벡터를 이용한 평면과 구의 방정식

Visual Model

그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.

1. 평면을 결정하는 정보

공간에서 한 점 A와 평면에 수직인 0이 아닌 벡터 \(\vec n\)이 주어지면 하나의 평면이 결정됩니다. \(\vec n\)을 평면의 법선벡터라 합니다.

2. 법선벡터의 비유일성

\(\vec n\)이 법선벡터이면 0이 아닌 모든 실수 k에 대해 \(k\vec n\)도 같은 평면의 법선벡터입니다. 따라서 평면의 방정식 전체에 0이 아닌 상수를 곱해도 같은 평면입니다.

3. 평면의 벡터방정식 유도

평면 위의 기준점 A와 임의의 점 P를 잡으면 \(\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a\)는 법선벡터와 수직입니다. 수직인 두 벡터의 내적이 0이라는 사실을 사용합니다.

\[\vec n\cdot(\vec p-\vec a)=0\]

4. 좌표방정식

\(A(x_0,y_0,z_0)\), \(P(x,y,z)\), \(\vec n=(a,b,c)\ne\vec0\)를 벡터방정식에 대입하고 성분 내적을 계산합니다.

\[a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\]

5. 평면의 일반형

좌표방정식을 전개하면 \(ax+by+cz+d=0\)이 됩니다. 이때 \((a,b,c)\)는 법선벡터이고 a, b, c가 동시에 0일 수 없습니다.

\[ax+by+cz+d=0\]

6. 한 점과 법선벡터 예제

점 \(A(1,0,-2)\)를 지나고 법선벡터가 \(\vec n=(2,-1,3)\)인 평면은 다음과 같습니다.

\[2(x-1)-y+3(z+2)=0\quad\Longrightarrow\quad2x-y+3z+4=0\]

7. 점의 소속 판정

점 Q의 좌표를 평면 방정식에 대입한 값이 0이면 Q는 평면 위에 있습니다. 벡터식에서는 \(\vec n\cdot(\vec q-\vec a)=0\)인지 확인합니다.

8. 평면의 매개형

평면 위에서 서로 평행하지 않은 두 방향벡터 \(\vec u,\vec v\)와 기준점 A가 주어지면 두 실수 s, t로 평면 위 모든 점을 나타낼 수 있습니다.

\[\vec p=\vec a+s\vec u+t\vec v\qquad(s,t\in\mathbb R)\]

9. 매개형과 법선

매개형의 두 방향벡터는 모두 평면 위에 있으므로 법선벡터와의 내적이 0입니다. 외적을 사용하지 않아도 \(\vec n=(a,b,c)\)의 성분을 미지수로 두고 두 일차방정식을 풀어 법선을 찾을 수 있습니다.

\[\vec n\cdot\vec u=0,\qquad\vec n\cdot\vec v=0\]

10. 세 점을 지나는 평면

한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C는 하나의 평면을 결정합니다. \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\)에 모두 수직인 0이 아닌 벡터를 법선으로 찾습니다.

11. 세 점 예제

\(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\), \(C(0,0,1)\)에서 \(\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)\)입니다. 두 벡터와 수직인 \(\vec n=(1,1,1)\)을 얻습니다.

\[x+y+z=1\]

12. 두 평면의 평행

두 평면의 법선벡터가 실수배 관계이면 두 평면은 평행하거나 일치합니다. 한 평면 위의 점을 다른 평면식에 대입해 성립하면 일치하고, 그렇지 않으면 서로 다른 평행면입니다.

13. 두 평면의 수직

두 평면의 법선벡터가 수직이면 두 평면도 수직으로 만납니다. 따라서 법선벡터의 내적이 0인지 검사합니다.

\[\Pi_1\perp\Pi_2\iff\vec n_1\cdot\vec n_2=0\]

14. 직선과 평면의 관계

직선의 방향벡터를 \(\vec d\), 평면의 법선을 \(\vec n\)이라 할 때 \(\vec d\cdot\vec n=0\)이면 직선은 평면과 평행하거나 평면 위에 있습니다. 0이 아니면 직선은 평면과 한 점에서 만납니다.

15. 직선과 평면의 교점 예제

직선 \((x,y,z)=(1,0,0)+t(1,1,1)\)을 평면 \(x+y+z=4\)에 대입하면 \(1+3t=4\)이므로 t=1입니다. 교점은 \((2,1,1)\)입니다.

16. 두 평면이 이루는 각

두 평면이 이루는 예각은 법선벡터 사이의 예각과 같습니다. 법선의 방향을 반대로 골라도 같은 값이 나오도록 내적에 절댓값을 사용합니다.

\[\cos\theta=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{\lvert\vec n_1\rvert\lvert\vec n_2\rvert}\]

17. 직선과 평면이 이루는 각

직선과 평면이 이루는 예각 φ는 직선의 방향벡터와 평면의 법선이 이루는 각의 여각입니다.

\[\sin\phi=\frac{|\vec d\cdot\vec n|}{\lvert\vec d\rvert\lvert\vec n\rvert}\]

18. 점과 평면 사이의 거리

평면 위 점 A에서 점 Q로 향하는 벡터를 법선 방향으로 정사영한 길이가 최단거리입니다.

\[d(Q,\Pi)=\frac{|\vec n\cdot(\vec q-\vec a)|}{\lvert\vec n\rvert}\]

19. 거리의 좌표 공식

점 \(Q(x_1,y_1,z_1)\)과 평면 \(ax+by+cz+d=0\) 사이 거리는 다음과 같습니다. 분자는 평면식에 Q를 대입한 값의 절댓값입니다.

\[d(Q,\Pi)=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

20. 평행한 두 평면 사이 거리

두 평면을 법선 계수가 같도록 정리한 \(ax+by+cz+d_1=0\), \(ax+by+cz+d_2=0\)이라면 거리는 상수항 차의 절댓값을 법선의 크기로 나눈 값입니다.

\[d(\Pi_1,\Pi_2)=\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

21. 구면과 구의 내부

중심 C에서 거리가 r인 점들의 집합은 구면입니다. 거리가 r 이하인 점까지 포함하면 구의 내부를 포함한 입체가 되므로 방정식과 부등식을 구별해야 합니다.

\[\lvert\vec p-\vec c\rvert=r:\text{ 구면},\qquad \lvert\vec p-\vec c\rvert\le r:\text{ 내부 포함}\]

22. 구의 벡터방정식

중심의 위치벡터를 \(\vec c\), 구면 위 점 P의 위치벡터를 \(\vec p\)라 하면 반지름벡터는 \(\vec p-\vec c\)이고 그 크기는 항상 r입니다.

\[\lvert\vec p-\vec c\rvert=r\]

23. 내적을 이용한 형태

크기식의 양변을 제곱하면 반지름벡터의 자기 자신과의 내적으로 나타낼 수 있습니다.

\[(\vec p-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2\]

24. 구의 좌표방정식

중심이 \(C(a,b,c)\), 반지름이 r이면 거리 공식을 적용하여 표준형을 얻습니다.

\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\]

25. 중심과 한 점으로 구 만들기

중심이 \(C(1,-2,3)\)이고 구면 위 점이 \(S(4,2,3)\)이면 \(\overrightarrow{CS}=(3,4,0)\)이므로 \(r=5\)입니다.

\[(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25\]

26. 구의 일반형

표준형을 전개하면 이차항의 계수가 같고 교차항이 없는 일반형이 됩니다. 완전제곱하면 중심과 반지름을 되찾을 수 있습니다.

\[x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0\]

27. 일반형에서 중심과 반지름

각 일차항을 완전제곱하면 중심은 일차항 계수의 절반에 반대 부호를 붙인 점이고, 반지름의 제곱은 다음과 같습니다.

\[C\left(-\frac D2,-\frac E2,-\frac F2\right),\qquad r^2=\frac{D^2+E^2+F^2}{4}-G\]

28. 실제 구가 되는 조건

완전제곱 후 얻은 \(r^2\)이 양수이면 반지름이 양수인 구면, 0이면 한 점, 음수이면 실수 공간에서 점을 갖지 않습니다.

29. 점과 구의 위치

점 Q에 대해 \(\lvert\vec q-\vec c\rvert^2\)을 \(r^2\)과 비교합니다. 작으면 내부, 같으면 구면 위, 크면 외부입니다. 제곱근을 계산하지 않아도 판정할 수 있습니다.

30. 지름의 양 끝점

지름의 양 끝점이 A, B이면 중심은 중점이고 반지름은 \(AB/2\)입니다. 벡터로는 \(\vec c=\frac{\vec a+\vec b}{2}\), \(r=\frac12\lvert\vec b-\vec a\rvert\)입니다.

31. 구와 평면의 위치 관계

구의 중심에서 평면까지 거리 d를 구해 반지름 r과 비교합니다. dr이면 만나지 않습니다.

32. 평면으로 자른 단면

d

\[\rho=\sqrt{r^2-d^2}\]

33. 단면 중심의 벡터식

평면이 \(\vec n\cdot\vec p+h=0\)이고 구의 중심이 \(\vec c\)이면 C를 평면에 정사영한 점 H의 위치벡터는 다음과 같습니다.

\[\vec h_C=\vec c-\frac{\vec n\cdot\vec c+h}{\lvert\vec n\rvert^2}\vec n\]

34. 구의 접평면

구면 위 점 S에서 반지름벡터 \(\vec s-\vec c\)는 접평면의 법선벡터입니다. 접평면 위 임의의 점 P로 향하는 벡터와 수직 조건을 세웁니다.

\[(\vec s-\vec c)\cdot(\vec p-\vec s)=0\]

35. 접평면 예제

중심이 원점이고 반지름이 3인 구에서 \(S(1,2,2)\)는 구면 위에 있습니다. 반지름벡터 \((1,2,2)\)를 법선으로 사용하면 접평면은 \(x+2y+2z=9\)입니다.

36. 두 구의 공통 원이 놓이는 평면

중심이 다른 두 구가 원으로 만날 때 두 구의 좌표방정식을 빼면 이차항이 소거되어 하나의 평면식이 됩니다. 이 평면은 공통 원 전체를 포함합니다.

37. 자주 하는 오류

평면에서는 법선벡터를 영벡터로 두거나 법선과 평면 위 방향을 혼동하기 쉽습니다. 구에서는 반지름과 반지름 제곱, 표준형 괄호의 부호, 구면 방정식과 내부 부등식을 구별하세요.

38. 풀이 전략

평면은 ① 기준점 ② 법선 ③ 내적 0의 순서로, 구는 ① 중심 ② 반지름벡터 ③ 거리 일정의 순서로 식을 세웁니다. 좌표식으로 전개한 뒤에는 기준점 대입, 법선과 방향의 내적, 중심에서 구면까지 거리로 검산합니다.

39. 공개 참고자료

학습 범위는 교육부의 2022 개정 수학과 교육과정을 따랐습니다. 평면의 벡터식·법선·거리 공식은 OpenStax Calculus Volume 3의 Equations of Lines and Planes in Space, 구의 거리 자취와 표준형은 OpenStax의 Vectors in Three Dimensions를 참고해 검토했습니다. 설명·유도·수치 예제와 단면·접평면 활동은 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.