22개정 · 공간도형과 공간좌표
정사영
정사영은 모든 점을 투영 평면에 수직인 방향으로 옮겨 만든 상입니다. 투영 방향이 일정하므로 공간의 선분과 평면도형을 평면 위에서 비교할 수 있고, 기울어진 정도는 길이와 넓이에 코사인 비율로 반영됩니다.
Visual Model
그림에서 기준점, 축, 방향, 수직 관계를 먼저 확인한 뒤 식을 세워 보세요.
1. 점의 정사영
점 P에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 H를 P의 α 위 정사영이라고 합니다. P가 이미 α 위에 있으면 정사영은 P 자신입니다.
2. 정사영과 일반적인 그림자의 차이
정사영에서는 모든 투영선이 α에 수직입니다. 한 점에서 퍼지는 빛이나 비스듬한 햇빛으로 생긴 그림자는 투영선이 α에 수직이 아닐 수 있으므로 일반적으로 정사영이 아닙니다.
3. 선분의 정사영
선분 AB의 두 끝점 A, B를 α에 수직으로 내려 A′, B′을 얻으면 선분 A′B′이 AB의 정사영입니다. AB가 α에 수직이면 두 끝점의 정사영이 같은 점이 되어 길이가 0인 상으로 줄어듭니다.
4. 도형의 정사영
다각형의 각 꼭짓점을 α에 정사영한 뒤 원래의 연결 순서대로 이으면 정사영 도형을 얻습니다. 곡선이나 넓이를 가진 도형도 각 점을 같은 방식으로 투영한다고 생각합니다.
5. 직선과 평면이 이루는 각
직선 AB와 평면 α가 이루는 각 \(\theta\)는 AB와 그 정사영 A′B′이 이루는 예각입니다. 직선이 α와 평행하면 \(0^\circ\), α에 수직이면 \(90^\circ\)입니다.
6. 선분의 정사영 길이
길이가 L인 선분이 투영 평면과 이루는 각이 θ이면 정사영의 길이 \(L'\)은 다음과 같습니다.
7. 길이 공식의 유도
그림에서 B의 정사영을 H라 하고 A가 α 위에 있으면 삼각형 ABH는 H에서 직각입니다. \(\cos\theta=AH/AB\)이므로 \(AH=AB\cos\theta\)이며 AH가 AB의 정사영입니다.
8. 극단적인 각도로 검산
\(\theta=0^\circ\)이면 선분이 평면과 평행하여 \(L'=L\)입니다. \(\theta=90^\circ\)이면 선분이 평면에 수직하여 \(L'=0\)입니다. 계산 결과가 이 범위에 맞는지 확인합니다.
9. 길이 예제
\(AB=13\)이고 B에서 α까지의 수직거리 \(BH=5\)라고 합시다. 직각삼각형 ABH에서 정사영 AH의 길이는 12입니다.
10. 법선과의 각이 주어진 경우
선분과 평면의 수직선이 이루는 각을 \(\phi\)라 하면 \(\theta+phi=90^\circ\)입니다. 따라서 평면과의 각 대신 법선과의 각이 주어지면 \(L'=L\sin\phi\)를 사용합니다.
11. 좌표평면으로의 정사영
점 \(P(x,y,z)\)를 xy평면에 정사영하면 z좌표만 0이 됩니다. yz평면에서는 x좌표가, zx평면에서는 y좌표가 0이 됩니다.
12. 벡터로 확인하는 정사영
단위 법선벡터가 \(\mathbf n\)인 평면에 벡터 \(\mathbf v\)를 정사영하려면 v에서 법선 방향 성분을 뺍니다. 이 식은 뒤의 벡터 단원에서 정사영을 좌표로 계산할 때 사용할 수 있습니다.
13. 두 평면이 이루는 각
평면 β 위의 도형을 평면 α에 정사영할 때 θ는 두 평면의 예각인 이면각입니다. 두 평면의 교선에 각각 수직인 두 직선을 한 점에서 그어 얻은 예각으로 측정할 수 있습니다.
14. 평면도형의 정사영 넓이
넓이가 S인 평면도형이 놓인 평면과 투영 평면이 이루는 각이 θ이면 정사영의 넓이 \(S'\)은 다음과 같습니다.
15. 넓이 공식의 유도
도형을 교선과 평행한 방향을 밑변으로 하는 가느다란 직사각형들로 나눕니다. 교선과 평행한 길이는 투영해도 변하지 않고, 교선에 수직인 높이만 \(\cos\theta\)배가 됩니다. 따라서 각 조각과 전체 넓이가 모두 \(\cos\theta\)배가 됩니다.
16. 넓이 공식의 극단값
두 평면이 평행하면 \(\theta=0^\circ\)이므로 넓이가 그대로입니다. 두 평면이 수직이면 \(\theta=90^\circ\)이므로 평면도형의 상이 선분이나 더 낮은 차원의 도형으로 겹쳐 넓이가 0이 됩니다.
17. 넓이 예제
넓이가 48인 직사각형이 투영 평면과 \(60^\circ\)를 이루면 정사영의 넓이는 24입니다.
18. 원래 넓이 역산
정사영 넓이와 두 평면의 각이 주어지면 \(S=S'/\cos\theta\)로 원래 넓이를 구합니다. 예를 들어 \(S'=30\), \(\theta=60^\circ\)이면 \(S=60\)입니다. 단, \(\theta=90^\circ\)에서는 원래 넓이를 역산할 수 없습니다.
19. 합성 도형의 정사영
같은 평면 위에 있는 여러 조각은 각 조각의 넓이를 더한 뒤 한 번에 \(\cos\theta\)를 곱해도 됩니다. 서로 다른 평면에 놓인 면들은 각 면의 각도가 다를 수 있으므로 면별로 계산한 뒤 합합니다.
20. 정사영에서 보존되는 것
한 직선 위 점들의 순서와 같은 직선 위의 길이비는 보존되며, 평행한 두 직선의 정사영도 퇴화하지 않는 한 평행합니다. 그러나 일반적인 길이, 각, 넓이와 도형의 합동은 보존되지 않습니다.
21. 자주 하는 오류
선분과 평면의 각 대신 선분과 법선의 각을 그대로 코사인에 넣거나, 넓이 문제에서 길이비를 두 번 곱해 \(\cos^2\theta\)로 계산하기 쉽습니다. 평면도형 전체의 넓이비는 \(\cos\theta\) 한 번입니다.
22. 좌표 그림 읽기
원근법으로 그린 평면의 모서리 길이나 각도는 실제 값과 다르게 보일 수 있습니다. 수직 표시, 평행 표시와 주어진 수치를 사용하고 그림을 자로 재어 계산하지 않습니다.
23. 실생활 모델
건축 도면의 평면도, 기울어진 태양광 패널의 수평 투영 면적, 비탈면의 지도상 면적 등을 정사영으로 모델링할 수 있습니다. 실제 상황에서는 투영 방향이 기준면에 수직인지 먼저 확인해야 합니다.
24. 문제 풀이 순서
① 투영 평면과 수직 방향을 찾는다. ② 점과 꼭짓점의 정사영을 표시한다. ③ 선분 문제인지 넓이 문제인지 구분한다. ④ 각이 평면과의 각인지 법선과의 각인지 확인한다. ⑤ 코사인 공식을 적용하고 0 이상 원래 값 이하인지 검산한다.
25. 공개 참고자료
학습 범위는 교육부의 2022 개정 수학과 교육과정을 따랐습니다. 길이와 넓이의 투영 관계는 George Mason University의 공개 기하 자료, 벡터 정사영은 OpenStax 공개 교재와 TU Delft OpenCourseWare를 참고해 검토했습니다. 설명·유도·예제는 이 강의를 위해 새로 작성했습니다.
넓이가 80인 직사각형이 평면 \(\alpha\)와 \(60^\circ\)를 이루고 있습니다. α 위 정사영의 넓이를 구하세요. 또한 직사각형의 한 변의 길이가 17이고 그 변의 한 끝점은 α 위에, 다른 끝점은 α에서 수직거리 8인 곳에 있을 때 그 변의 정사영 길이를 구하세요.