22개정 대수 · Unit 1 · 지수함수와 로그함수
상용로그와 수의 크기
밑이 10인 상용로그로 큰 수와 작은 수의 위치를 10의 거듭제곱 사이에서 판단합니다. 자릿수, 소수점 아래 첫 유효 숫자의 위치, 과학적 표기, 선행 숫자와 규모 차이를 계산하고 실제 로그 척도에 적용합니다.
1. 학습 목표
- 상용로그의 뜻과 표기법을 설명하고 10의 거듭제곱인 수의 로그를 계산할 수 있습니다.
- 상용로그값으로 양의 정수의 자릿수를 판정할 수 있습니다.
- 0과 1 사이의 수에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는 소수 자릿수를 찾을 수 있습니다.
- 상용로그의 정수 부분과 소수 부분을 과학적 표기의 지수와 유효 숫자에 연결할 수 있습니다.
- 두 양의 수의 로그 차이로 실제 크기의 비를 해석할 수 있습니다.
2. 상용로그의 정의
밑이 10인 로그를 상용로그라고 하며 밑 10을 생략하여 씁니다. 진수 N은 반드시 양수입니다.
\(\log N=x\)는 \(10^x=N\)과 같은 뜻입니다. 따라서 상용로그는 수 N이 10의 몇 제곱 규모에 있는지를 알려 줍니다.
3. 10의 거듭제곱과 상용로그
| N | 10의 거듭제곱 표현 | \(\log N\) | 크기의 해석 |
|---|---|---|---|
| 0.001 | \(10^{-3}\) | -3 | 1의 천분의 1 |
| 0.1 | \(10^{-1}\) | -1 | 1의 십분의 1 |
| 1 | \(10^0\) | 0 | 기준 크기 |
| 100 | \(10^2\) | 2 | 1의 100배 |
| 1,000,000 | \(10^6\) | 6 | 1의 백만 배 |
4. 과학적 표기와 로그값 분해
모든 양수 N은 \(1\le c<10\)인 c와 정수 k를 사용하여 \(N=c\times10^k\)로 나타낼 수 있습니다.
\(1\le c<10\)이므로 \(0\le\log c<1\)입니다. 따라서 로그값의 정수 부분 k는 소수점을 옮긴 횟수, 소수 부분은 선행 숫자 c의 정보를 담습니다.
\(N=6.4\times10^7\)의 상용로그
정수 부분 7은 N이 \(10^7\) 이상 \(10^8\) 미만임을 나타냅니다. 따라서 N은 8자리 양의 정수입니다.
5. 양의 정수의 자릿수
양의 정수 N이 n자리라는 것은 다음 부등식과 같습니다.
상용로그는 증가하므로 각 변에 로그를 취하면 \(n-1\le\log N 여기서 \(\lfloor x\rfloor\)는 x보다 크지 않은 가장 큰 정수입니다.
\(7^{80}\)은 몇 자리인가
수를 직접 계산하지 않고 상용로그를 취합니다. \(\log7\approx0.845098\)을 사용합니다.
정수 부분이 67이므로 \(7^{80}\)은 \(67+1=68\)자리입니다.
\(2^{120}5^{35}\)의 자릿수
\(2^{35}5^{35}=10^{35}\)을 먼저 묶습니다.
따라서 이 수는 61자리입니다.
6. 0과 1 사이에서 첫 유효 숫자의 위치
\(0 따라서 \(-n\le\log N<-n+1\)이고, 첫 유효 숫자의 위치는 \(-\lfloor\log N\rfloor\)번째 소수 자리입니다.
\(3^{-12}\)의 첫 유효 숫자 위치
바닥값은 -6이므로 첫 0이 아닌 숫자는 소수점 아래 6번째 자리에서 나타납니다. 실제로 \(3^{-12}\approx0.0000018817\)입니다.
7. 소수 부분으로 선행 숫자 찾기
\(\log N=k+f\)이고 k가 정수, \(0\le f<1\)이면 다음과 같습니다.
따라서 \(10^f\)는 과학적 표기의 선행 수를 결정합니다. 로그값을 반올림하기 전에 충분한 소수 자릿수를 유지해야 선행 숫자를 정확하게 판단할 수 있습니다.
\(7^{80}\)의 크기를 과학적 표기로 나타내기
앞에서 \(\log(7^{80})\approx67.60784\)를 얻었습니다. 소수 부분을 다시 10의 지수로 올립니다.
따라서 이 수는 68자리이며 첫째 자리 숫자는 4입니다.
8. 로그 차이는 실제 비율을 나타냄
양수 A와 B에 대해 두 상용로그의 차이는 크기의 비에 대한 로그입니다.
차이가 d라면 \(A/B=10^d\)입니다. 로그값이 1 차이면 실제 양은 10배, 2 차이면 100배입니다.
로그값으로 두 자료 비교
어떤 두 양 A, B에 대해 \(\log A=8.3\), \(\log B=5.8\)이라고 합시다.
A는 B의 약 316배입니다.
소리 세기의 로그 척도
기준 세기 \(I_0=10^{-12}\,\mathrm{W/m^2}\)에 대해 데시벨값을 \(D=10\log(I/I_0)\)로 나타낸다고 합시다. \(I=10^{-6}\,\mathrm{W/m^2}\)이면:
세기의 비가 백만 배이지만 로그 척도에서는 60이라는 다루기 쉬운 값으로 압축됩니다.
9. ‘과학적 표기의 지수’와 ‘가장 가까운 규모’ 구분
\(N=c\times10^k\), \(1\le c<10\)에서 k는 소수점을 정규화한 과학적 표기의 지수입니다. 한편 ‘가장 가까운 10의 거듭제곱’을 규모로 정하는 분야에서는 \(\log N\)을 가장 가까운 정수로 반올림합니다.
예를 들어 \(800=8\times10^2\)의 과학적 표기 지수는 2이지만, 800은 \(10^2\)보다 \(10^3\)에 로그 척도상 더 가까워 가장 가까운 규모를 \(10^3\)으로 부를 수 있습니다. 문제에서 사용하는 ‘규모’의 정의를 확인해야 합니다.
10. 계산기 사용과 오차 관리
- 로그를 취하기 전에 진수가 양수인지 확인합니다.
- 거듭제곱 전체에 로그를 적용할 때 \(\log(a^n)=n\log a\)를 사용합니다.
- 중간 로그값은 최종 답보다 두세 자리 이상 더 유지합니다.
- 자릿수 문제에서는 값이 정수 경계에 매우 가까운지 확인한 뒤 바닥값을 취합니다.
- 마지막에 10의 거듭제곱 범위나 직접 계산 가능한 작은 사례로 검산합니다.
11. 자주 틀리는 부분
- 자릿수를 정수 부분과 같다고 판단: 양의 정수의 자릿수는 \(\lfloor\log N\rfloor+1\)입니다.
- 음수 로그의 소수 부분을 잘못 읽음: \(-5.7\)의 바닥값은 -6이지 -5가 아닙니다.
- 로그값을 너무 일찍 반올림: 정수 경계 근처에서는 자릿수나 첫 숫자가 달라질 수 있습니다.
- 로그값의 차이를 실제 값의 차로 해석: 로그의 차이는 실제 양의 비율과 연결됩니다.
- 0 또는 음수에 상용로그 사용: 실수 범위에서 \(\log0\)과 음수의 로그는 정의되지 않습니다.
12. 다음 강의로 연결
상용로그로 수의 크기를 정량적으로 읽었다면, 다음 강의에서는 지수식과 로그식을 각각 함수로 보고 정의역·치역 및 역함수 관계를 정리합니다.
참고한 공개 자료와 작성 원칙
2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Logarithmic Functions, OpenStax: Order of Magnitude를 개념 범위 확인에 참고했습니다. 강의 구성, 설명 문장, 표, 수치 예제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.