22개정 · 함수와 그래프
합성함수와 역함수
합성함수는 한 함수의 출력을 다음 함수의 입력으로 연결한 새 함수이고, 역함수는 입력과 출력의 대응을 되돌리는 함수입니다. 계산 순서와 허용되는 입력을 정확히 추적하면 두 개념을 하나의 대응 구조로 이해할 수 있습니다.
1. 합성함수의 뜻
함수 \(f:X\to Y\)의 출력이 함수 \(g:Y\to Z\)의 입력으로 이어질 때, X에서 Z로 가는 새 함수 \(g\circ f\)를 만들 수 있습니다.
\(g\circ f\)는 “g 합성 f”라고 읽으며 f를 먼저, g를 나중에 적용합니다. 기호를 읽는 방향과 계산 순서가 반대처럼 보일 수 있으므로 가장 안쪽 함수부터 계산하세요.
2. 대응의 연결로 보기
3. 함수값으로 합성 계산하기
\(f(x)=2x-1\), \(g(x)=x^2+3\)일 때
같은 두 함수를 사용해도 순서에 따라 결과가 달라집니다. 중간 함수값을 한 단계씩 적으면 대입 실수를 줄일 수 있습니다.
4. 식으로 합성하기
바깥 함수의 입력 자리에 안쪽 함수 전체를 괄호와 함께 대입합니다.
\(f(g(x))\)에서 f의 식에 있는 모든 x를 \(g(x)\)로 바꾸어야 합니다.
5. 합성함수의 정의역
\((g\circ f)(x)\)가 정의되려면 두 조건을 모두 만족해야 합니다.
예제 1. \(f(x)=x-3\), \(g(x)=\sqrt{x}\)이면
예제 2. \(f(x)=x^2-4\), \(g(x)=\frac1x\)이면
식을 단순화하기 전에 원래 합성 과정에서 생긴 제한을 먼저 기록하세요.
6. 합성은 일반적으로 교환되지 않는다
대부분의 경우 \(g\circ f\ne f\circ g\)입니다. 함수의 적용 순서를 바꾸면 중간값이 달라지기 때문입니다.
특정 함수에서는 우연히 같을 수 있지만 계산 없이 교환할 수 있다고 가정하면 안 됩니다.
7. 결합법칙과 항등함수
정의역과 공역이 알맞게 연결될 때 합성은 결합법칙을 만족합니다.
그러나 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않습니다. 항등함수 \(I(x)=x\)는 합성에서 값을 바꾸지 않습니다.
8. 표와 순서쌍의 합성
식이 없어도 대응을 따라가면 합성함수를 구할 수 있습니다.
\(f=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}\), \(g=\{(a,4),(b,5)\}\)이면
각 입력에서 f의 화살표를 먼저 따라간 뒤, 도착한 값을 g의 입력으로 사용합니다.
9. 합성함수 모델
여러 단계로 처리되는 상황은 합성함수로 나타낼 수 있습니다. 정가 x원에 20% 할인한 뒤 배송비 3000원을 더한다고 합시다.
배송비를 먼저 더한 뒤 할인하면 \((f\circ g)(x)=0.8x+2400\)이 되어 결과가 달라집니다. 실제 처리 순서가 합성 순서를 결정합니다.
10. 역함수의 뜻
함수 \(f:X\to Y\)가 입력 a를 출력 b에 대응시킬 때, 그 대응을 반대로 되돌려 b를 a에 대응시키는 함수가 \(f^{-1}\)입니다.
역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이고, 역함수의 치역은 원래 함수의 정의역입니다.
11. 역함수의 존재 조건
서로 다른 두 입력이 같은 출력에 대응하면 그 출력을 되돌릴 때 입력을 하나로 정할 수 없습니다. 따라서 역함수가 존재하려면 f가 일대일함수여야 합니다.
공역 전체에서 역함수를 정의하려면 치역과 공역도 같아야 하므로 f가 일대일대응이어야 합니다. 원래 함수의 치역만을 역함수의 정의역으로 삼는다면 일대일 조건이 핵심입니다.
12. 수평선 판정법
함수의 그래프에 임의의 수평선을 그었을 때 교점이 언제나 한 개 이하이면 일대일함수이므로 역함수를 가질 수 있습니다.
- \(f(x)=2x+1\): 모든 수평선과 한 번만 만나므로 일대일함수입니다.
- \(f(x)=x^2\), 정의역 \(\mathbb R\): 대부분의 양의 y값에 두 x값이 대응하므로 일대일함수가 아닙니다.
- \(f(x)=x^2\), 정의역 \([0,\infty)\): 수평선과 한 번 이하로 만나므로 역함수가 존재합니다.
13. 역함수 구하는 절차
- 함수가 일대일인지 확인하고 정의역과 치역을 기록합니다.
- \(y=f(x)\)로 놓습니다.
- x와 y를 서로 바꿉니다.
- 새 y에 대하여 식을 풉니다.
- y를 \(f^{-1}(x)\)로 바꿉니다.
- 정의역과 치역을 서로 바꾸어 적고 합성으로 검산합니다.
예제. \(f(x)=3x-5\)의 역함수를 구하세요.
따라서 \(f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}\)입니다.
14. 유리함수의 역함수
\(f(x)=\frac{2x+3}{x-1}\)에서 \(x\ne1\)입니다. y에 대하여 x를 풀면
따라서
원래 함수의 치역에서 2가 빠지므로 역함수의 정의역은 \(x\ne2\)입니다. 역함수의 치역은 원래 정의역과 같은 \(\mathbb R-\{1\}\)입니다.
15. 정의역을 제한하여 역함수 만들기
\(f(x)=x^2\)은 실수 전체에서 일대일이 아니므로 그대로는 역함수가 없습니다. 정의역을 포물선의 한쪽으로 제한하면 일대일이 됩니다.
| 원래 함수의 제한된 정의역 | 치역 | 역함수 |
|---|---|---|
| \([0,\infty)\) | \([0,\infty)\) | \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\) |
| \((-\infty,0]\) | \([0,\infty)\) | \(f^{-1}(x)=-\sqrt{x}\) |
같은 식이라도 어느 쪽 가지를 정의역으로 선택했는지에 따라 되돌리는 함수가 달라집니다.
16. 함수와 역함수의 그래프
점 \((a,b)\)가 \(y=f(x)\) 위에 있으면 \((b,a)\)는 \(y=f^{-1}(x)\) 위에 있습니다. 좌표를 바꾸는 것은 직선 \(y=x\)에 대한 대칭이므로 두 그래프는 서로 대칭입니다.
17. 합성으로 역함수 검산하기
f와 g가 서로 역함수이면 가능한 모든 입력에서 두 방향의 합성이 항등함수가 됩니다.
\(f(x)=3x-5\), \(f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}\)이면
한 방향만 확인하면 정의역과 치역의 제한을 놓칠 수 있으므로 가능하면 두 방향을 모두 검산하세요.
18. 역수와 역함수 구분하기
\(f^{-1}(x)\)는 함수의 대응을 되돌린 것이며 \(\frac1{f(x)}\)와 전혀 다릅니다.
위 첨자 -1은 이 문맥에서 지수가 아니라 합성에 대한 역을 나타냅니다.
19. 자주 하는 실수
- \(g\circ f\)에서 g를 먼저 계산합니다.
- 합성식만 단순화하고 중간 출력이 다음 함수의 정의역에 속하는지 확인하지 않습니다.
- 함수 합성에 교환법칙이 성립한다고 생각합니다.
- 일대일 여부를 확인하지 않고 x와 y를 바꿉니다.
- \(f^{-1}(x)\)를 \(\frac1{f(x)}\)로 계산합니다.
- 원래 함수와 역함수의 정의역·치역을 서로 바꾸지 않습니다.
- 이차함수의 정의역을 제한하지 않고 \(\sqrt{x}\)를 역함수라고 합니다.
20. 연습문제
(1) \(f(x)=2x-1,\ g(x)=x^2+3\)일 때 \((g\circ f)(2)\), \((f\circ g)(2)\)를 구하세요.
(2) \(f(x)=x+4,\ g(x)=3x\)일 때 \((f\circ g)(x)\), \((g\circ f)(x)\)를 구하세요.
(3) \(f(x)=x-5,\ g(x)=\sqrt{x}\)일 때 \((g\circ f)(x)\)와 그 정의역을 구하세요.
(4) \(f(x)=x^2-4,\ g(x)=\frac1x\)일 때 \((g\circ f)(x)\)와 그 정의역을 구하세요.
(5) \(f(x)=x+1,\ g(x)=x^2\)을 이용하여 합성에 교환법칙이 성립하지 않음을 보이세요.
(6) \(f=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}\), \(g=\{(a,4),(b,5)\}\)일 때 \(g\circ f\)를 순서쌍으로 나타내세요.
(7) \(f(x)=2x+1,\ g(x)=x^2,\ h(x)=x-3\)일 때 \((h\circ g\circ f)(1)\)을 구하세요.
(8) \(f(x)=3x-5\)의 역함수를 구하고 두 방향의 합성으로 검산하세요.
(9) \(f(x)=\frac{2x+3}{x-1}\)의 역함수와 그 정의역을 구하세요.
(10) \(f=\{(-1,2),(0,4),(3,5)\}\)의 역함수를 순서쌍으로 나타내세요.
(11) \(f(x)=x^2\), \(x\ge0\)의 역함수와 원래 함수·역함수의 정의역과 치역을 쓰세요.
(12) 함수 f의 그래프 위에 \((-2,5)\)가 있을 때 역함수 그래프 위의 대응점을 쓰세요.
(13) \(f(x)=\frac{x-2}{4}\)의 역함수를 구하고 \(f^{-1}(f(x))=x\)임을 확인하세요.
(14) 화씨온도 F를 섭씨온도로 바꾸는 함수가 \(C(F)=\frac59(F-32)\)일 때 역함수를 구하고 의미를 설명하세요.
연습문제 해설 보기
(1) \(f(2)=3\)이므로 \(g(f(2))=12\). \(g(2)=7\)이므로 \(f(g(2))=13\).
(2) \((f\circ g)(x)=3x+4\), \((g\circ f)(x)=3(x+4)=3x+12\).
(3) \((g\circ f)(x)=\sqrt{x-5}\). \(x-5\ge0\)이므로 정의역은 \([5,\infty)\).
(4) \((g\circ f)(x)=\frac1{x^2-4}\). 중간 출력이 0이면 안 되므로 \(x\ne-2,2\).
(5) \((g\circ f)(x)=(x+1)^2\), \((f\circ g)(x)=x^2+1\)로 서로 다릅니다.
(6) \(g\circ f=\{(1,4),(2,5),(3,4)\}\).
(7) \(f(1)=3,\ g(3)=9,\ h(9)=6\)이므로 6.
(8) \(f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}\). \(f^{-1}(f(x))=x\), \(f(f^{-1}(x))=x\)입니다.
(9) \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}\), 정의역은 \(\mathbb R-\{2\}\).
(10) 좌표를 바꾸면 \(f^{-1}=\{(2,-1),(4,0),(5,3)\}\).
(11) \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\). f와 \(f^{-1}\)의 정의역과 치역은 모두 \([0,\infty)\).
(12) 좌표를 바꾼 \((5,-2)\).
(13) \(y=\frac{x-2}{4}\)에서 \(x=4y+2\)이므로 \(f^{-1}(x)=4x+2\). \(f^{-1}(f(x))=4\left(\frac{x-2}{4}\right)+2=x\).
(14) \(C=\frac59(F-32)\)를 F에 대하여 풀면 \(F=\frac95C+32\). 따라서 \(C^{-1}(x)=\frac95x+32\)이며 섭씨온도를 화씨온도로 바꾸는 함수입니다.
(f(x)=2x+1), (g(x)=x^2)일 때 ((gcirc f)(3))과 ((fcirc g)(3))을 각각 구하세요. 이어서 f의 역함수를 구하고 두 합성 (f^{-1}circ f), (fcirc f^{-1})이 항등함수인지 확인하세요.
정답과 해설 보기
\(f(3)=7\)이므로 \((g\circ f)(3)=g(7)=49\), \(g(3)=9\)이므로 \((f\circ g)(3)=f(9)=19\)입니다. \(y=2x+1\)에서 x와 y를 바꾸어 풀면 \(f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}\)입니다. \(f^{-1}(f(x))=\frac{(2x+1)-1}{2}=x\), \(f(f^{-1}(x))=2\left(\frac{x-1}{2}\right)+1=x\)이므로 두 합성 모두 항등함수입니다.