 구하세요.
(7) 직선 \(3x-y+2=0\)을 x축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구하세요.
(8) 원 \((x-2)^2+(y+3)^2=16\)을 y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하세요.
(9) 직선 \(2x+y-5=0\)을 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구하세요.
(10) 점 \(P(4,-1)\)을 \(y=-x\)에 대하여 대칭이동한 점을 구하세요.
(11) 도형 \(x^2+4y^2=16\)이 x축, y축, 원점 중 어느 것에 대하여 대칭인지 식의 치환으로 설명하세요.
(12) 점 \(P(2,-3)\)을 원점에 대하여 대칭이동한 뒤 \((1,5)\)만큼 평행이동한 점을 구하세요.
(13) 점 \((-1,3)\)을 직선 \(x=2\)에 대하여 대칭이동한 점을 구하세요.
(14) 원 \(x^2+(y-1)^2=4\)를 x축 대칭한 뒤 오른쪽으로 2, 위로 3만큼 평행이동한 원의 방정식을 구하세요.
연습문제 해설 보기
(1) \(P'(2,2)\).
(2) 원래 점에는 역이동 \((3,-5)\)를 적용하므로 \(Q(10,-6)\).
(3) \(A'(-2,4)\), \(B'(0,5)\), \(C'(-3,7)\).
(4) 이동벡터는 \((3,-2)\). \(x-3,y+2\)를 대입하면 \((x-3)+2(y+2)-4=0\), 즉 \(x+2y-3=0\).
(5) 중심 \((-1,2)\)가 \((-5,5)\)로 이동하므로 \((x+5)^2+(y-5)^2=9\).
(6) 중심이 \((2,-1)\)에서 \((-3,4)\)로 이동했으므로 이동벡터는 \((-5,5)\).
(7) \(y\) 대신 \(-y\)를 대입하면 \(3x+y+2=0\).
(8) 중심 \((2,-3)\)의 y축 대칭점은 \((-2,-3)\). 따라서 \((x+2)^2+(y+3)^2=16\).
(9) x와 y를 바꾸면 \(2y+x-5=0\), 즉 \(x+2y-5=0\).
(10) \((x,y)\to(-y,-x)\)이므로 \(P'(1,-4)\).
(11) \(x\to-x\), \(y\to-y\), 또는 둘 다 적용해도 제곱 때문에 식이 변하지 않습니다. 따라서 x축, y축, 원점 모두에 대하여 대칭입니다.
(12) \((2,-3)\to(-2,3)\to(-1,8)\).
(13) 새 x좌표는 \(2(2)-(-1)=5\)이고 y좌표는 그대로이므로 \((5,3)\).
(14) x축 대칭 뒤 중심은 \((0,-1)\), 다시 \((2,3)\)만큼 이동하면 중심은 \((2,2)\). 따라서 \((x-2)^2+(y-2)^2=4\).
점 \((3,-4)\)를 y축 대칭한 뒤 위로 2만큼 평행이동한 점의 좌표를 구하고, 두 이동의 순서를 바꾸어도 결과가 같은지 확인하세요.
정답과 해설 보기
y축 대칭 후 \((-3,-4)\), 위로 2만큼 이동하면 \((-3,-2)\)입니다. 순서를 바꾸면 먼저 \((3,-2)\), 그 뒤 y축 대칭하여 \((-3,-2)\)가 됩니다. 이번에는 평행이동이 y방향뿐이어서 결과가 같지만, x방향 이동이 포함되면 일반적으로 순서에 따라 결과가 달라집니다.