차이가 일정한 수열

등차수열의 공차, 일반항, 합과 등차중항을 연결합니다.

대수 · 수열

차이가 일정한 수열

이웃한 두 항의 차이가 일정한 등차수열을 선형 변화로 이해합니다. 일반항과 첫 \(n\)항의 합을 직접 유도하고, 떨어진 두 항·등차중항·부분합·실생활 상황을 하나의 구조로 연결합니다.

학습 목표

연속한 두 항의 차를 조사하여 등차수열인지 판단할 수 있습니다.
첫째항과 공차에서 일반항을 유도하고 임의의 항을 구할 수 있습니다.
떨어진 두 항으로 공차, 첫째항과 일반항을 복원할 수 있습니다.
등차중항과 유한 등차수열의 항 개수를 구할 수 있습니다.
짝짓기로 첫 \(n\)항의 합을 유도하고 부분합과 일반항을 연결할 수 있습니다.

1. 등차수열과 공차

모든 \(n\ge1\)에서 이웃한 두 항의 차가 같으면 등차수열이고, 그 일정한 차를 공차 \(d\)라고 합니다.

\[a_{n+1}-a_n=d\]

공차	변화	예
\(d>0\)	일정하게 증가	\(3,8,13,18,\ldots\)
\(d=0\)	모든 항이 같음	\(6,6,6,6,\ldots\)
\(d<0\)	일정하게 감소	\(10,7,4,1,\ldots\)

주어진 모든 연속한 항의 차를 확인해야 하며, 한두 번의 차만 같다고 등차수열로 확정할 수는 없습니다.

2. 일반항 유도

첫째항에서 제\(n\)항까지 공차를 \(n-1\)번 더합니다.

\[ a_2=a_1+d,quad a_3=a_1+2d,quad a_4=a_1+3d \]

\[\boxed{a_n=a_1+(n-1)d}\]

\(a_1+nd\)가 아닌 이유는 첫째항에서 첫째항까지 이동 횟수가 0번이기 때문입니다.

명시적 정의

원하는 항을 바로 계산

\(a_1=4,d=3\)이면

\[a_n=4+3(n-1)=3n+1\]

따라서 \(a_{20}=61\)입니다.

귀납적 정의

앞 항에서 다음 항 생성

\[a_1=4,qquad a_n=a_{n-1}+3\quad(n\ge2)\]

두 식은 같은 수열을 나타내지만 쓰임이 다릅니다.

직접 제작한 점그래프

등차수열은 직선 위의 떨어진 점

\(a_n=dn+(a_1-d)\)는 기울기가 \(d\)인 일차함수와 같은 형태입니다. 다만 정의역이 자연수이므로 그래프는 연속된 직선이 아니라 그 직선 위의 점들입니다.

3. 떨어진 두 항에서 수열 복원하기

\(p<q\)이면 \(a_p\)에서 \(a_q\)까지 공차가 \(q-p\)번 더해집니다.

\[d=\frac{a_q-a_p}{q-p}\]

예제 1

두 항으로 공차와 첫째항 구하기

\(a_4=11\), \(a_{10}=-7\)이면

\(d=(-7-11)/(10-4)=-3\)입니다.
\(11=a_1+3(-3)\)이므로 \(a_1=20\)입니다.
\(a_n=20-3(n-1)=23-3n\)입니다.
\(a_{10}=23-30=-7\)로 검산됩니다.

4. 항 개수와 등차중항

마지막 항 \(L\)이 주어진 유한 등차수열에서는

\[L=a_1+(n-1)d,qquad n=1+\frac{L-a_1}{d}\quad(d\ne0)\]

을 사용합니다. 결과가 양의 정수가 아니면 \(L\)은 그 수열의 항이 아닙니다.

세 수 \(x,m,y\)가 등차수열이면 \(m-x=y-m\)이므로

\[m=\frac{x+y}{2}\]

입니다. 8과 32 사이에 세 개의 등차중항을 넣으면 네 간격의 공차가 6이므로 14, 20, 26이 들어갑니다.

5. 첫 \(n\)항의 합 공식 유도

합을 앞에서부터 쓴 식과 뒤에서부터 쓴 식을 세로로 더합니다.

\[ \begin{aligned} S_n&=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n\\ S_n&=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_2+a_1 \end{aligned} \]

각 열의 합은 \(a_1+a_n\)이고 열은 \(n\)개이므로

\[\boxed{S_n=\frac n2(a_1+a_n)}\]

일반항을 대입하면 공차를 사용하는 형태도 얻습니다.

\[\boxed{S_n=\frac n2\{2a_1+(n-1)d\}}\]

예제 2

마지막 항을 구한 뒤 합 계산하기

\(7,11,15,\ldots\)의 첫 40항에서는 \(a_{40}=7+39(4)=163\)이므로

\[S_{40}=\frac{40}{2}(7+163)=3400\]

6. 부분합과 일반항

\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)에서 이전 부분합을 빼면 마지막 항이 남습니다.

\[a_1=S_1,qquad a_n=S_n-S_{n-1}\quad(n\ge2)\]

등차수열의 \(S_n\)은 상수항이 0인 \(n\)의 이차식입니다. 예를 들어 \(S_n=3n^2-2n\)이면

\[a_n=S_n-S_{n-1}=6n-5\]

이고 공차는 6입니다. \(n=1\)에서는 \(a_1=S_1\)로 따로 확인합니다.

7. 상황을 등차수열로 모델링하기

첫 달에 120을 저축하고 매달 저축액을 15씩 늘려 18개월 동안 저축한다면

\[a_n=120+15(n-1),qquad a_{18}=375\]

\[S_{18}=\frac{18}{2}(120+375)=4455\]

\(a_{18}\)은 마지막 달의 금액, \(S_{18}\)은 전체 누적액입니다.

8. 자주 틀리는 지점

공차의 방향: \(d=a_{n+1}-a_n\)입니다.
\(n-1\) 누락: 첫째항에서 제\(n\)항까지 이동은 \(n-1\)번입니다.
첨자 간격 무시: \(a_{10}-a_4\)에는 공차가 6번 들어갑니다.
항과 합 혼동: \(a_n\)은 한 항, \(S_n\)은 누적합입니다.
항 개수 오류: 처음과 끝이 모두 포함되므로 위치 차이에 1을 더합니다.
부분합의 첫 항: \(a_1=S_1\)을 별도로 확인합니다.

개념 점검

① \(-6,-1,4,9,\ldots\)의 공차와 일반항을 구하고 \(a_{25}\)를 계산하세요.

② \(a_4=17,a_{11}=-4\)인 등차수열의 공차, 첫째항과 일반항을 구하세요.

③ \(11,17,23,\ldots,209\)의 항 개수를 구하세요.

④ -3과 27 사이에 네 개의 등차중항을 넣으세요.

⑤ \(5,9,13,\ldots\)의 첫 30항의 합을 구하세요.

⑥ \(S_n=2n^2+3n\)인 수열의 일반항과 공차를 구하세요.

⑦ 첫째 줄에 좌석이 24개이고 줄마다 2개씩 늘어날 때 15번째 줄과 첫 15줄의 좌석 수를 구하세요.

풀이와 답 확인

\(d=5\), \(a_n=5n-11\), \(a_{25}=114\)입니다.
\(d=(-4-17)/7=-3\), \(a_1=26\), \(a_n=29-3n\)입니다.
\(209=11+6(n-1)\)에서 \(n=34\)입니다.
총 6항이므로 공차는 \(30/5=6\), 등차중항은 3, 9, 15, 21입니다.
\(a_{30}=121\), \(S_{30}=30(5+121)/2=1890\)입니다.
\(a_n=S_n-S_{n-1}=4n+1\), 공차는 4입니다.
\(a_{15}=52\), \(S_{15}=15(24+52)/2=570\)석입니다.

9. 다음 강의로 연결

등차수열에서는 같은 수를 반복해서 더했습니다. 다음 강의에서는 같은 비율을 반복해서 곱하는 등비수열을 지수적 변화로 해석하고 일반항과 합 공식을 유도합니다.

참고한 공개 자료와 작성 원칙

2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Arithmetic Sequences, OpenStax: Sequence and Series Equations를 성취 범위와 공식 관계 확인에 참고했습니다. 설명 문장, SVG 점그래프, 표, 수치 예제, 문제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.