중등수학 1학년 2학기 · 단원 1

평행선과 동위각·엇각

서로 떨어진 두 교점에서 한 각의 크기만 알고 다른 각까지 구하려면 무엇이 필요할까요? 같은 교점에서는 맞꼭지각과 평각을 이용할 수 있습니다. 다른 교점으로 넘어갈 때는 두 직선이 평행하다는 조건이 연결 고리가 됩니다. 먼저 각의 위치를 읽고, 그다음 어떤 조건으로 크기를 비교할 수 있는지 살펴봅시다.

두 교점에 생긴 여덟 각에 이름 붙이기

같은 평면의 두 직선 l, m을 직선 t가 서로 다른 점 P, Q에서 가로지른다고 합시다. t를 가로지르는 직선, 즉 횡단선이라고 부릅니다. 아래 그림의 a부터 h까지는 각의 크기를 나타내는 문자입니다. 이 그림에서는 \(l\parallel m\), 즉 l과 m이 평행하다는 조건을 주었습니다.

직접 제작한 도식입니다. 그림의 기울기를 재어 각의 크기를 정하지 않고, 주어진 평행 조건과 각의 관계를 이용합니다.

P에서 오른쪽 위 a와 Q에서 오른쪽 위 e처럼, 두 교점에서 같은 상대적 위치에 있는 각이 동위각입니다. 그림에서는 a와 e, b와 f, c와 g, d와 h의 네 쌍입니다. 동위각은 서로 다른 교점에 있으므로 같은 교점에서 마주 보는 맞꼭지각과 다릅니다.

두 직선의 안쪽에 있는 각은 c, d, e, f입니다. 이 중 횡단선 t의 서로 반대쪽에 있는 c와 e, d와 f가 엇각입니다. 여기서는 중학교에서 다루는 안쪽 엇각을 뜻합니다. c와 f는 안쪽에 있지만 t의 같은 쪽이므로 엇각이 아닙니다.

종이를 돌렸다고 각의 관계가 바뀌지는 않습니다. ‘오른쪽 위’는 이 그림에서 위치를 설명하기 위한 말입니다. 회전된 그림에서는 횡단선과 두 교점을 먼저 찾고 각의 두 변을 따라가세요. F나 Z 모양은 기억을 돕지만 정의를 대신하지 않습니다.

이름은 위치로, 같다는 결론은 조건으로

동위각과 엇각이라는 이름은 두 각이 놓인 위치로 정합니다. 두 직선이 평행하지 않아도 그런 위치의 각을 찾을 수 있습니다. 따라서 ‘동위각을 찾았다’와 ‘크기가 같다’는 서로 다른 판단입니다.

두 직선이 평행하면 동위각의 크기가 같다는 성질을 사용합니다. 첫 그림에서는 a=e, b=f, c=g, d=h입니다. 이 성질이 서로 다른 교점의 각을 연결해 줍니다.

엇각의 같음은 이미 배운 맞꼭지각으로 연결할 수 있습니다. P에서 a와 c는 맞꼭지각이므로 a=c입니다. 또 평행선의 동위각이므로 a=e입니다. 두 각 c와 e가 같은 a와 같으므로 c=e입니다.

\(a=c,\quad a=e\quad\Rightarrow\quad c=e\)

같은 방식으로 b=d와 b=f에서 d=f가 나옵니다. 즉 평행하면 엇각도 같습니다. 여기서 맞꼭지각의 성질은 평행 여부와 무관하지만, 다른 교점의 동위각을 같다고 놓은 단계에는 평행 조건이 꼭 필요합니다.

한 각이 68°일 때 나머지 각 구하기

첫 그림에서 a=68°라고 합시다. P에서 c는 맞꼭지각이므로 68°입니다. a와 b는 직선 l 위에서 평각을 나누므로 b는 112°이고, d는 b의 맞꼭지각이어서 112°입니다.

\(b=180^\circ-68^\circ=112^\circ\)

이제 평행 조건을 이용해 Q로 넘어갑니다. 동위각끼리 같으므로 e=a=68°, f=b=112°, g=c=68°, h=d=112°입니다. 한 교점 주변의 합을 확인하면 \(68+112+68+112=360\)입니다.

모든 각이 같은 것은 아닙니다. 이 그림의 각들은 68° 또는 112°입니다. 횡단선이 평행선에 수직인 특별한 경우에는 두 값이 모두 90°가 되어 여덟 각이 모두 같아집니다.

안쪽에서 같은 쪽에 있는 두 각은 왜 합이 180°일까요?

첫 그림의 c와 f를 보세요. 두 각은 엇각이 아니므로 같다고 놓으면 안 됩니다. 평행선에서 c=e이고, Q에서 e와 f는 평각을 나누므로 e+f=180°입니다. e 대신 같은 크기 c를 넣으면 c+f=180°가 됩니다.

\(c=e,\quad e+f=180^\circ\quad\Rightarrow\quad c+f=180^\circ\)

예를 들어 c=74°라면 f=106°입니다. ‘안쪽이면 같다’가 아니라, 횡단선의 반대쪽이면 엇각이라 같고 같은 쪽이면 합이 180°입니다. 낯선 모양에서는 외운 식부터 고르지 말고 동위각과 평각으로 되돌아가면 관계를 확인할 수 있습니다.

각의 크기로 평행을 판단하는 것은 반대 방향의 추론

아직 l과 m이 평행한지 모른다고 합시다. 동위각 한 쌍의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다고 판단할 수 있습니다. 엇각 한 쌍이 같을 때도 마찬가지입니다. 이것이 두 직선이 평행할 조건입니다.

예를 들어 c=e가 주어졌다면 맞꼭지각으로 a=c이므로 a=e입니다. 동위각 a와 e가 같아졌으므로 두 직선은 평행합니다. 엇각을 이용한 판정을 동위각 조건으로 연결한 것입니다.

평행선의 성질은 ‘평행 → 각이 같음’이고, 평행 조건은 ‘알맞은 각 한 쌍이 같음 → 평행’입니다. 문제에서 무엇이 주어졌는지에 따라 출발점이 달라집니다. 아무 각 두 개가 같다고 평행인 것은 아닙니다. 특히 a=c라는 맞꼭지각의 같음만으로는 l과 m이 평행한지 알 수 없습니다.

동위각이 61°와 64°라면 두 직선은 평행하지 않습니다. 다만 61°와 64°가 동위각인지 확인하지 않은 채, 숫자가 다르다는 이유만으로 평행이 아니라고 결론 낼 수도 없습니다. 평행선에서도 서로 다른 크기의 각이 생기기 때문입니다.

문자가 들어 있으면 위치를 먼저 읽고 방정식을 세웁니다

평행한 두 직선의 동위각이 각각 \((3x+14)^\circ\), \((5x-22)^\circ\)라면 두 식을 같게 놓습니다. x는 각의 크기를 나타내는 식 안의 수입니다.

\(3x+14=5x-22\Rightarrow36=2x\Rightarrow x=18\)

실제 각은 \(3\cdot18+14=68^\circ\)입니다. 다른 식도 \(5\cdot18-22=68^\circ\)가 되어 일치합니다. x=18을 구했다고 각을 18°라고 답하면 안 됩니다.

이번에는 평행선 안쪽, 횡단선의 같은 쪽에 있는 두 각이 \((2y+17)^\circ\), \((3y+28)^\circ\)라고 합시다. 같음이 아니라 합이 180°라는 관계를 씁니다.

\((2y+17)+(3y+28)=180\Rightarrow5y+45=180\Rightarrow y=27\)

두 각은 71°와 109°이며 합이 180°입니다. 두 문제의 계산 형태를 정한 것은 문자 자체가 아니라 각의 위치와 평행 조건입니다.

꺾인 선에서는 꼭짓점을 지나는 평행선을 하나 더

아래 그림에서 A와 C는 서로 평행한 위·아래 직선 위에 있고 B는 두 직선 사이에 있습니다. A에서 오른쪽 방향과 AB가 만드는 각은 32°, C에서 오른쪽 방향과 CB가 만드는 각은 47°입니다. B에서 왼쪽으로 벌어진 각 ABC를 구해 봅시다.

직접 제작한 개념도입니다. 보조선은 두 평행선과 평행하게 그었으며 D는 B의 왼쪽에 있습니다.

B를 지나 위·아래 직선과 평행한 보조선을 긋고 B의 왼쪽 점을 D라고 합시다. AB를 횡단선으로 보면 엇각으로 ∠ABD=32°입니다. CB를 횡단선으로 보면 엇각으로 ∠DBC=47°입니다.

반직선 BD가 각 ABC의 내부를 나누므로 두 각을 더합니다.

\(\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=32^\circ+47^\circ=79^\circ\)

‘꺾인 선이면 무조건 더한다’는 공식은 아닙니다. B의 위치나 구하려는 각이 달라지면 빼거나 180°에서 빼야 할 수 있습니다. 보조선이 목표 각의 내부를 나누는지 확인했기 때문에 여기서는 더할 수 있었습니다.

확인 문제와 풀이

1. 첫 그림에서 b의 동위각과 d의 엇각은 무엇인가요?

b의 동위각은 같은 상대적 위치의 f입니다. d의 엇각도 f입니다. d와 f는 두 직선 안쪽에서 횡단선의 반대쪽에 있습니다. 하나의 각은 비교 대상에 따라 다른 관계를 맺습니다.

2. 첫 그림에서 l∥m이고 a=57°입니다. c, e, f를 구하세요.

맞꼭지각으로 c=57°, 동위각으로 e=57°입니다. e와 f의 합은 180°이므로 f=123°입니다.

3. 평행인지 모르는 두 직선에서 동위각을 찾았습니다. 그 크기는 반드시 같나요?

아닙니다. 동위각은 위치의 이름입니다. 평행 조건이 주어지거나 두 각이 같다는 별도의 정보가 있어야 같다고 놓을 수 있습니다.

4. 두 직선의 엇각 한 쌍이 모두 82°입니다. 무엇을 알 수 있나요?

같은 횡단선에 대한 엇각이 같으므로 두 직선이 평행합니다. 이것은 평행선의 성질을 사용하는 것이 아니라 평행 조건으로 판단하는 문제입니다.

5. 평행선의 동위각이 (4x+9)°와 (6x−25)°입니다. x와 각의 크기는?

\(4x+9=6x-25\)에서 \(34=2x\), \(x=17\)입니다. 두 각은 각각 \(4\cdot17+9=77^\circ\), \(6\cdot17-25=77^\circ\)입니다.

6. 평행선 안쪽에서 횡단선의 같은 쪽에 있는 두 각 중 하나가 118°입니다. 다른 하나는?

두 각의 합이 180°이므로 62°입니다. 이 두 각은 엇각이 아니어서 118°라고 답하면 안 됩니다.

7. 첫 그림에서 a=c라는 정보만 있습니다. l∥m이라고 결론 낼 수 있나요?

없습니다. a와 c는 같은 교점 P의 맞꼭지각이라 평행 여부와 관계없이 같습니다. 서로 다른 교점의 동위각 또는 엇각을 연결하는 정보가 필요합니다.

8. 꺾인 선 예제와 같은 배치에서 32°와 47° 대신 29°와 56°가 주어지면 ∠ABC는?

B를 지나는 평행한 보조선으로 목표 각을 나눕니다. 엇각으로 두 부분이 29°, 56°이므로 합은 85°입니다. BD가 목표 각의 내부에 있다는 같은 배치를 사용한 풀이입니다.