중등수학 1학년 2학기 · 단원 1
각의 크기와 맞꼭지각·수직
두 직선이 만나는 그림에서 한 각이 47°라고 알려 주면 나머지 각은 각도기 없이도 구할 수 있습니다. 마주 보는 각은 왜 같고, 옆의 각은 왜 180°에서 빼는 걸까요? 각의 꼭짓점과 변을 정확히 읽고, 한 직선이 만드는 평각을 찾아 설명해 봅시다.
각의 이름에서 가운데 글자를 먼저 읽습니다
같은 시작점 O를 갖는 두 반직선 OA와 OB가 이루는 도형을 각이라고 합니다. O는 꼭짓점이고 두 반직선은 각의 변입니다. \(\angle AOB\)의 가운데 글자 O가 꼭짓점입니다. 방향을 따로 지정하지 않는 이 강의에서는 \(\angle AOB\)와 \(\angle BOA\)가 같은 각을 나타냅니다.
O에서 여러 반직선이 나오면 \(\angle O\)만으로는 어느 각인지 알기 어렵습니다. 이때는 세 글자나 그림의 각 표시로 구별합니다. 두 변을 길게 그리거나 그림 전체를 회전해도 벌어진 정도가 같으면 각의 크기는 같습니다. 종이에 그린 선분의 길이로 각을 비교하지 마세요.
한 바퀴를 기준으로 각의 크기를 정합니다
한 바퀴의 회전을 360등분한 하나의 크기가 1°입니다. 반 바퀴인 평각은 180°, 그 절반인 직각은 90°입니다. 이 강의의 각 표시는 별도 설명이 없으면 두 변 사이의 180° 이하인 각을 뜻합니다. 한 점 주위에서 겹치지 않게 나뉜 각을 모두 더하면 360°입니다.
0°보다 크고 90°보다 작은 각은 예각, 90°보다 크고 180°보다 작은 각은 둔각입니다. 90°는 직각이고 180°는 평각이므로 둘 다 둔각에 포함되지 않습니다. 89°와 91°는 그림으로 비슷하게 보여도 분류가 다릅니다.
각도기의 두 눈금 중 어느 것을 읽어야 할까요?
중심 표시를 꼭짓점에 놓고, 기준선을 한 변에 맞춥니다. 그 변 쪽에서 0°가 시작하는 눈금을 따라 다른 변이 가리키는 수를 읽습니다. 가령 같은 위치에 38과 142가 쓰여 있어도 두 값 중 임의로 고르는 것이 아닙니다. 기준으로 삼은 변에서 출발해 읽은 값이 각의 크기입니다.
각이 둔각으로 그려져 있는데 38°를 읽었다면 시작 눈금을 잘못 골랐는지 확인하세요. 단, 문제의 그림이 정확한 크기로 그려졌다는 보장이 없다면 눈대중으로 주어진 수치를 바꾸어서는 안 됩니다. 직접 측정하는 활동과 조건으로 계산하는 문제를 구분합니다.
각을 더하려면 내부에서 나누어야 합니다
OC가 각 AOB의 내부에 있으면 두 부분의 내부가 겹치지 않고 전체를 채웁니다. 따라서 다음 관계가 성립합니다.
여기서는 식 속의 각 기호를 각의 크기라는 뜻으로 사용합니다. 전체가 113°, AOC가 46°라면 COB는 \(113°-46°=67°\)입니다. OC가 바깥에 있을 때는 이 덧셈 관계를 그대로 쓸 수 없습니다. 각을 더할 때 먼저 꼭짓점, 공통 변, 내부의 겹침 여부를 살펴보세요.
각의 이등분선은 꼭짓점에서 나와 각을 같은 크기의 두 부분으로 나누는 반직선입니다. OD가 74°인 각의 이등분선이면 두 부분은 각각 37°입니다. 그림에서 가운데처럼 보이는 것만으로 이등분선이라 판단하지 말고, 조건이나 같은 각 표시를 확인해야 합니다.
이웃한 각이라고 모두 합이 180°는 아닙니다
꼭짓점과 한 변을 공유하며 내부가 겹치지 않는 두 각이 있어도, 나머지 두 변이 일직선의 반대 방향으로 뻗어야 그 합이 180°입니다. 예를 들어 A–O–B가 한 직선 위에 있고 OC가 그 직선 밖으로 나가면 AOC와 COB가 평각 AOB를 나누므로 합이 180°입니다.
예제: 이 두 각이 각각 \((2x+13)^\circ\), \((3x+17)^\circ\)라고 합시다. 두 각이 같다고 둘 이유는 없고, 합이 평각이라는 조건을 씁니다.
각의 크기는 73°와 107°입니다. 실제로 \(73+107=180\)이며 하나는 예각, 하나는 둔각입니다. x=30은 두 각 중 어느 하나의 크기를 바로 나타내는 값이 아닙니다.
맞꼭지각의 같음을 평각 두 개로 설명하기
맞꼭지각은 두 직선이 교차할 때 생기는 마주 보는 각입니다. 그림에서 α(알파)는 BOC, β(베타)는 COA, γ(감마)는 AOD의 크기입니다. α와 β는 직선 AB의 위쪽 평각을 이루고, β와 γ는 직선 CD의 한쪽 평각을 이룹니다.
두 식에서 같은 β를 빼면 둘 다 \(180^\circ-\beta\)가 남습니다. 따라서 \(\alpha=\gamma\)입니다. 나머지 한 쌍의 맞꼭지각도 같은 방식으로 설명할 수 있습니다. 각도기로 특정 그림을 확인하는 것보다 이 설명이 더 넓게 적용되는 이유는 두 직선의 기울기에 의존하지 않기 때문입니다.
같은 꼭짓점을 갖고 마주 보이는 듯한 두 각이라도, 각각의 변이 반대 방향으로 연장된 관계가 아니라면 맞꼭지각이라 할 수 없습니다. 반대로 서로 떨어진 곳에 있는 두 각의 크기가 같아도 그 두 각은 맞꼭지각이 아닙니다.
맞꼭지각과 방정식을 연결한 예제
두 직선의 교점에서 한 쌍의 맞꼭지각이 \((4x-7)^\circ\), \((2x+29)^\circ\)입니다. 이번에는 합이 아니라 같음을 사용합니다.
대입하면 두 각 모두 65°입니다. 이웃한 각은 \(180°-65°=115°\)이므로 네 각의 크기는 65°, 115°, 65°, 115°입니다. 한 바퀴의 합 \(65+115+65+115=360\)으로 검산합니다.
맞꼭지각을 고르는 근거와 두 각을 같다고 두는 이유는 서로 연결되어 있습니다. 그림에 적힌 식 두 개를 보자마자 더하거나 같게 두지 말고, 그 식들이 어느 각에 놓였는지부터 확인하세요.
수직은 네 각 중 하나가 직각이면 충분합니다
두 직선 l과 m이 만나서 직각을 이룰 때 서로 수직이라 하고 \(l\perp m\)으로 씁니다. 한 각이 90°이면 맞꼭지각도 90°이고, 이웃한 각은 \(180°-90°=90°\)입니다. 따라서 네 각이 모두 직각입니다.
‘세로선’이어서 수직인 것은 아닙니다. 수직은 두 직선 사이의 관계입니다. 기울어진 두 직선도 직각으로 만나면 서로 수직이고, 그림 전체를 회전시켜도 그 관계는 유지됩니다. 작은 네모 표시는 그 각이 직각이라는 조건을 나타냅니다.
예제: OA와 OB가 수직이고 OC가 각 AOB 내부에 있습니다. AOC가 \((2x+4)^\circ\), COB가 \((x+11)^\circ\)이면 두 부분이 직각을 채웁니다.
각은 각각 54°와 36°이고 합은 90°입니다. 평각 예제에서 사용한 180을 그대로 가져오지 않는 것이 중요합니다. 전체가 직각인지 평각인지가 식의 오른쪽 값을 결정합니다.
수선의 발을 찾으면 거리의 뜻도 정해집니다
직선 밖의 점 P를 지나 그 직선에 수직인 직선을 그었을 때 만나는 점 H가 수선의 발입니다. 점 P와 직선 l 사이의 거리는 선분 PH의 길이로 정합니다. 직선 위의 다른 점 Q로 비스듬히 이은 PQ의 길이를 사용하지 않습니다. 수선으로 이은 길이가 가장 짧다는 성질을 이용합니다.
예를 들어 PH=6 cm, PQ=10 cm라면 P와 l 사이의 거리는 6 cm입니다. Q를 직선 위에서 다른 곳으로 옮기면 PQ는 달라지지만, P와 l이 그대로이면 수선의 발 H와 거리는 변하지 않습니다. 여기서는 거리의 의미를 익히며, 길이 사이의 제곱 관계를 이용하는 증명은 다루지 않습니다.
선분 AB의 중점 M을 지나 AB에 수직인 직선은 수직이등분선입니다. 수직이라는 조건과 중점을 지난다는 조건이 모두 필요합니다. 각의 이등분선은 각을 나누는 반직선이고, 선분의 수직이등분선은 길이를 반으로 나누는 점을 지나는 직선이므로 구별하세요.
조금 더 생각하기: 평각을 나눈 두 각의 이등분선
A–O–B가 한 직선 위에 있고 OC가 그 위쪽으로 나갑니다. OP가 AOC를, OQ가 COB를 각각 이등분한다고 합시다. OP와 OQ 사이에는 OC가 있으므로 두 반쪽 각을 더하면 POQ가 됩니다.
따라서 두 이등분선이 놓인 직선은 서로 수직입니다. AOC를 어떤 크기로 나누었는지 몰라도 전체가 평각이라는 조건만으로 결론이 나옵니다. 이는 이웃한 두 각이 평각을 이루고 각각의 내부 이등분선을 그었을 때의 설명입니다.
확인 문제와 풀이
1. ∠PQR의 꼭짓점과 두 변은 무엇인가요?
꼭짓점은 가운데 글자 Q이고 두 변은 반직선 QP와 QR입니다.
2. 각도기의 기준 변이 오른쪽 0°에 있습니다. 다른 변이 오른쪽부터 읽으면 52°, 왼쪽부터 읽으면 128°입니다. 각의 크기는?
기준 변의 0°에서 출발하므로 52°입니다. 눈금 숫자를 고르는 기준은 안쪽·바깥쪽의 위치 자체가 아니라 시작하는 0°입니다.
3. 두 각이 꼭짓점과 한 변을 공유하면 반드시 합이 180°인가요?
아닙니다. 내부가 겹치지 않으면서 나머지 두 변이 서로 반대 방향의 반직선이어야 평각을 이룹니다.
4. 두 직선이 만날 때 한 각이 47°입니다. 맞꼭지각과 이웃한 각은?
맞꼭지각은 47°, 이웃한 각은 \(180°-47°=133°\)입니다. 네 각의 합은 360°입니다.
5. 맞꼭지각이 (5x−6)°와 (3x+22)°입니다. 각의 크기는?
\(5x-6=3x+22\)에서 \(2x=28\), \(x=14\)입니다. 각은 \(5\cdot14-6=64^\circ\)이고 다른 식에서도 64°가 나옵니다.
6. 직각 내부를 두 부분으로 나누었더니 한 각이 28°입니다. 나머지는?
두 부분의 합이 90°이므로 \(90°-28°=62°\)입니다.
7. 직선 l 위의 H, Q에 대해 PH⊥l, PH=8 cm, PQ=13 cm입니다. P와 l 사이의 거리는?
수선 PH의 길이인 8 cm입니다. 13 cm는 P와 특정 점 Q 사이의 거리입니다.
8. 두 직선이 만날 때 이웃한 두 각의 크기가 같습니다. 수직인가요?
두 각은 합이 180°이고 크기가 같으므로 각각 90°입니다. 따라서 수직입니다. 여기서 두 각이 두 직선의 교점에서 평각을 나누는 이웃한 각이라는 조건을 썼습니다.
각의 표기·분류와 관계는 공개 교재 OpenStax Contemporary Mathematics 10.2 Angles, Prealgebra 2e 9.3의 각 설명을 참고했습니다. 중1 수준에 맞춰 호도법·삼각비·피타고라스 정리는 이 강의에 포함하지 않았습니다. 설명·증명의 구성·수치 예제·확인 문제·SVG 도형은 독립적으로 작성했으며 외부 본문이나 문제·이미지를 복제하지 않았습니다.