타원

Visual Model

그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.

1. 원뿔곡선으로서의 타원

원뿔의 한쪽 부분을 밑면과 비스듬한 평면으로 자르되 절단면이 원뿔의 모선과 평행하지 않으면 닫힌 곡선인 타원이 나타납니다. 원은 두 초점이 중심에 겹친 특별한 타원으로 볼 수 있습니다.

2. 두 초점 거리합의 정의

서로 다른 두 초점 \(F_1,F_2\)에 대해 \(PF_1+PF_2\)가 일정한 모든 점 P의 집합이 타원입니다. 이 일정한 값은 두 초점 사이의 거리보다 커야 닫힌 타원이 만들어집니다.

\[PF_1+PF_2=2a\]

3. 끈으로 이해하는 거리합

두 초점에 고정한 끈을 연필로 팽팽하게 당긴 채 움직이면 두 끈 조각의 길이 합이 일정하게 유지됩니다. 연필 끝이 그리는 자취가 타원의 거리합 정의를 시각적으로 보여 줍니다.

4. 중심과 두 대칭축

중심은 두 초점의 중점입니다. 두 초점을 지나는 긴 대칭축을 장축, 중심에서 장축에 수직인 짧은 대칭축을 단축이라 하며 두 축은 중심에서 서로 수직으로 만납니다.

5. 꼭짓점과 보조 꼭짓점

장축의 양 끝점을 꼭짓점, 단축의 양 끝점을 보조 꼭짓점이라 합니다. 장반경을 \(a\), 단반경을 \(b\)라 하면 장축 길이는 \(2a\), 단축 길이는 \(2b\)이고 항상 \(a>b>0\)입니다.

6. 거리 정의에서 표준형으로

중심을 원점, 초점을 \((\pm c,0)\)로 두면 거리합은 다음과 같습니다. 식을 두 번 제곱하여 근호를 없애고 \(b^2=a^2-c^2\)로 놓으면 가로 장축 타원의 표준형이 얻어집니다.

\[\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\quad\Longrightarrow\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

7. a, b, c의 관계

\(c\)는 중심에서 초점까지의 거리입니다. 직각삼각형 관계 \(a^2=b^2+c^2\)가 성립하므로 \(c\)는 a와 b를 더하거나 빼는 것이 아니라 제곱의 차로 구합니다.

\[c^2=a^2-b^2\]

8. 원점 중심의 두 표준형

큰 분모 \(a^2\)가 x항 아래에 있으면 장축이 x축, y항 아래에 있으면 장축이 y축입니다. 두 항 모두 더해지고 오른쪽이 1이라는 구조를 함께 확인합니다.

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\quad(a>b>0)\]

9. 평행이동한 타원

중심이 \((h,k)\)이면 x와 y 대신 각각 \(x-h\), \(y-k\)를 사용합니다. 큰 분모가 놓인 방향으로 꼭짓점과 두 초점이 배열됩니다.

\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\]

10. 예제 1: 식에서 모든 요소 읽기

\(\frac{(x+1)^2}{36}+\frac{(y-2)^2}{20}=1\)의 중심은 \((-1,2)\)이고 가로 장축입니다. \(a=6\), \(b=2\sqrt5\), \(c=4\)이므로 꼭짓점은 \((-7,2),(5,2)\), 초점은 \((-5,2),(3,2)\)입니다.

\[c=\sqrt{36-20}=4\]

11. 예제 2: 꼭짓점과 초점에서 식 만들기

중심이 원점이고 꼭짓점이 \((0,\pm7)\), 초점이 \((0,\pm4)\)이면 세로 장축이며 \(a=7\), \(c=4\)입니다. \(b^2=49-16=33\)을 구해 표준형에 넣습니다.

\[\frac{x^2}{33}+\frac{y^2}{49}=1\]

12. 일반형을 표준형으로 바꾸기

x항과 y항을 각각 묶어 완전제곱을 만들고, 상수를 오른쪽으로 옮긴 뒤 양변을 같은 수로 나누어 오른쪽을 1로 만듭니다.

\[4x^2+9y^2-16x+54y+61=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+3)^2}{4}=1\]

13. 이심률로 모양 비교하기

이심률 \(e=\frac ca\)는 타원이 원에서 얼마나 벗어났는지를 나타내며 \(0

\[e=\frac ca=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\]

14. 넓이와 축 길이

반지름 a, b를 가진 원을 한 방향으로 늘이거나 줄인 것으로 생각하면 타원의 넓이는 \(\pi ab\)입니다. 문제에서 주어진 것이 축의 전체 길이인지 반지름인지 반드시 구분합니다.

\[A=\pi ab\]

15. 반사 성질과 활용

타원 내부의 한 초점에서 출발한 빛이나 소리는 경계에서 반사된 뒤 다른 초점을 향하는 성질을 가집니다. 이 성질은 타원형 반사 구조의 설계에 활용되며, 행성의 타원 궤도에서는 중심이 아니라 한 초점에 중심 천체가 놓입니다.

16. 자주 틀리는 부분

a는 항상 장반경이므로 큰 분모의 제곱근입니다. 초점 좌표에 b를 쓰지 말고 \(c^2=a^2-b^2\)를 먼저 계산하며, 중심 \((h,k)\)는 괄호 안 부호와 반대로 읽습니다.

17. 풀이 확인 루틴

먼저 완전제곱과 정규화로 오른쪽을 1로 만듭니다. 그다음 중심과 큰 분모 방향을 찾고 a, b, c 순서로 계산한 뒤 꼭짓점·보조 꼭짓점·초점을 같은 축 위에 표시합니다. 마지막으로 임의의 점에서 두 초점까지 거리합이 \(2a\)인지 확인합니다.

18. 공개 참고자료

개념 구성은 OpenStax의 공개 교재 ‘The Ellipse’를 참고했습니다. 교육부 성취기준에 맞춰 설명 순서와 한국어 문장, 수치 예제는 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.