구의 방정식

Visual Model

그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.

1. 구면과 내부 영역

중심 C에서 거리가 정확히 r인 점들의 집합이 구면이며, 교과서에서는 그 자취의 방정식을 보통 ‘구의 방정식’이라고 부릅니다. 거리가 r보다 작은 점까지 포함하려면 등식이 아니라 부등식을 사용합니다.

2. 거리 자취로 정의하기

중심을 \(C(a,b,c)\), 구면 위의 임의의 점을 \(P(x,y,z)\)라 하면 모든 P는 \(CP=r\)을 만족합니다. 이 한 조건이 구의 방정식 전체를 결정합니다.

\[CP=r\]

3. 표준형의 유도

공간의 거리 공식에 C와 P의 좌표를 넣고 양변을 제곱하면 제곱근이 사라져 구의 표준형이 됩니다.

\[\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}=r\quad\Longrightarrow\quad(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\]

4. 표준형 읽기

표준형에서 괄호 안 부호와 중심 좌표의 부호는 반대입니다. \((x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=25\)의 중심은 \((2,-3,1)\), 반지름은 5입니다.

5. 중심이 원점인 구

중심이 원점이면 a, b, c가 모두 0이므로 식이 간단해집니다. 세 좌표축과 만나는 점은 \((\pm r,0,0)\), \((0,\pm r,0)\), \((0,0,\pm r)\)입니다.

\[x^2+y^2+z^2=r^2\]

6. 중심과 한 점이 주어진 경우

중심 C와 구면 위 한 점 Q가 주어지면 거리 CQ가 반지름입니다. 거리의 제곱을 바로 우변에 넣으면 불필요한 제곱근 계산을 줄일 수 있습니다.

\[r^2=(x_Q-a)^2+(y_Q-b)^2+(z_Q-c)^2\]

7. 중심과 한 점 예제

중심이 \(C(2,-1,3)\)이고 \(Q(5,3,3)\)을 지나는 구는 \(r^2=3^2+4^2=25\)이므로 다음과 같습니다.

\[(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=25\]

8. 구의 일반형

표준형을 전개하면 x², y², z²의 계수가 같고 xy, yz, zx 같은 곱항이 없는 형태가 됩니다. 최고차항의 계수를 1로 맞추면 다음과 같습니다.

\[x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0\]

9. 완전제곱의 기본 규칙

일차항 계수의 절반을 제곱해 같은 양을 양변에 더합니다. 세 변수에 각각 적용합니다.

\[x^2+Dx=\left(x+\frac D2\right)^2-\frac{D^2}{4}\]

10. 일반형에서 중심과 반지름

8번 식을 완전제곱하면 중심과 반지름의 제곱을 바로 읽을 수 있습니다.

\[C\left(-\frac D2,-\frac E2,-\frac F2\right),\qquad r^2=\frac{D^2+E^2+F^2}{4}-G\]

11. 완전제곱 예제

\(x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z-11=0\)에서 각 변수를 완전제곱하면 중심은 \((2,-3,1)\), 반지름은 5입니다.

\[(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=25\]

12. 실제 구가 존재하는 조건

완전제곱 뒤 우변 \(r^2\)이 양수이면 구면, 0이면 중심 한 점만, 음수이면 실수 좌표를 가진 점이 없습니다. 방정식의 모양만 보고 항상 구라고 결론 내리지 않습니다.

13. 점의 위치 판정

점 \(Q(u,v,w)\)에서 중심까지의 거리의 제곱을 \(d_Q^2\)라 합시다. \(d_Q^2

\[d_Q^2=(u-a)^2+(v-b)^2+(w-c)^2\]

14. 지름의 양 끝점으로 구 만들기

지름의 양 끝점이 A, B이면 중심은 선분 AB의 중점이고 반지름은 AB의 절반입니다. 앞 강의의 중점 공식과 거리 공식을 차례로 적용합니다.

\[C=\frac{A+B}{2},\qquad r=\frac{AB}{2}\]

15. 지름형 방정식

점 P가 지름 AB를 바라보는 각은 직각이므로 \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0\)입니다. 좌표로 전개하면 지름의 양 끝점을 직접 넣는 형태가 됩니다.

\[(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0\]

16. 지름 예제

지름의 양 끝점이 \(A(-1,2,1)\), \(B(5,-2,7)\)이면 중심은 \((2,0,4)\)이고 \(AB^2=88\)이므로 \(r^2=22\)입니다.

\[(x-2)^2+y^2+(z-4)^2=22\]

17. 네 점을 지나는 구

한 평면 위에 있지 않은 네 점은 하나의 구를 결정합니다. 일반형에 네 점의 좌표를 각각 대입하면 D, E, F, G에 대한 네 개의 일차방정식을 얻습니다.

18. 네 점 예제

원점과 \((2,0,0)\), \((0,2,0)\), \((0,0,2)\)를 지나는 구에 네 점을 대입하면 \(G=0\), \(D=E=F=-2\)입니다. 중심은 \((1,1,1)\), 반지름은 \(\sqrt3\)입니다.

\[x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z=0\]

19. 좌표평면과의 교선

구의 식에 z=0을 넣으면 xy평면과 만나는 원의 방정식이 됩니다. 마찬가지로 x=0, y=0을 넣으면 각각 yz, zx평면 위 단면을 얻습니다. 해가 한 점이거나 없을 수도 있습니다.

20. 평면 \(z=k\)로 자른 단면

중심이 \((a,b,c)\), 반지름이 r인 구를 \(z=k\)로 자르면 단면 원의 중심은 \((a,b,k)\)입니다. 중심에서 평면까지의 거리 \(|k-c|\)를 d라 하면 단면 반지름 ρ는 다음과 같습니다.

\[\rho=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{r^2-(k-c)^2}\]

21. 구와 평면의 위치 관계

구의 중심에서 평면까지의 거리를 d라 하면 \(dr\)일 때 만나지 않습니다.

22. 단면 예제

구 \((x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=25\)를 평면 \(z=4\)로 자르면 d=3이고 단면 반지름은 4입니다. 단면 원의 방정식은 다음과 같습니다.

\[(x-2)^2+(y+3)^2=16,\qquad z=4\]

23. 두 구의 공통부분

중심이 서로 다른 두 구의 방정식을 빼면 x², y², z² 항이 소거되어 평면의 방정식이 됩니다. 두 구가 원으로 만날 때 이 평면은 공통 원을 포함합니다. 중심이 같은 구는 이 방법에서 평면이 나오지 않으며, 실제 교점의 존재 여부는 중심 사이 거리와 두 반지름도 함께 확인해야 합니다.

24. 자주 하는 오류와 풀이 순서

괄호 부호, 반지름과 반지름의 제곱, 완전제곱하면서 더한 값을 우변에 반영하지 않는 오류가 많습니다. ① 표준형인지 일반형인지 확인하고 ② 완전제곱하여 중심·r²을 읽고 ③ r²의 부호를 검사한 뒤 ④ 주어진 점이나 단면 조건을 대입해 검산합니다.

25. 공개 참고자료

학습 범위는 교육부의 2022 개정 수학과 교육과정을 따랐습니다. 표준형과 거리 자취는 OpenStax 공개 교재, 일반형과 평면 단면은 LibreTexts 공개 자료를 참고해 검토했습니다. 설명·유도·예제는 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.