벡터의 내적

Visual Model

그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.

1. 내적의 결과

벡터의 실수배는 벡터를 만들지만 두 벡터의 내적은 실수를 만듭니다. 따라서 \(\vec a\cdot\vec b\)에는 방향이 없으며, 두 벡터가 서로 같은 방향으로 얼마나 정렬되어 있는지를 수치로 나타냅니다.

2. 끼인각

0이 아닌 두 벡터의 시작점을 맞추었을 때 두 벡터 사이의 작은 각을 끼인각 θ라 합니다. 범위는 \(0\le\theta\le\pi\)입니다. 영벡터와 다른 벡터 사이의 각은 정의하지 않습니다.

3. 기하적 정의

0이 아닌 두 벡터의 크기와 끼인각으로 내적을 정의합니다. 한 벡터가 영벡터이면 내적은 0으로 정합니다.

\[\vec a\cdot\vec b=\lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert\cos\theta\]

4. 내적의 부호

두 벡터가 0이 아닐 때 내적이 양수이면 끼인각은 예각, 0이면 직각, 음수이면 둔각입니다. 이는 \(\cos\theta\)의 부호와 같습니다.

\[\vec a\cdot\vec b>0:\text{ 예각},\quad =0:\text{ 직각},\quad <0:\text{ 둔각}\]

5. 성분에 의한 정의

평면벡터 \(\vec a=(a_1,a_2)\), \(\vec b=(b_1,b_2)\)의 내적은 대응 성분의 곱을 더하여 계산합니다. 결과는 하나의 실수입니다.

\[\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2\]

6. 두 정의가 같은 이유

각 벡터의 방향각을 α, β라 하면 성분은 각각 크기와 코사인·사인의 곱으로 나타납니다. 성분식을 전개하고 코사인 차 공식을 사용하면 끼인각 \(\theta=|\alpha-\beta|\)에 대한 기하적 정의가 얻어집니다.

\[\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\]

7. 기본 계산 예제

\(\vec a=(2,-3)\), \(\vec b=(4,1)\)이면 대응 성분을 곱해 더합니다. 내적이 양수이므로 두 벡터의 끼인각은 예각입니다.

\[\vec a\cdot\vec b=2\cdot4+(-3)\cdot1=5\]

8. 자기 자신과의 내적

벡터를 자기 자신과 내적하면 크기의 제곱이 됩니다. 이 관계를 이용하면 제곱근 없이 길이의 제곱을 비교할 수 있습니다.

\[\vec a\cdot\vec a=\lvert\vec a\rvert^2\]

9. 끼인각 공식

두 벡터가 모두 0이 아닐 때 기하적 정의를 \(\cos\theta\)에 대해 정리하면 성분만으로 각을 구할 수 있습니다.

\[\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert}\]

10. 끼인각 예제

\(\vec a=(2,1)\), \(\vec b=(1,2)\)이면 내적은 4이고 두 벡터의 크기는 모두 \(\sqrt5\)입니다. 따라서 \(\cos\theta=\frac45\)이고 \(\theta=\cos^{-1}(\frac45)\)입니다.

11. 같은 방향과 반대 방향

평행한 두 벡터가 같은 방향이면 \(\theta=0\), 반대 방향이면 \(\theta=\pi\)입니다. 따라서 내적은 각각 크기의 곱과 그 음수가 됩니다.

\[\vec a\cdot\vec b=\pm\lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert\]

12. 수직 판정

0이 아닌 두 벡터는 내적이 0일 때 그리고 그때에만 서로 수직입니다. 영벡터는 모든 벡터와 내적이 0이지만 방향이 없으므로 수직 판정에서는 제외해야 합니다.

\[\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0\qquad(\vec a,\vec b\ne\vec0)\]

13. 수직 조건 예제

\(\vec a=(3,4)\)와 \(\vec b=(k,-6)\)가 수직이면 \(3k-24=0\)이므로 \(k=8\)입니다. 구한 값을 다시 대입해 내적이 0인지 확인합니다.

14. 교환법칙

성분 곱의 순서를 바꾸어도 값이 같으므로 내적에는 교환법칙이 성립합니다.

\[\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\]

15. 분배법칙과 실수배

내적은 벡터의 합에 대해 분배되고 실수배를 내적 밖으로 꺼낼 수 있습니다. 여러 벡터가 섞인 식을 전개할 때 사용합니다.

\[\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c,\qquad (k\vec a)\cdot\vec b=k(\vec a\cdot\vec b)\]

16. 벡터식의 제곱

벡터의 제곱은 보통 자기 자신과의 내적을 뜻합니다. 덧셈과 뺄셈의 크기 제곱은 대수식처럼 전개할 수 있지만 결과는 실수입니다.

\[\lvert\vec a\pm\vec b\rvert^2=\lvert\vec a\rvert^2+\lvert\vec b\rvert^2\pm2\vec a\cdot\vec b\]

17. 합과 차의 길이

\(\lvert\vec a\rvert=3\), \(\lvert\vec b\rvert=4\), \(\vec a\cdot\vec b=6\)이면 \(\lvert\vec a+\vec b\rvert^2=9+16+12=37\), \(\lvert\vec a-\vec b\rvert^2=9+16-12=13\)입니다.

18. 코사인 법칙과의 연결

삼각형에서 한 꼭짓점에서 나가는 두 변을 \(\vec a,\vec b\)로 놓으면 맞은편 변은 \(\vec a-\vec b\)입니다. 앞의 길이 제곱 공식을 적용하면 코사인 법칙이 나옵니다.

\[\lvert\vec a-\vec b\rvert^2=\lvert\vec a\rvert^2+\lvert\vec b\rvert^2-2\lvert\vec a\rvert\lvert\vec b\rvert\cos\theta\]

19. 삼각형의 각 판정

삼각형 ABC에서 A각을 판정하려면 \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)의 부호를 봅니다. 양수이면 예각, 0이면 직각, 음수이면 둔각입니다. 다른 꼭짓점의 각은 그 꼭짓점에서 출발하는 두 벡터를 사용해야 합니다.

20. 좌표 도형 예제

\(A(0,0)\), \(B(4,1)\), \(C(1,3)\)이면 \(\overrightarrow{AB}=(4,1)\), \(\overrightarrow{AC}=(1,3)\)이고 내적은 7입니다. 따라서 A각은 예각입니다.

21. 정사영의 의미

\(\vec a\)를 \(\vec b\) 방향과 그에 수직인 방향으로 분해할 때, \(\vec b\) 방향 성분을 \(\vec a\)의 \(\vec b\) 위 정사영이라 합니다. 그림의 OH가 정사영에 해당합니다.

22. 스칼라 정사영

\(\vec b\) 방향의 부호 있는 길이는 내적을 \(\lvert\vec b\rvert\)로 나눈 값입니다. 실제 선분 길이만 필요하면 절댓값을 취합니다.

\[\operatorname{comp}_{\vec b}\vec a=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec b\rvert},\qquad \text{투영 길이}=\frac{|\vec a\cdot\vec b|}{\lvert\vec b\rvert}\]

23. 벡터 정사영

스칼라 정사영에 \(\vec b\) 방향의 단위벡터를 곱하면 정사영 벡터가 됩니다. \(\vec b\ne\vec0\)일 때만 정의됩니다.

\[\operatorname{proj}_{\vec b}\vec a=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec b\rvert^2}\vec b\]

24. 정사영 예제

\(\vec a=(4,3)\), \(\vec b=(2,1)\)이면 \(\vec a\cdot\vec b=11\), \(\lvert\vec b\rvert^2=5\)입니다. 정사영과 나머지 수직 성분의 내적이 0인지 확인할 수 있습니다.

\[\operatorname{proj}_{\vec b}\vec a=\left(\frac{22}{5},\frac{11}{5}\right),\qquad \vec a-\operatorname{proj}_{\vec b}\vec a=\left(-\frac25,\frac45\right)\]

25. 점에서 직선까지의 거리

점 A에서 시작하여 방향벡터 \(\vec d\)를 갖는 직선과 점 P가 있을 때 \(\overrightarrow{AP}\)에서 \(\vec d\) 방향 정사영을 뺀 수직 성분의 크기가 점과 직선 사이 거리입니다.

\[d(P,l)=\left|\overrightarrow{AP}-\operatorname{proj}_{\vec d}\overrightarrow{AP}\right|\]

26. 물리적 해석

힘 \(\vec F\)가 물체를 변위 \(\vec s\)만큼 움직일 때 힘의 이동 방향 성분만 일을 합니다. 내적은 이 유효 성분과 이동 거리의 곱을 한 식으로 나타냅니다.

\[W=\vec F\cdot\vec s=\lvert\vec F\rvert\lvert\vec s\rvert\cos\theta\]

27. 내적의 범위

\(-1\le\cos\theta\le1\)이므로 내적의 절댓값은 두 벡터 크기의 곱보다 클 수 없습니다. 계산값이 이 범위를 벗어나면 성분이나 크기 계산을 다시 확인해야 합니다.

\[-\lvert\vec a\rvert\lvert\vec b\rvert\le\vec a\cdot\vec b\le\lvert\vec a\rvert\lvert\vec b\rvert\]

28. 자주 하는 오류

내적의 결과를 벡터로 쓰거나, 대응하지 않는 성분끼리 곱하거나, 각 공식의 분모에서 두 벡터의 크기 중 하나를 빠뜨리는 오류가 많습니다. 수직 판정에서는 두 벡터가 영벡터가 아닌지도 확인하세요.

29. 풀이 전략

① 두 벡터를 같은 시작점 기준으로 정리하고 ② 성분 내적으로 값을 계산한 뒤 ③ 문제에 따라 부호·각·수직·길이·정사영 공식을 선택하고 ④ \(|\cos\theta|\le1\) 또는 수직 성분의 내적이 0인지 검산합니다.

30. 공개 참고자료

학습 범위는 교육부의 2022 개정 수학과 교육과정을 따랐습니다. 내적의 정의·성질·수직 판정·정사영은 OpenStax Calculus Volume 3의 The Dot Product, 평면 성분과 끼인각 계산은 OpenStax Algebra and Trigonometry의 Vectors 단원을 참고해 검토했습니다. 설명·유도·수치 예제는 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.