벡터를 이용한 직선의 방정식

Visual Model

그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.

1. 직선을 결정하는 정보

평면과 공간에서 서로 다른 두 점은 하나의 직선을 결정합니다. 같은 내용을 직선 위의 한 점 A와 직선에 평행한 0이 아닌 방향벡터 \(\vec d\)로도 나타낼 수 있습니다.

2. 방향벡터

직선과 평행한 0이 아닌 벡터를 방향벡터라 합니다. \(\vec d\)가 방향벡터이면 0이 아닌 모든 실수 k에 대해 \(k\vec d\)도 같은 직선의 방향벡터입니다.

3. 벡터방정식의 유도

직선 위의 기준점 A와 임의의 점 P를 잡으면 \(\overrightarrow{AP}\)는 방향벡터 \(\vec d\)와 평행합니다. 따라서 어떤 실수 t가 존재하여 \(\overrightarrow{AP}=t\vec d\)이고, 위치벡터로 바꾸면 직선의 벡터방정식이 됩니다.

\[\vec p-\vec a=t\vec d\quad\Longrightarrow\quad\vec p=\vec a+t\vec d\qquad(t\in\mathbb R)\]

4. 매개변수 t의 의미

t=0이면 기준점 A이고, t>0이면 \(\vec d\) 방향, t<0이면 반대 방향으로 이동합니다. \(|t|\)가 커질수록 A에서 더 멀어지며 이동 거리는 \(|t|\lvert\vec d\rvert\)입니다.

5. 표현의 비유일성

직선 위의 다른 점을 기준점으로 선택하거나 방향벡터를 0이 아닌 실수배로 바꾸면 식은 달라져도 같은 직선을 나타냅니다. 따라서 식의 겉모양보다 기준점이 직선 위에 있는지와 방향이 평행한지를 확인해야 합니다.

6. 평면의 매개방정식

점 \(A(x_0,y_0)\)을 지나고 방향벡터가 \(\vec d=(u,v)\ne\vec0\)인 직선에서 벡터방정식의 성분을 비교합니다.

\[x=x_0+tu,\qquad y=y_0+tv\qquad(t\in\mathbb R)\]

7. 공간의 매개방정식

점 \(A(x_0,y_0,z_0)\)을 지나고 방향벡터가 \(\vec d=(u,v,w)\ne\vec0\)이면 세 좌표가 같은 매개변수 t에 따라 동시에 변합니다.

\[x=x_0+tu,\qquad y=y_0+tv,\qquad z=z_0+tw\]

8. 한 점과 방향벡터 예제

점 \(A(1,-2,3)\)을 지나고 \(\vec d=(2,1,-1)\)에 평행한 직선은 다음 세 형태 중 벡터형과 매개형으로 바로 나타낼 수 있습니다.

\[(x,y,z)=(1,-2,3)+t(2,1,-1),\quad x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=3-t\]

9. 평면 직선의 대칭형

방향벡터의 두 성분 u, v가 모두 0이 아닐 때 각 매개방정식을 t에 대해 풀어 같은 값으로 놓습니다.

\[\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}\]

10. 공간 직선의 대칭형

u, v, w가 모두 0이 아닐 때 세 비를 같게 놓습니다. 분모는 좌표가 아니라 방향벡터의 성분입니다.

\[\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v}=\frac{z-z_0}{w}\]

11. 방향 성분이 0일 때

0인 방향 성분으로 나누면 안 됩니다. 예를 들어 \(\vec d=(2,0,-1)\)이면 y좌표는 변하지 않으므로 \(y=y_0\)를 따로 쓰고 나머지만 \(\frac{x-x_0}{2}=\frac{z-z_0}{-1}\)로 나타냅니다.

12. 두 점을 지나는 직선

서로 다른 두 점 A, B가 주어지면 \(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\)를 방향벡터로 사용합니다. 이 벡터는 0이 아니므로 직선을 정확히 결정합니다.

\[\vec p=\vec a+t(\vec b-\vec a)\]

13. 두 점 예제

\(A(-1,2,0)\), \(B(3,-2,6)\)이면 방향벡터는 \(\overrightarrow{AB}=(4,-4,6)\)이고 간단히 \((2,-2,3)\)을 사용할 수 있습니다.

\[(x,y,z)=(-1,2,0)+t(2,-2,3)\]

14. 선분의 벡터방정식

같은 식에서 t의 범위를 \(0\le t\le1\)로 제한하면 A와 B를 잇는 선분만 나타냅니다. t=0은 A, t=1은 B이고 중간 값은 두 점의 가중평균입니다.

\[\vec p=(1-t)\vec a+t\vec b\qquad(0\le t\le1)\]

15. 반직선

A에서 \(\vec d\) 방향으로만 뻗는 반직선은 \(\vec p=\vec a+t\vec d\)에서 \(t\ge0\)으로 제한합니다. 반대쪽 반직선은 \(t\le0\)입니다.

16. 점이 직선 위에 있는 조건

점 Q의 위치벡터가 \(\vec q\)일 때 하나의 실수 t가 모든 성분식을 동시에 만족하면 Q는 직선 위에 있습니다. 성분마다 서로 다른 t가 나오면 직선 위의 점이 아닙니다.

\[\vec q-\vec a=t\vec d\]

17. 소속 판정 예제

직선 \((x,y,z)=(1,0,2)+t(2,-1,3)\)에 점 \(Q(5,-2,8)\)을 대입하면 세 성분에서 모두 t=2가 나옵니다. 따라서 Q는 직선 위에 있습니다.

18. 좌표평면과 만나는 점

공간 직선이 xy평면과 만나는 점은 z=0, yz평면은 x=0, zx평면은 y=0을 매개방정식에 넣어 t를 구합니다. 해당 성분이 항상 0이면 직선 전체가 그 좌표평면 위에 놓일 수도 있습니다.

19. 평면에서 기울기와 방향벡터

방향벡터가 \(\vec d=(u,v)\)이고 \(u\ne0\)이면 직선의 기울기는 \(\frac vu\)입니다. u=0이면 x좌표가 일정한 수직선이므로 기울기가 정의되지 않습니다.

\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac vu\]

20. 평면의 일반형으로 바꾸기

방향벡터 \((u,v)\)에 수직인 법선벡터로 \((v,-u)\)를 선택하면 평면 직선의 일반형을 만들 수 있습니다.

\[v(x-x_0)-u(y-y_0)=0\]

21. 일반형에서 방향벡터 찾기

직선 \(Ax+By+C=0\)의 법선벡터는 \((A,B)\)이므로 방향벡터로 \((B,-A)\)를 사용할 수 있습니다. 두 벡터의 내적이 0인지 확인하면 됩니다.

22. 두 직선의 평행과 일치

두 직선의 방향벡터가 실수배 관계이면 평행하거나 같은 직선입니다. 한 직선의 기준점을 다른 직선 식에 대입해도 성립하면 일치하고, 성립하지 않으면 서로 다른 평행선입니다.

23. 평면에서 두 직선의 교점

방향벡터가 평행하지 않으면 두 직선은 한 점에서 만납니다. 각 직선에 서로 다른 매개변수 s, t를 사용하고 x와 y 성분을 같게 놓아 연립방정식을 풉니다.

24. 공간에서 두 직선의 위치 관계

공간에서는 방향벡터가 실수배이면 일치 또는 평행입니다. 실수배가 아니면 세 성분 연립식에 공통해가 있을 때 만나고, 공통해가 없으면 같은 평면 위에 있지 않은 꼬인 위치입니다.

25. 공간 교점 예제

\(L_1:(x,y,z)=(1,0,2)+s(1,2,-1)\), \(L_2:(x,y,z)=(3,4,0)+t(-1,0,1)\)에서 s=2, t=0이면 두 식이 모두 \((3,4,0)\)을 만듭니다. 따라서 두 직선은 그 점에서 만납니다.

26. 두 직선이 이루는 각

두 직선의 방향벡터를 \(\vec d_1,\vec d_2\)라 할 때 직선 사이의 각은 예각 또는 직각으로 정합니다. 방향벡터의 방향을 반대로 선택해도 같은 값이 나오도록 내적에 절댓값을 사용합니다.

\[\cos\theta=\frac{|\vec d_1\cdot\vec d_2|}{\lvert\vec d_1\rvert\lvert\vec d_2\rvert}\qquad(0\le\theta\le\tfrac\pi2)\]

27. 점에서 직선까지의 거리

점 A를 지나고 방향벡터 \(\vec d\)를 갖는 직선과 점 Q 사이 거리는 \(\overrightarrow{AQ}\)에서 \(\vec d\) 방향 성분을 뺀 수직 성분의 크기입니다.

\[d(Q,L)=\left|\overrightarrow{AQ}-\frac{\overrightarrow{AQ}\cdot\vec d}{\lvert\vec d\rvert^2}\vec d\right|\]

28. 자주 하는 오류

방향벡터로 영벡터를 사용하거나, 두 점을 지나는 직선에서 좌표 차의 순서를 성분마다 다르게 잡거나, 대칭형에서 0으로 나누는 오류가 많습니다. 두 직선의 매개변수는 반드시 서로 다른 문자로 두세요.

29. 풀이 전략

① 직선 위 기준점과 0이 아닌 방향벡터를 찾고 ② \(\vec p=\vec a+t\vec d\)를 세운 뒤 ③ 필요하면 성분형·대칭형으로 바꾸고 ④ 한 매개변수가 모든 좌표를 동시에 만족하는지 확인합니다. 위치 관계는 방향 비교 후 교점 검사를 진행합니다.

30. 공개 참고자료

학습 범위는 교육부의 2022 개정 수학과 교육과정을 따랐습니다. 직선의 벡터형·매개형·대칭형과 두 점을 지나는 직선은 OpenStax Calculus Volume 3의 Equations of Lines and Planes in Space, 형태 변환과 예제 범위는 LibreTexts의 Lines and Planes를 참고해 검토했습니다. 설명·유도·수치 예제는 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.