공간좌표: 거리와 내분점

Visual Model

그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.

1. 공간좌표의 뜻

공간의 점 P는 순서쌍이 아니라 순서가 있는 세 수 \(P(x,y,z)\)로 나타냅니다. x, y, z는 각각 yz평면, zx평면, xy평면에서 부호를 포함해 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다.

2. 좌표평면과 팔분공간

세 좌표평면 \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\)은 공간을 여덟 부분으로 나눕니다. 이를 팔분공간이라고 합니다. 좌표가 0이면 점은 해당 좌표평면 위에 놓입니다.

3. 두 점 사이의 변화량

두 점 \(A(x_1,y_1,z_1)\), \(B(x_2,y_2,z_2)\)를 이을 때 세 축 방향의 변화량은 각각 \(x_2-x_1\), \(y_2-y_1\), \(z_2-z_1\)입니다. 거리에서는 방향과 무관하게 각 변화량을 제곱합니다.

4. 거리 공식의 유도

\(C=(x_2,y_2,z_1)\)를 잡으면 AC는 z좌표가 같은 평면 위 선분이고 BC는 z축 방향 선분입니다. 먼저 \(AC^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\)이고, 삼각형 ACB에서 다시 피타고라스 정리를 적용하면 \(AB^2=AC^2+BC^2\)입니다.

5. 공간의 거리 공식

4번 유도를 정리하면 다음 공식을 얻습니다. 좌표를 빼는 순서를 세 항에서 일관되게 쓰면 부호 실수를 줄일 수 있습니다.

\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]

6. 원점과 좌표평면까지의 거리

원점 O에서 \(P(x,y,z)\)까지의 거리는 \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)입니다. P에서 xy, yz, zx평면까지의 거리는 각각 \(|z|\), \(|x|\), \(|y|\)입니다.

\[OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]

7. 거리 예제

\(A(1,-2,3)\), \(B(5,4,-1)\)이면 변화량은 4, 6, -4입니다. 따라서 거리는 \(\sqrt{68}=2\sqrt{17}\)입니다.

\[AB=\sqrt{4^2+6^2+(-4)^2}=2\sqrt{17}\]

8. 거리 식의 활용

두 점 사이의 거리가 일정하다는 조건은 구의 방정식으로 이어지고, 두 점까지의 거리가 같다는 조건은 두 점을 잇는 선분의 수직이등분평면으로 이어집니다. 거리 공식은 다음 강의의 구를 만드는 출발점입니다.

9. 내분점의 정의

점 P가 선분 AB 위에 있고 \(AP:PB=m:n\)이면 P가 AB를 \(m:n\)으로 내분한다고 합니다. m, n은 양수이며 P는 반드시 A와 B 사이에 있습니다.

10. 내분점 공식

A와 B의 각 좌표를 같은 비율로 가중평균합니다. AP 쪽의 비 m은 반대쪽 끝점 B에, PB 쪽의 비 n은 A에 곱해집니다.

\[P=\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n},\frac{nz_1+mz_2}{m+n}\right)\]

11. 이동으로 유도하기

A에서 B까지 전체 이동량의 \(\frac{m}{m+n}\)만큼 이동하면 P에 도착합니다. 따라서 \(P=A+\frac{m}{m+n}(B-A)\)이고 이를 각 좌표별로 정리하면 10번 공식이 됩니다.

\[P=A+\frac{m}{m+n}(B-A)=\frac{nA+mB}{m+n}\]

12. 가중치가 반대로 붙는 이유

m이 매우 커지면 \(AP:PB=m:n\)에서 AP가 더 길어져 P는 B에 가까워져야 합니다. 공식에서도 m이 B의 좌표에 곱해져 P를 B 쪽으로 끌어당깁니다. 이 극단값 생각으로 가중치 순서를 검산할 수 있습니다.

13. 내분점 예제

\(A(1,-2,4)\), \(B(7,4,-2)\)를 \(2:1\)로 내분하는 점은 \(P(5,2,0)\)입니다.

\[P=\frac{A+2B}{3}=\left(5,2,0\right)\]

14. 중점

내분비가 \(1:1\)이면 중점이며 세 좌표는 각각 두 끝점 좌표의 평균입니다.

\[M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)\]

15. 한 끝점 역산하기

중점 M과 한 끝점 A를 알면 다른 끝점은 \(B=2M-A\)입니다. 예를 들어 \(M(2,1,3)\), \(A(-1,4,5)\)이면 \(B(5,-2,1)\)입니다.

16. 삼각형의 무게중심

공간의 세 점 A, B, C가 만드는 삼각형의 무게중심 G도 세 꼭짓점 좌표의 평균입니다. 세 점은 한 평면 위에 있으므로 평면에서의 무게중심 성질이 그대로 적용됩니다.

\[G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3},\frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)\]

17. 외분점의 정의

점 P가 선분 AB의 바깥쪽 연장선 위에 있고 거리의 비가 \(AP:PB=m:n\)이면 P가 AB를 \(m:n\)으로 외분한다고 합니다. 내분과 달리 P는 A와 B 사이에 있지 않습니다.

18. 외분점 공식

외분에서는 가중합의 덧셈이 뺄셈으로, 분모 \(m+n\)이 \(m-n\)으로 바뀝니다. \(m=n\)이면 유한한 외분점이 존재하지 않으므로 사용할 수 없습니다.

\[P=\left(\frac{mx_2-nx_1}{m-n},\frac{my_2-ny_1}{m-n},\frac{mz_2-nz_1}{m-n}\right)\quad(m\ne n)\]

19. 외분점 예제

\(A(1,2,3)\), \(B(5,4,7)\)을 \(3:1\)로 외분하는 점은 \(P(7,5,9)\)입니다. P는 B를 지나 연장한 쪽에 있습니다.

\[P=\frac{3B-A}{2}=(7,5,9)\]

20. 결과 검산하기

내분점의 각 좌표는 대응하는 두 끝점 좌표 사이에 있어야 합니다. 외분점은 적어도 한 좌표가 해당 구간 밖에 놓일 수 있습니다. 마지막에는 거리 공식으로 AP와 PB를 계산해 요구한 비와 일치하는지 확인합니다.

21. 좌표에서 내분비 찾기

P가 AB 위에 있을 때 한 좌표에서 \(\frac{x-x_1}{x_2-x}\)를 계산하면 \(AP:PB\)를 얻을 수 있습니다. 분모가 0인 좌표는 사용하지 않고 y 또는 z좌표를 사용하며, 다른 좌표에서도 같은 비가 나오는지 확인합니다.

22. 세 점의 일직선 여부

A에서 P로 가는 세 좌표 변화량이 A에서 B로 가는 변화량의 같은 배수이면 A, P, B는 한 직선 위에 있습니다. 내분점 공식을 적용하기 전후에 이 비례 관계를 검산할 수 있습니다.

\[P-A=t(B-A)\]

23. 자주 하는 오류

① \(AP:PB=m:n\)에서 m을 A에 곱하는 오류, ② 내분과 외분의 분모 부호를 바꾸는 오류, ③ 거리 공식에서 제곱근이나 z항을 빠뜨리는 오류가 많습니다. 비의 방향과 점의 위치를 그림으로 먼저 표시합니다.

24. 문제 풀이 순서

① 두 끝점과 비의 방향을 적는다. ② 내분인지 외분인지 확인한다. ③ x, y, z를 같은 구조로 계산한다. ④ 내분점이면 좌표 범위를 확인한다. ⑤ 거리 또는 변화량의 비로 검산한다. 위치 보간, 3차원 모델의 중심점과 경로 분할에도 같은 원리가 사용됩니다.

25. 공개 참고자료

학습 범위는 교육부의 2022 개정 수학과 교육과정을 따랐습니다. 거리 공식은 OpenStax 공개 교재, 3차원 선분 공식의 범위는 CK-12 공개 학습자료를 참고해 검토했습니다. 설명·유도·예제는 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.