기본 도형

점·선·면: 그림의 두께와 수학적 대상은 다릅니다

점은 위치를 나타내며 크기가 없습니다. 점 A를 크게 찍어도 A의 크기가 커진 것은 아닙니다. 눈에 보이도록 표시한 잉크의 크기만 달라진 것입니다. 선에는 길이가 있지만 두께는 없고, 면에는 넓이가 있지만 두께는 없습니다. 선에는 곧은 선과 굽은 선이 있고, 면에는 평평한 면과 굽은 면이 있습니다.

직선은 양쪽으로 끝없이 곧게 이어지고, 평면은 모든 방향으로 끝없이 평평하게 펼쳐집니다. 종이나 칠판은 두께와 가장자리가 있으므로 평면 그 자체는 아니지만 평면의 일부를 떠올리는 데 도움이 됩니다. 그림에서 평면을 평행사변형 모양으로 그려도 실제 평면에 네 변의 경계가 있다는 뜻은 아닙니다.

서로 다른 두 직선이 만나면 그 점을 교점이라고 합니다. 서로 다른 두 평면이 만나면 공통 부분은 직선이며 이를 교선이라고 합니다. 벽 두 면이 만나는 모서리는 교선을 떠올리는 모형이지만, 실제 벽의 크기 때문에 보이는 부분은 유한합니다.

두 점을 지나는 직선은 왜 하나라고 할까요?

점 A 하나만 정하면 A를 지나는 직선을 여러 방향으로 그릴 수 있습니다. 여기에 A와 다른 점 B까지 지나야 한다는 조건을 붙이면 직선의 방향이 정해집니다. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 하나라는 성질을 기본으로 사용합니다. 굽은 선까지 허용하면 두 점을 잇는 경로는 많으므로 ‘직선’이라는 조건을 빼면 안 됩니다.

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으면 직선 AB, AC, BC는 이름만 다르고 같은 직선입니다. 세 점이 한 직선 위에 있지 않으면 각 두 점을 지나는 직선은 모두 달라집니다. 도형의 개수를 셀 때에는 기호의 개수보다 실제로 서로 다른 도형인지 확인해야 합니다.

길이를 더할 때는 점의 순서를 확인합니다

선분 AB 자체와 그 길이는 구별합니다. 여기서는 선분을 \(\overline{AB}\), 길이를 \(AB\)로 적겠습니다. 두 점 사이의 거리는 그 두 점을 잇는 선분의 길이입니다. B가 선분 AC 위에, 즉 A와 C 사이에 있으면 두 부분을 합쳐 전체가 되므로 \(AC=AB+BC\)입니다.

가령 A, B, C가 이 순서로 놓이고 \(AB=4.5\,\mathrm{cm}\), \(BC=7.5\,\mathrm{cm}\)이면 \(AC=12\,\mathrm{cm}\)입니다. 그러나 ‘세 점이 한 직선 위에 있다’는 조건만으로는 B가 가운데인지 알 수 없습니다. 길이를 더하기 전에 가운데 점을 정해야 합니다.

중점은 가운데처럼 보이는 점이 아니라 길이를 반으로 나누는 점입니다

M이 선분 AB 위에 있고 \(AM=MB\)이면 M을 선분 AB의 중점이라고 합니다. \(AM=MB\)만으로는 부족합니다. 선분 밖의 점도 A, B로부터 같은 거리에 있을 수 있기 때문입니다.

예제: M이 AB의 중점이고 \(AM=(2x+1)\,\mathrm{cm}\), \(MB=(4x-5)\,\mathrm{cm}\)입니다. 중점이라는 조건을 식으로 바꾸면 다음과 같습니다.

대입하면 AM과 MB는 모두 7 cm입니다. 따라서 전체 길이는 \(AB=7+7=14\,\mathrm{cm}\)입니다. x의 값 3을 선분의 길이라고 답하지 않도록 주의하고, 두 부분이 같은지도 검산하세요.

각은 변의 길이가 아니라 벌어진 정도입니다

같은 시작점 O를 갖는 두 반직선 OA, OB가 이루는 도형이 각입니다. O는 꼭짓점, 두 반직선은 각의 변입니다. \(\angle AOB\)에서 가운데 글자 O가 꼭짓점입니다. 이 강의에서는 별도 표시가 없으면 두 변 사이의 180° 이하인 각을 다룹니다.

각의 크기는 한 바퀴를 360등분한 하나의 크기인 1°를 단위로 잽니다. 직각은 90°, 평각은 180°이며, 0°보다 크고 90°보다 작은 각은 예각, 90°보다 크고 180°보다 작은 각은 둔각입니다. 직각과 평각은 둔각에 포함되지 않습니다.

각도기로 잴 때에는 중심을 꼭짓점에 놓고 기준선을 한 변에 맞춥니다. 그 변 쪽에서 0°가 시작하는 눈금을 따라 다른 변이 가리키는 값을 읽습니다. 짧게 그려진 변을 늘려도 두 반직선의 방향은 그대로이므로 각의 크기는 바뀌지 않습니다.

반직선 OC가 각 AOB의 내부에 있으면 \(\angle AOB=\angle AOC+\angle COB\)입니다. 예를 들어 전체가 86°, 한 부분이 31°이면 나머지는 \(86°-31°=55°\)입니다. OC가 각 바깥에 있다면 이 덧셈 관계를 그대로 사용할 수 없습니다.

수직과 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리

두 직선이 직각으로 만나면 서로 수직이라고 하며 \(l\perp m\)으로 씁니다. 한 각이 90°이면 이웃한 각은 \(180°-90°=90°\)이고 맞꼭지각도 같으므로 네 각이 모두 직각입니다.

직선 l 밖의 점 P에서 l에 수직인 직선을 그어 만나는 점을 H라고 합시다. H를 수선의 발이라고 하며 PH의 길이가 점 P와 직선 l 사이의 거리입니다. P에서 l 위의 다른 점으로 비스듬히 연결한 선분의 길이를 거리라고 쓰지 않습니다. 수선으로 연결한 길이가 가장 짧습니다.

선분의 중점을 지나면서 그 선분에 수직인 직선은 수직이등분선입니다. 중점을 지난다는 조건과 수직이라는 조건이 모두 필요합니다. 중점을 비스듬히 통과하는 직선은 이등분은 하지만 수직이등분선은 아닙니다.

평행에는 ‘한 평면 위에서’라는 조건이 있습니다

한 평면 위의 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나거나 평행합니다. 평행은 아무리 연장해도 만나지 않는 관계이며 \(l\parallel m\)으로 씁니다. 종이에 보이는 짧은 부분만 만나지 않는다고 평행이라고 판단하면 안 됩니다.

공간에서는 만나지 않고 평행하지도 않은 꼬인 위치가 가능합니다. 따라서 공간의 두 직선에는 ‘만남, 평행, 꼬인 위치’를 구별해야 합니다. 서로 다른 두 평면은 평행하거나 하나의 직선에서 만나고, 직선과 평면은 한 점에서 만나거나 평행하거나 직선 전체가 평면에 포함될 수 있습니다. 자세한 입체 그림은 뒤의 「점·직선·평면의 위치 관계」에서 다룹니다.

그림의 인상보다 주어진 조건을 먼저 읽습니다

도형은 이해를 돕기 위한 그림입니다. 길이가 같다는 표시, 직각 표시, 평행 조건이 없는데 눈으로 비슷해 보인다는 이유로 같다고 둘 수는 없습니다. 풀이를 시작할 때 ‘어떤 점이 사이에 있는가’, ‘어느 각의 꼭짓점인가’, ‘평행 또는 수직이라는 조건이 있는가’를 확인하면 식을 선택할 근거가 생깁니다.

그다음 필요한 관계 하나를 식으로 옮깁니다. 선분 전체는 부분의 합, 중점은 두 길이의 같음, 평각은 180°, 맞꼭지각은 같음입니다. 한꺼번에 여러 공식을 떠올리기보다 지금 쓸 수 있는 조건부터 연결하면 됩니다.

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