이차곡선의 접선

Visual Model

그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.

1. 접선의 의미

접선은 곡선 위 한 점에서 곡선과 같은 국소 방향을 갖는 직선입니다. 이차곡선과 직선을 연립했을 때 접점에 해당하는 두 교점이 하나로 겹친다고 해석할 수 있습니다.

2. 중근과 판별식

직선을 이차곡선의 식에 대입하면 보통 한 변수에 대한 이차방정식이 됩니다. 접할 때는 접점 좌표가 중근이므로 판별식이 0입니다.

\[D=B^2-4AC=0\]

3. 세 가지 출제 유형

접점이 주어지면 접점형 공식을, 기울기가 주어지면 기울기형 또는 판별식을, 곡선 밖의 한 점이 주어지면 그 점을 지나는 직선을 세운 뒤 판별식 조건을 사용합니다.

4. 포물선 접선: 접점형

\(y^2=4px\) 위의 점 \(P(x_1,y_1)\)에서는 y²을 \(yy_1\), x를 \(\frac{x+x_1}{2}\)에 대응시키면 접선식이 만들어집니다. 점 P가 원래 포물선 위에 있는지 먼저 확인합니다.

\[yy_1=2p(x+x_1)\]

5. 세로축 포물선의 접점형

\(x^2=4py\)에서는 x와 y의 역할을 바꾸어 읽습니다. 꼭짓점에서의 접선은 이 공식에 접점 좌표를 넣어도 얻을 수 있습니다.

\[xx_1=2p(y+y_1)\]

6. 포물선 접점형 유도

직선 \(y-y_1=m(x-x_1)\)을 \(y^2=4px\)에 대입해 x에 대한 이차방정식을 만들고 \(x=x_1\)이 중근이 되게 하면 \(m=\frac{2p}{y_1}\)을 얻습니다. 이를 점기울기식에 넣고 \(y_1^2=4px_1\)을 사용하면 접점형이 됩니다.

7. 포물선 예제

\(y^2=8x\) 위의 점 \((2,4)\)에서는 \(p=2\)입니다. 접점형에 대입하면 \(4y=4(x+2)\)이므로 접선은 \(y=x+2\)입니다.

\[4y=4(x+2)\quad\Longrightarrow\quad y=x+2\]

8. 포물선 접선: 기울기형

\(y^2=4px\)에 기울기 m인 직선 \(y=mx+n\)을 대입하고 판별식을 0으로 두면 \(n=\frac pm\)입니다. 단, 꼭짓점의 수직접선 \(x=0\)은 이 꼴에 포함되지 않습니다.

\[y=mx+\frac pm\quad(m\ne0)\]

9. 세로축 포물선의 기울기형

\(x^2=4py\)에 \(y=mx+n\)을 대입하면 중근 조건에서 \(n=-pm^2\)를 얻습니다.

\[y=mx-pm^2\]

10. 타원 접선: 접점형

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 위의 점 \(P(x_1,y_1)\)에서 각 제곱항의 한 인수를 접점 좌표로 바꾸면 접선식이 됩니다.

\[\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1\]

11. 타원 접점형 확인

접선식에 \((x,y)=(x_1,y_1)\)을 넣으면 원래 타원식이 되어 접점을 지남을 확인할 수 있습니다. 직선을 타원식에 다시 대입하면 접점 좌표가 중근으로 나타납니다.

12. 타원 예제

\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\) 위의 점 \((4,\frac95)\)에서 접선은 \(\frac{4x}{25}+\frac{y}{5}=1\)입니다. 분모를 없애면 \(4x+5y=25\)가 됩니다.

\[\frac{4x}{25}+\frac{y}{5}=1\quad\Longrightarrow\quad4x+5y=25\]

13. 타원 접선: 기울기형

기울기 m인 직선 \(y=mx+n\)을 타원에 대입해 판별식을 0으로 두면 \(n^2=a^2m^2+b^2\)입니다. 부호가 두 개이므로 같은 기울기를 가진 평행한 두 접선이 생깁니다.

\[y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}\]

14. 쌍곡선 접선: 접점형

\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) 위의 점 \(P(x_1,y_1)\)에서는 타원 공식의 두 번째 항 부호만 달라집니다.

\[\frac{xx_1}{a^2}-\frac{yy_1}{b^2}=1\]

15. 쌍곡선 예제

\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) 위의 점 \((5,\frac{16}{3})\)에서 접선은 \(\frac{5x}{9}-\frac{y}{3}=1\)이므로 \(5x-3y=9\)입니다.

\[\frac{5x}{9}-\frac{y}{3}=1\quad\Longrightarrow\quad5x-3y=9\]

16. 쌍곡선 접선: 기울기형

기울기 m인 직선을 가로 쌍곡선에 대입하면 \(n^2=a^2m^2-b^2\)을 얻습니다. 제곱근 안이 음수가 되지 않아야 실제 접선이 존재합니다.

\[y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}\]

17. 평행이동한 이차곡선

중심 또는 꼭짓점이 \((h,k)\)이면 \(X=x-h\), \(Y=y-k\)로 옮긴 좌표에서 접선 공식을 적용합니다. 마지막에 X와 Y를 원래 좌표로 되돌리면 부호 실수를 줄일 수 있습니다.

18. 외부점에서 타원에 그은 접선

타원 \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) 밖의 점 \((5,0)\)을 지나는 직선을 \(y=m(x-5)\)로 둡니다. 기울기형의 절편 조건 \((-5m)^2=16m^2+9\)에서 \(m=\pm1\)을 얻습니다.

\[y=x-5,\qquad y=-x+5\]

19. 외부점 문제의 일반 절차

외부점 \((u,v)\)을 지나는 직선을 \(y-v=m(x-u)\)로 둡니다. 이를 곡선에 대입하여 판별식 0을 만들고 m을 구한 뒤, 각 m을 직선식에 다시 넣습니다. 수직접선 가능성은 별도로 확인합니다.

20. 접선인지 검산하기

구한 직선이 주어진 점을 지나는지 확인하고, 이차곡선과 연립했을 때 판별식이 0인지 검사합니다. 접점이 주어진 경우에는 그 점이 곡선 위에 있는지도 먼저 확인해야 합니다.

21. 자주 틀리는 부분

타원과 쌍곡선의 두 번째 항 부호, 포물선 공식의 \(2p\)와 \(4p\), 기울기형의 ±, 평행이동한 좌표의 괄호 부호를 특히 주의합니다. 기울기형이 수직접선을 표현하지 못한다는 점도 기억합니다.

22. 공식 암기보다 구조 보기

접점형은 원래 이차항의 한 인수를 접점 좌표로 바꾸고, 일차항은 현재 좌표와 접점 좌표의 평균을 사용한다는 공통 구조를 가집니다. 그래도 기억이 나지 않으면 언제든 연립과 판별식으로 다시 만들 수 있습니다.

23. 공개 참고자료

성취기준 범위는 교육부 자료를 따르고, 접점형의 확인은 LibreTexts의 공개 미적분 자료와 OpenStax의 공개 이차곡선 자료를 참고했습니다. 설명과 예제는 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.