위치벡터와 좌표

Visual Model

그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.

1. 기준점과 위치

점의 위치는 기준점이 있어야 정해집니다. 좌표평면에서는 원점 O를 기준점으로 정하고, O에서 점 P로 향하는 벡터로 P의 위치를 나타냅니다.

2. 위치벡터의 정의

점 P의 위치벡터를 \(\vec p\)라 하면 \(\vec p=\overrightarrow{OP}\)입니다. 같은 점이라도 원점을 바꾸면 위치벡터는 달라지므로 기준 원점을 먼저 확인해야 합니다.

\[\vec p=\overrightarrow{OP}\]

3. 점과 벡터의 표기

\(P(x,y)\)는 좌표평면의 점이고 \(\vec p=(x,y)\)는 원점에서 P로 향하는 벡터의 성분입니다. 수가 같더라도 점과 벡터는 서로 다른 대상입니다.

4. 좌표와 위치벡터의 대응

원점이 O일 때 각 점 P에는 위치벡터 \(\overrightarrow{OP}\)가 하나씩 대응하고, 각 위치벡터의 끝점도 하나의 점을 정합니다. 이 일대일 대응 덕분에 도형 문제를 벡터식으로 바꿀 수 있습니다.

5. 기본단위벡터 표현

x축과 y축의 양의 방향 단위벡터를 각각 \(\vec e_1=(1,0)\), \(\vec e_2=(0,1)\)라 하면 점 \(P(x,y)\)의 위치벡터를 두 축 방향으로 분해할 수 있습니다.

\[\vec p=x\vec e_1+y\vec e_2=(x,y)\]

6. 두 점 사이의 벡터 유도

점 A, B의 위치벡터를 각각 \(\vec a,\vec b\)라 하면 삼각형법에 의해 \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)입니다. 따라서 끝점의 위치벡터에서 시작점의 위치벡터를 뺍니다.

\[\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\]

7. 좌표로 구하는 두 점 사이의 벡터

\(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)일 때 B의 좌표에서 A의 좌표를 성분별로 뺍니다. 순서를 바꾸면 모든 성분의 부호가 바뀝니다.

\[\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1),\qquad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\]

8. 두 점 사이의 벡터 예제

\(A(-2,3)\), \(B(4,-1)\)이면 오른쪽으로 6, 아래로 4 이동하므로 \(\overrightarrow{AB}=(6,-4)\)입니다. 반대로 \(\overrightarrow{BA}=(-6,4)\)입니다.

9. 두 점 사이의 거리

선분 AB의 길이는 \(\overrightarrow{AB}\)의 크기와 같습니다. 성분에 피타고라스 정리를 적용하면 거리 공식이 얻어집니다.

\[AB=\lvert\overrightarrow{AB}\rvert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

10. 한 끝점 복원하기

시작점 A와 벡터 \(\vec v\)가 주어졌을 때 끝점 B의 위치벡터는 \(\vec b=\vec a+\vec v\)입니다. 즉 점의 좌표에 이동 벡터의 성분을 더합니다.

11. 끝점 복원 예제

점 \(A(1,-2)\)에서 벡터 \(\vec v=(3,5)\)만큼 이동하면 끝점은 \(B(4,3)\)입니다. 실제로 \(\overrightarrow{AB}=(4-1,3-(-2))=(3,5)\)입니다.

12. 원점을 바꾸면

새 원점을 O′라 하고 \(\overrightarrow{OO'}=\vec s\)라 하면 점 P의 새 위치벡터는 \(\vec p'=\vec p-\vec s\)입니다. 모든 위치벡터가 같은 만큼 변합니다.

13. 상대벡터는 변하지 않는다

원점을 바꾸면 \(\vec a\)와 \(\vec b\)는 함께 변하지만 차 \(\vec b-\vec a\)는 변하지 않습니다. 따라서 \(\overrightarrow{AB}\)는 좌표계 원점의 선택과 관계없이 같은 기하적 이동을 나타냅니다.

\[(\vec b-\vec s)-(\vec a-\vec s)=\vec b-\vec a\]

14. 중점의 위치벡터

선분 AB의 중점 M은 A에서 B로 가는 이동의 절반만큼 간 점입니다. 따라서 두 끝점 위치벡터의 산술평균이 됩니다.

\[\vec m=\vec a+\frac12(\vec b-\vec a)=\frac{\vec a+\vec b}{2}\]

15. 중점의 좌표

\(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\)의 중점은 각 좌표의 평균으로 구합니다.

\[M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\]

16. 선분 위의 점을 매개변수로 나타내기

점 P가 A에서 B 쪽으로 전체의 t만큼 이동했다면 \(\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}\)입니다. \(0\le t\le1\)이면 P는 선분 AB 위에 있고, 두 위치벡터의 계수 합은 1입니다.

\[\vec p=\vec a+t(\vec b-\vec a)=(1-t)\vec a+t\vec b\]

17. 내분점의 비와 t

P가 선분 AB를 \(AP:PB=m:n\)으로 내분하면 전체 \(m+n\)부분 중 A에서 m부분만큼 이동하므로 \(t=\frac{m}{m+n}\)입니다.

18. 내분점 공식의 유도

앞의 매개변수식에 \(t=\frac{m}{m+n}\)을 넣고 정리합니다. A의 계수에는 맞은편 비 n, B의 계수에는 맞은편 비 m이 놓인다는 점을 기억합니다.

\[\vec p=\frac{n\vec a+m\vec b}{m+n}\qquad(AP:PB=m:n)\]

19. 내분점 좌표

위치벡터 공식의 각 성분을 읽으면 좌표 공식이 됩니다.

\[P\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\]

20. 내분점 예제

\(A(-2,1)\), \(B(4,7)\)을 \(AP:PB=2:1\)로 내분하는 점 P는 A에서 B 쪽으로 전체의 \(\frac23\)만큼 이동한 점이므로 A보다 B에 더 가깝습니다.

\[\vec p=\frac{\vec a+2\vec b}{3}=\frac{(-2,1)+2(4,7)}{3}=(2,5)\]

21. 외분점

P가 선분 AB의 바깥에서 \(AP:PB=m:n\)을 만족하면 외분한다고 합니다. \(m\ne n\)일 때 위치벡터는 다음과 같으며, 분모가 음수가 될 수 있어 부호를 포함한 식으로 계산해야 합니다.

\[\vec p=\frac{m\vec b-n\vec a}{m-n}\]

22. 삼각형의 무게중심

삼각형 ABC의 무게중심 G는 각 중선을 꼭짓점에서 2:1로 내분합니다. 한 중선의 중점 공식과 내분 공식을 결합하면 세 꼭짓점 위치벡터의 평균이 됩니다.

\[\vec g=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}\]

23. 무게중심 예제

\(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(3,6)\)인 삼각형의 무게중심은 \(G(3,2)\)입니다. 세 x좌표와 세 y좌표를 각각 평균내어 확인할 수 있습니다.

24. 평행사변형과 위치벡터

ABCD가 차례로 놓인 평행사변형이면 두 대각선의 중점이 같으므로 \(\vec a+\vec c=\vec b+\vec d\)입니다. 세 꼭짓점을 알면 나머지 하나의 위치벡터를 구할 수 있습니다.

\[\vec d=\vec a+\vec c-\vec b\]

25. 공선점 확인의 기초

서로 다른 점 A, B에 대해 P가 직선 AB 위에 있으면 어떤 실수 t가 존재하여 \(\vec p=(1-t)\vec a+t\vec b\)로 나타납니다. \(0\le t\le1\)인지까지 확인하면 선분 위의 점인지 판별할 수 있습니다.

26. 자주 하는 오류

\(\overrightarrow{AB}\)에서 A-B가 아니라 끝점 B에서 시작점 A를 빼야 합니다. 내분 공식에서는 비의 순서를 뒤집거나 분모를 \(m-n\)으로 쓰지 않도록 하고, 점의 좌표와 벡터의 성분 표기를 문맥에 맞게 구별하세요.

27. 풀이 전략

① 원점과 각 점의 위치벡터를 정하고 ② 필요한 상대벡터를 끝점-시작점으로 만든 뒤 ③ 중점·내분·무게중심에 맞는 가중평균을 적용하고 ④ 계수의 합이 1인지와 점의 예상 위치를 그림으로 검산합니다.

28. 공개 참고자료

학습 범위는 교육부의 2022 개정 수학과 교육과정을 따랐습니다. 표준 위치벡터와 성분 계산은 OpenStax Calculus Volume 3의 Vectors in the Plane, 좌표축 성분과 끝점-시작점 원리는 OpenStax University Physics의 벡터 성분 자료를 참고해 검토했습니다. 내분·외분·무게중심의 유도와 예제는 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.