벡터의 뜻과 연산

Visual Model

그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.

1. 스칼라와 벡터

길이, 질량, 온도처럼 크기만으로 정해지는 양은 스칼라입니다. 변위, 속도, 힘처럼 크기뿐 아니라 방향도 함께 정해야 하는 양은 벡터입니다.

2. 유향선분

점 A에서 점 B로 향하는 화살표를 유향선분이라 하고 \(\overrightarrow{AB}\)로 나타냅니다. A는 시작점, B는 끝점이며 화살표의 길이와 향하는 쪽이 각각 벡터의 크기와 방향을 나타냅니다.

3. 벡터의 크기

벡터 \(\vec a\)의 크기는 \(\lvert\vec a\rvert\)로 씁니다. 크기는 항상 0 이상인 실수이며 벡터 자체와 스칼라인 크기를 구별해야 합니다.

\[\lvert\vec a\rvert\ge 0\]

4. 자유벡터의 관점

벡터는 시작점의 위치보다 크기와 방향이 본질적입니다. 따라서 화살표를 방향과 길이를 바꾸지 않고 평행이동해도 같은 벡터를 나타냅니다.

5. 벡터의 상등

두 벡터의 크기와 방향이 모두 같을 때 서로 같다고 합니다. 시작점과 끝점이 달라도 두 조건을 만족하면 같은 벡터입니다.

6. 영벡터

시작점과 끝점이 같은 벡터를 영벡터 \(\vec 0\)이라 합니다. 크기는 0이고 특정한 방향을 정하지 않으며 모든 벡터 a에 대해 덧셈의 항등원 역할을 합니다.

\[\vec a+\vec 0=\vec a\]

7. 역벡터

\(-\vec a\)는 \(\vec a\)와 크기가 같고 방향이 반대인 벡터입니다. 두 벡터를 더하면 영벡터가 됩니다.

\[\vec a+(-\vec a)=\vec 0\]

8. 벡터의 합: 삼각형법

\(\vec a\)의 끝점에 \(\vec b\)의 시작점을 이어 붙입니다. \(\vec a\)의 시작점에서 옮겨 놓은 \(\vec b\)의 끝점으로 향하는 벡터가 \(\vec a+\vec b\)입니다.

9. 벡터의 합: 평행사변형법

두 벡터의 시작점을 맞추고 각 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형을 만듭니다. 공통 시작점에서 마주 보는 꼭짓점으로 향하는 대각선이 합벡터입니다.

10. 합의 순서

삼각형법에서 순서를 바꾸어도 같은 평행사변형의 대각선을 얻습니다. 따라서 벡터의 덧셈에는 교환법칙이 성립합니다.

\[\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\]

11. 세 벡터의 합

여러 벡터는 앞 벡터의 끝에 다음 벡터의 시작점을 차례로 잇습니다. 묶는 순서가 달라도 처음점과 마지막점이 같으므로 결합법칙이 성립합니다.

\[(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)\]

12. 벡터의 차

\(\vec a-\vec b\)는 \(\vec a\)에 \(\vec b\)의 역벡터를 더한 것입니다. 두 벡터의 시작점을 맞추면 \(\vec a-\vec b\)는 \(\vec b\)의 끝점에서 \(\vec a\)의 끝점으로 향합니다.

\[\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)\]

13. 실수배의 뜻

실수 k에 대해 \(k\vec a\)의 크기는 \(\lvert k\rvert\lvert\vec a\rvert\)입니다. k가 양수이면 방향이 같고 음수이면 반대이며, k=0이면 영벡터가 됩니다.

\[\lvert k\vec a\rvert=\lvert k\rvert\,\lvert\vec a\rvert\]

14. 실수배 예제

\(\lvert\vec a\rvert=4\)일 때 \(3\vec a\)는 같은 방향으로 크기가 12이고, \(-\frac12\vec a\)는 반대 방향으로 크기가 2입니다.

15. 평행과 실수배

0이 아닌 두 벡터 중 하나가 다른 하나의 실수배이면 서로 평행합니다. 실수배가 양수이면 같은 방향, 음수이면 반대 방향입니다.

\[\vec b=k\vec a\quad(k\ne0)\]

16. 실수배의 분배법칙

벡터와 실수의 연산은 다음 법칙을 만족합니다. 식을 전개하거나 같은 벡터끼리 묶을 때 사용합니다.

\[k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b,\qquad (k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a\]

17. 성분으로 나타내기

평면에서 벡터를 \(\vec a=(a_1,a_2)\)처럼 나타내면 가로와 세로 방향의 변화를 각각 성분이라 합니다. 성분 표현은 평행이동해도 변하지 않습니다.

18. 성분의 상등

두 벡터는 대응하는 성분이 모두 같을 때 그리고 그때에만 같습니다.

\[(a_1,a_2)=(b_1,b_2)\iff a_1=b_1,\ a_2=b_2\]

19. 성분의 합과 차

벡터의 합과 차는 대응하는 성분끼리 계산합니다. 이는 화살표를 가로·세로 이동으로 나누어 삼각형법을 적용한 결과와 같습니다.

\[(a_1,a_2)\pm(b_1,b_2)=(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2)\]

20. 성분의 실수배

실수배는 모든 성분에 같은 실수를 곱합니다.

\[k(a_1,a_2)=(ka_1,ka_2)\]

21. 성분 연산 예제

\(\vec a=(2,-1)\), \(\vec b=(-3,4)\)일 때 합과 차, 일차결합을 대응 성분끼리 계산합니다.

\[\vec a+\vec b=(-1,3),\quad \vec a-\vec b=(5,-5),\quad 2\vec a-\vec b=(7,-6)\]

22. 크기와 성분

직각삼각형의 피타고라스 정리를 적용하면 \(\vec a=(a_1,a_2)\)의 크기를 구할 수 있습니다. 벡터가 영벡터일 때에만 두 성분과 크기가 모두 0입니다.

\[\lvert\vec a\rvert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\]

23. 일차결합

\(s\vec a+t\vec b\)처럼 벡터의 실수배를 더한 식을 일차결합이라 합니다. 먼저 각 벡터를 실수배한 뒤 대응 성분을 더하면 복합적인 이동을 하나의 벡터로 나타낼 수 있습니다.

24. 자주 하는 오류

벡터와 크기를 같은 것으로 쓰거나, 뺄셈에서 \(-\vec b\)의 모든 성분 부호를 바꾸지 않거나, 음의 실수배에서 방향이 반대가 된다는 점을 놓치기 쉽습니다. 그림과 성분 계산을 서로 대조해 검산하세요.

25. 풀이 순서

① 화살표의 시작점과 끝점을 확인하고 ② 합은 머리와 꼬리를 잇고 차는 역벡터를 더하며 ③ 성분별로 계산한 뒤 ④ 크기와 방향이 그림에 맞는지 확인합니다.

26. 공개 참고자료

학습 범위는 교육부의 2022 개정 수학과 교육과정을 따랐습니다. 벡터의 기하적 표현과 연산은 OpenStax 공개 교재의 Vectors 단원, 성분의 의미는 OpenStax University Physics의 벡터 성분 자료를 참고해 검토했습니다. 설명과 예제는 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.