점·직선·평면의 위치 관계

점이 도형 위에 있다는 말부터 정확하게

점 P와 직선 l의 관계는 P가 l 위에 있거나, l 위에 있지 않거나 둘 중 하나입니다. 점과 평면도 마찬가지입니다. 점이 평면 위에 있다는 것은 그 평면에 포함된다는 뜻이지, 종이 그림에서 평면보다 위쪽에 그려져 있다는 뜻이 아닙니다.

직선은 양쪽으로 끝없이 이어지고 평면은 모든 방향으로 끝없이 펼쳐집니다. 그림에서 평면을 평행사변형으로 그리는 것은 일부만 보여 주기 위한 약속입니다. 그 테두리가 평면의 끝은 아닙니다. 따라서 선이 그려진 사각형을 비껴간다는 이유만으로 평면과 만나지 않는다고 판단할 수 없습니다.

서로 다른 두 점 A, B를 지나는 직선은 하나로 정해집니다. 평면은 한 직선 위에 있지 않은 세 점으로 하나가 정해집니다. A, B, C가 일직선 위에 있다면 그 직선을 책의 등처럼 두고 여러 방향으로 평면을 펼칠 수 있으므로 평면 하나가 정해지지 않습니다. 책장은 유한하지만 평면은 무한하다는 차이는 남아 있습니다.

평면의 두 직선과 공간의 두 직선

먼저 서로 다른 두 직선을 생각합니다. 한 평면에 놓인 두 직선은 한 점에서 만나거나 평행합니다. 평행은 같은 평면 위에서 아무리 연장해도 만나지 않는 관계이며 \(l\parallel m\)으로 씁니다. 한 점에서 만나 직각을 이루면 수직이고 \(l\perp m\)으로 씁니다. 수직은 ‘만난다’에 포함되는 특별한 경우입니다.

공간에서는 만나지도 않고 평행하지도 않은 꼬인 위치가 가능합니다. 꼬인 위치의 두 직선은 하나의 평면 안에 함께 놓을 수 없습니다. 반대로 두 직선이 만난다면 두 직선을 함께 포함하는 평면이 있고, 평행한 두 직선도 같은 평면에 놓입니다.

AB와 BA처럼 이름만 다르고 실제로 같은 직선이면 ‘일치’입니다. 여기서 세 가지로 나누는 것은 서로 다른 두 직선이므로 일치를 따로 제외한 것입니다. 또 두 선분이 만나지 않는다는 것과 그 선분을 포함하는 두 직선이 만나지 않는다는 것은 다릅니다. 선분 바깥으로 연장했을 때 만날 수도 있습니다.

빠짐없이 분류하는 예제: AB와 나머지 11개 모서리

AB 자신은 제외합니다. 먼저 끝점 A 또는 B를 공유하는 모서리를 찾으면 AD, AE, BC, BF의 4개입니다. 이들을 포함하는 직선은 모두 AB와 만나며 이 직육면체에서는 수직입니다.

다음으로 AB와 같은 가로 방향을 찾으면 CD, EF, GH의 3개가 평행합니다. 남은 CG, DH, FG, EH의 4개는 AB와 만나지 않고 평행하지도 않아 꼬인 위치입니다.

합이 나머지 모서리 수와 같은지 확인하면 중복이나 누락을 찾기 좋습니다. 다만 개수만 맞는다고 각 분류가 옳다는 뜻은 아니므로 공통점과 방향도 확인해야 합니다. 이 4·3·4 분류는 지금 정한 직육면체의 모서리에 대한 결과이지 모든 입체도형의 규칙은 아닙니다.

한 점에서 만나는 것과 수직으로 만나는 것은 다릅니다

AE와 대각선 AG는 모두 아래 평면 ABCD와 A에서 만납니다. 하지만 AE는 바로 서 있고 AG는 비스듬합니다. 교점이 하나라는 조건만으로 수직을 말할 수는 없습니다.

직선이 평면과 P에서 만날 때, 그 평면 위에서 P를 지나는 모든 직선과 수직이면 직선과 평면이 수직이라고 합니다. 평면을 α라고 이름 붙이면 \(l\perp\alpha\)로 씁니다. 여기서 α는 각의 크기가 아니라 평면의 이름입니다.

실제로 확인할 때는 평면 안에서 P를 지나며 서로 다른 두 직선을 잡아 둘 모두와 수직임을 확인하면 충분합니다. 직육면체에서 AE는 A에서 만나는 AB, AD에 모두 수직이므로 아래 평면에 수직입니다. 이는 직선과 평면의 수직을 판단하는 성질입니다.

평면 안의 직선 하나와만 수직이면 부족합니다. 아래 평면에 놓인 AD는 AB와 수직이지만 AD 자체가 아래 평면에 수직인 것은 아닙니다. ‘한 방향과 직각’과 ‘평면에 똑바로 선 방향’을 구분하세요.

두 평면이 만나면 교선이 생깁니다

서로 다른 두 평면은 평행하거나 한 직선에서 만납니다. 만나는 직선을 교선이라고 합니다. 두 평면에는 직선끼리의 관계처럼 꼬인 위치가 생기지 않습니다.

직육면체의 아래 평면 ABCD와 위 평면 EFGH는 평행합니다. 아래 평면 ABCD와 앞 평면 ABFE는 직선 AB를 공통으로 가지므로 교선은 AB입니다. 모서리인 선분 AB만이 아니라 그 연장선 전체가 두 평면에 공통입니다.

두 평면이 직각으로 만나면 수직이라고 합니다. 직육면체의 아래 평면과 앞 평면은 수직입니다. 그러나 모든 만나는 평면이 수직인 것은 아닙니다. 책을 직각보다 조금만 벌려도 두 책장이 놓인 평면은 여전히 책등을 포함하는 직선에서 만납니다.

평면 ABC와 평면 ABD처럼 실제로 같은 평면을 다른 이름으로 부른 경우는 ‘일치’입니다. 서로 다른 두 평면이라는 조건이 있는지 먼저 읽어야 합니다.

그림만 보고 내린 결론을 점검해 보기

공간도형을 종이에 그리면 앞뒤에 떨어진 선이 종이 위에서는 교차할 수 있습니다. 반대로 실제 직각이 그림에서는 비스듬하게 보이기도 합니다. 위치 관계의 근거는 직육면체라는 조건, 꼭짓점의 연결, 평행·직각 표시입니다. 화면의 교차 모양이나 각도기 측정값이 아닙니다.

또 ‘같은 직선에 수직인 두 직선은 평행하다’는 말도 공간에서는 그대로 쓸 수 없습니다. AB와 AD는 둘 다 AE에 수직이지만 서로 A에서 만납니다. 한 평면 안에서 성립하는 관계를 공간으로 옮길 때는 조건을 다시 살펴야 합니다.

두 평면이 평행해도 그 안에서 아무렇게나 고른 두 직선이 모두 평행한 것은 아닙니다. 위·아래 평면은 평행하지만 아래의 AB와 위의 FG는 꼬인 위치입니다. 평면의 관계와 그 안에서 고른 직선의 관계는 별도로 판단합니다.

확인 문제 — 결론과 근거를 함께 말해 보세요