포물선

Visual Model

그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.

1. 원뿔곡선으로서의 포물선

원뿔을 원뿔의 모선과 평행한 평면으로 자르면 포물선이 나타납니다. 좌표평면에서는 이 곡선을 초점과 준선에 대한 거리 조건으로 정확하게 정의합니다.

2. 초점·준선 정의

초점 F와 준선 \(l\)이 주어졌을 때 \(PF\)와 점 P에서 준선까지의 수직거리가 같은 모든 점 P의 집합이 포물선입니다. 초점은 준선 위에 있지 않습니다.

\[PF=d(P,l)\]

3. 꼭짓점과 대칭축

꼭짓점 V는 초점에서 준선에 내린 수선 위에 있으며 초점과 준선의 정확한 중간에 놓입니다. 초점과 꼭짓점을 지나는 직선은 대칭축이고 준선과 수직입니다.

4. 방정식 유도: 위로 열린 경우

초점을 \(F(0,p)\), 준선을 \(y=-p\)라 하고 포물선 위의 점을 \(P(x,y)\)라 두면 \(PF=y+p\)입니다. 양변을 제곱하고 공통항을 소거하면 표준형이 얻어집니다.

\[\sqrt{x^2+(y-p)^2}=y+p\quad\Longrightarrow\quad x^2=4py\]

5. 원점이 꼭짓점인 두 표준형

제곱된 변수가 y이면 좌우로 열리고, 제곱된 변수가 x이면 위아래로 열립니다. \(p\)는 꼭짓점에서 초점까지의 부호 있는 거리입니다.

\[y^2=4px,\qquad x^2=4py\]

6. 열린 방향과 p의 부호

\(y^2=4px\)에서 \(p>0\)이면 오른쪽, \(p<0\)이면 왼쪽으로 열립니다. \(x^2=4py\)에서는 \(p>0\)이면 위쪽, \(p<0\)이면 아래쪽으로 열립니다.

7. 평행이동한 포물선

꼭짓점이 \((h,k)\)이면 원점 표준형의 x를 \(x-h\), y를 \(y-k\)로 바꿉니다. 대칭축과 초점, 준선도 같은 만큼 평행이동합니다.

\[(y-k)^2=4p(x-h),\qquad (x-h)^2=4p(y-k)\]

8. 표준형에서 요소 읽기

\((y-k)^2=4p(x-h)\)의 꼭짓점은 \((h,k)\), 초점은 \((h+p,k)\), 준선은 \(x=h-p\), 대칭축은 \(y=k\)입니다. 세로축 포물선은 x와 y의 역할을 바꾸어 읽습니다.

9. 예제 1: 식에서 그래프 정보 찾기

\((x-2)^2=-12(y+1)\)에서는 \(4p=-12\)이므로 \(p=-3\)입니다. 꼭짓점은 \((2,-1)\), 초점은 \((2,-4)\), 준선은 \(y=2\), 대칭축은 \(x=2\)이며 아래쪽으로 열립니다.

\[(x-2)^2=4(-3)(y-(-1))\]

10. 예제 2: 초점과 준선에서 식 만들기

초점이 \((5,2)\), 준선이 \(x=-1\)이면 대칭축은 \(y=2\)입니다. 꼭짓점은 두 대상의 중간인 \((2,2)\)이고 \(p=3\)이므로 오른쪽으로 열립니다.

\[(y-2)^2=12(x-2)\]

11. 일반형을 표준형으로 바꾸기

한 변수의 이차항과 일차항이 함께 있으면 완전제곱을 만듭니다. 예를 들어 \(x^2-6x-8y+1=0\)은 \((x-3)^2=8(y+1)\)이므로 꼭짓점 \((3,-1)\), 초점 \((3,1)\), 준선 \(y=-3\)을 얻습니다.

\[x^2-6x+9=8y+8\quad\Longrightarrow\quad(x-3)^2=8(y+1)\]

12. 폭과 초점을 지나는 현

대칭축에 수직이고 초점을 지나는 현의 길이는 \(|4p|\)입니다. 따라서 \(|p|\)가 커질수록 같은 축 방향 거리에서 포물선은 더 넓게 벌어집니다.

13. 반사 성질과 활용

대칭축과 평행하게 들어온 빛이나 전파는 포물선에서 반사된 뒤 초점으로 모입니다. 반대로 초점에서 나온 신호는 반사 후 축과 평행하게 나아가므로 위성 안테나, 반사망원경, 집광 장치의 단면에 포물선이 활용됩니다.

14. 자주 틀리는 부분

계수 전체가 \(p\)가 아니라 \(4p\)라는 점, 괄호 안에서 꼭짓점 좌표의 부호가 반대로 읽힌다는 점, 초점과 준선이 꼭짓점에서 서로 반대 방향으로 같은 거리만큼 떨어진다는 점을 확인합니다.

15. 풀이 확인 루틴

먼저 어느 변수가 제곱되었는지 보고 축 방향을 정합니다. 다음으로 꼭짓점과 \(4p\)를 읽고 초점·준선을 표시한 뒤, 마지막에 임의의 한 점이 초점과 준선까지 같은 거리인지 검사합니다.

16. 공개 참고자료

개념 범위는 교육부의 2022 개정 성취기준에 맞추고, 설명 구성은 OpenStax의 공개 교재 ‘The Parabola’를 참고했습니다. 강의 문장, 전개 순서, 수치 예제는 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.