사인법칙과 코사인 법칙

주어진 변과 각에 맞는 법칙을 선택하여 삼각형과 실생활 거리를 해결합니다.

대수 · 삼각함수

사인법칙과 코사인 법칙

직각삼각형이 아닌 일반 삼각형에서도 변과 각 사이의 관계를 계산합니다. 주어진 정보에 따라 알맞은 법칙을 선택하고, 삼각형이 하나로 결정되는지 확인한 뒤 거리·넓이 문제에 적용합니다.

학습 목표

각과 그 맞은편 변을 정확히 대응시켜 사인법칙을 사용할 수 있습니다.
두 변과 끼인각 또는 세 변이 주어진 상황에서 코사인 법칙을 사용할 수 있습니다.
SSA 조건에서 삼각형이 0개, 1개 또는 2개가 될 수 있음을 판단할 수 있습니다.
두 법칙과 삼각형의 넓이 공식을 결합해 미지의 변과 각을 구할 수 있습니다.
측량과 거리 문제를 삼각형으로 모델링하고 결과를 단위와 함께 해석할 수 있습니다.

기호 약속

1. 각과 맞은편 변부터 대응하기

각 \(A,B,C\)의 맞은편 변을 각각 \(a,b,c\)라고 정합니다. 사인법칙과 코사인 법칙 모두 이 대응이 맞아야 합니다. 가장 큰 각의 맞은편에는 가장 긴 변이 놓인다는 사실은 계산 결과를 검산하는 데 유용합니다.

2. 사인법칙

\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]

여기서 \(R\)은 삼각형의 외접원의 반지름입니다. 변을 구할 때는 변이 위에 있는 형태가, 각을 구할 때는 사인이 위에 있는 형태가 편리합니다.

\[\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}\]

3. 사인법칙의 높이 유도

꼭짓점 \(C\)에서 변 \(AB\)에 내린 높이를 \(h\)라고 하면 두 직각삼각형에서

\[h=b\sin A=a\sin B\]

이므로 \(a/\sin A=b/\sin B\)를 얻습니다. 다른 꼭짓점에서 높이를 내려 같은 과정을 반복하면 세 비가 모두 같음을 알 수 있습니다. 외접원의 지름과 원주각의 관계를 연결하면 공통값이 \(2R\)임도 얻습니다.

예제 1 · AAS

두 각과 한 변으로 삼각형 풀기

\(A=48^\circ\), \(B=67^\circ\), \(a=12\)일 때 나머지 값을 구해 봅시다.

\(C=180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ\)입니다.
\(b=12\sin67^\circ/\sin48^\circ\approx14.86\)입니다.
\(c=12\sin65^\circ/\sin48^\circ\approx14.63\)입니다.
가장 큰 각 \(B\)의 맞은편 변 \(b\)가 가장 길어 결과가 타당합니다.

4. SSA와 두 삼각형의 가능성

두 변과 그중 한 변의 맞은편 각이 주어진 SSA에서는 역사인 계산이 한 각만 보여 주어도, \(0^\circ<B<180^\circ\)에서

\[\sin B=\sin(180^\circ-B)\]

이므로 두 번째 각도 확인해야 합니다. 두 후보 중 주어진 각과 더했을 때 \(180^\circ\)보다 작은 경우만 실제 삼각형을 만듭니다.

알려진 예각 \(A\), 변 \(a,b\)	결과
\(a<b\sin A\)	삼각형 없음
\(a=b\sin A\)	직각삼각형 1개
\(b\sin A<a<b\)	삼각형 2개
\(a\ge b\)	삼각형 1개

예제 2 · SSA

두 해를 빠뜨리지 않기

\(A=30^\circ\), \(a=7\), \(b=10\)이라면

\[\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5}{7}\]

첫 후보는 \(B_1\approx45.58^\circ\), 둘째 후보는 \(B_2=180^\circ-B_1\approx134.42^\circ\)입니다.
두 경우 모두 \(A+B<180^\circ\)이므로 두 삼각형이 가능합니다.
첫 삼각형은 \(C_1\approx104.42^\circ\), \(c_1\approx13.56\)입니다.
둘째 삼각형은 \(C_2\approx15.58^\circ\), \(c_2\approx3.76\)입니다.

5. 코사인 법칙

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\]

\[b^2=c^2+a^2-2ca\cos B,qquad c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\]

구하려는 변의 맞은편 각이 식의 코사인에 들어갑니다. \(A=90^\circ\)이면 \(\cos A=0\)이므로 \(a^2=b^2+c^2\)가 되어 피타고라스 정리로 이어집니다.

6. 코사인 법칙의 좌표 유도

\(A\)를 원점, 변 \(c\)를 x축 위에 두면 \(B=(c,0)\), \(C=(b\cos A,b\sin A)\)로 놓을 수 있습니다. 거리 공식으로

\[ a^2=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2 =b^2+c^2-2bc\cos A \]

를 얻습니다. 단위원의 관계 \(\sin^2A+\cos^2A=1\)이 사용됩니다.

예제 3 · SAS

두 변과 끼인각

\(b=9\), \(c=13\), \(A=62^\circ\)이면

\[a=\sqrt{9^2+13^2-2(9)(13)\cos62^\circ}\approx11.84\]

길이는 양수이므로 양의 제곱근만 사용합니다.

예제 4 · SSS

세 변에서 각 구하기

\(a=7\), \(b=9\), \(c=12\)이면

\[\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{176}{216}\]

따라서 \(A=\cos^{-1}(176/216)\approx35.43^\circ\)입니다.

7. 어느 법칙을 먼저 사용할까?

주어진 정보	먼저 사용할 법칙	이유
ASA, AAS	사인법칙	맞은편인 각–변 한 쌍을 확보할 수 있음
SSA	사인법칙	두 번째 각 후보까지 확인해야 함
SAS	코사인 법칙	끼인각으로 맞은편 변을 바로 계산
SSS	코사인 법칙	세 변으로 첫 각을 계산

중간 계산 뒤에는 더 간단한 법칙으로 바꾸어도 됩니다. 단, 반올림한 값을 재사용하면 오차가 커지므로 계산기에는 가능한 한 원래 값을 유지합니다.

8. 넓이 공식

두 변과 그 끼인각을 알면 높이 \(h=b\sin C\) 등을 이용해 다음 공식을 얻습니다.

\[K=\frac12bc\sin A=\frac12ca\sin B=\frac12ab\sin C\]

세 변만 알 때는 반둘레 \(s=(a+b+c)/2\)를 이용하는 헤론의 공식도 사용할 수 있습니다.

\[K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

예제 5 · 넓이

두 변과 끼인각으로 넓이 구하기

두 변이 8 cm, 11 cm이고 끼인각이 \(125^\circ\)이면

\[K=\frac12(8)(11)\sin125^\circ\approx36.04\text{ cm}^2\]

\(125^\circ\)는 둔각이지만 사인값은 양수이므로 넓이도 양수입니다.

예제 6 · 측량

직접 갈 수 없는 지점까지의 거리

같은 직선 위의 관측점 \(A,B\)가 80 m 떨어져 있고 목표 지점 \(C\)를 향한 삼각형의 내각이 \(A=52^\circ\), \(B=71^\circ\)라고 합시다.

\(C=180^\circ-52^\circ-71^\circ=57^\circ\)입니다.
\(AB=c=80\)이고 구하려는 \(AC=b\)입니다.
\(b/\sin71^\circ=80/\sin57^\circ\)입니다.
\(AC\approx90.19\text{ m}\)입니다.

현실의 방위각을 삼각형의 내각으로 바꿀 때는 기준선의 어느 쪽에서 잰 각인지 먼저 그림으로 확인해야 합니다.

9. 삼각형 존재 조건과 검산

세 각의 합은 \(180^\circ\)이고 각은 모두 \(0^\circ\)보다 커야 합니다.
세 변은 각각 양수이며 가장 긴 변도 나머지 두 변의 합보다 작아야 합니다.
큰 각의 맞은편 변이 더 길어야 합니다.
역사인의 출력 하나만 보고 SSA의 두 번째 후보를 버리지 않습니다.
최종값을 원래 법칙에 대입해 좌우가 반올림 오차 범위에서 같은지 확인합니다.

10. 자주 틀리는 지점

각–변 대응 오류: \(a\)는 항상 \(A\)의 맞은편입니다.
SAS의 각 선택 오류: 코사인 법칙에는 두 알려진 변 사이의 끼인각을 사용합니다.
SSA의 둘째 해 누락: \(B\)와 \(180^\circ-B\)를 모두 검사합니다.
계산기 모드: 각이 도 단위면 degree 모드를 확인합니다.
너무 이른 반올림: 중간값은 저장하고 최종 답에서만 요구 자릿수로 반올림합니다.
넓이의 각 오류: \(K=ab\sin C/2\)에서 \(C\)는 두 변 \(a,b\)의 끼인각입니다.

개념 점검

① \(A=42^\circ\), \(B=73^\circ\), \(a=15\)일 때 \(C,b,c\)를 구하는 식을 세우세요.

② \(A=40^\circ\), \(a=8\), \(b=10\)인 SSA 조건에서 가능한 삼각형의 개수를 판단하세요.

③ 두 변의 길이가 5, 7이고 끼인각이 \(60^\circ\)일 때 나머지 변과 넓이를 구하세요.

④ 세 변이 6, 8, 11인 삼각형에서 가장 큰 각을 구하는 식을 세우세요.

⑤ \(a=9,b=12,c=15\)인 삼각형이 직각삼각형인지 코사인 법칙으로 확인하세요.

⑥ 외접원의 반지름이 10이고 \(A=35^\circ\)일 때 \(a\)를 구하세요.

풀이와 답 확인

\(C=65^\circ\), \(b=15\sin73^\circ/\sin42^\circ\), \(c=15\sin65^\circ/\sin42^\circ\)입니다.
높이 \(h=b\sin A=10\sin40^\circ\approx6.43\)입니다. \(h<a<b\), 즉 \(6.43<8<10\)이므로 두 삼각형이 가능합니다.
\(c^2=5^2+7^2-2(5)(7)\cos60^\circ=39\)이므로 \(c=\sqrt{39}\)입니다. 넓이는 \((1/2)(5)(7)\sin60^\circ=35\sqrt3/4\)입니다.
가장 긴 변 11의 맞은편 각을 \(C\)라고 하면 \(\cos C=(6^2+8^2-11^2)/(2\cdot6\cdot8)=-21/96\), 따라서 \(C=\cos^{-1}(-21/96)\)입니다.
가장 긴 변 15에 대해 \(\cos C=(9^2+12^2-15^2)/(2\cdot9\cdot12)=0\)이므로 \(C=90^\circ\)인 직각삼각형입니다.
사인법칙의 \(a/\sin A=2R\)에서 \(a=20\sin35^\circ\approx11.47\)입니다.

11. Unit 2 정리

일반각과 호도법, 삼각함수 그래프에서 익힌 관계를 일반 삼각형에 적용했습니다. 문제를 풀 때는 주어진 정보의 유형을 분류하고, 법칙을 선택하고, 가능한 삼각형의 수를 확인한 뒤 단위와 현실성을 해석하세요.

참고한 공개 자료와 작성 원칙

2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Law of Sines, OpenStax: Law of Cosines를 성취 범위와 개념 관계 확인에 참고했습니다. 설명 문장, SVG 도형, 수치 예제, 문제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.