22개정 대수 · Unit 1 · 지수함수와 로그함수

거듭제곱과 거듭제곱근

거듭제곱근을 거듭제곱의 역과정으로 정의하고, 지수의 홀짝과 밑의 부호에 따라 실수인 근의 개수가 어떻게 달라지는지 분석합니다. 방정식의 해와 근호가 나타내는 주값을 구분한 뒤 근호식을 정확하게 계산합니다.

1. 학습 목표

\(x^n=a\)와 ‘a의 n제곱근’의 뜻을 서로 연결할 수 있습니다.
n의 홀짝과 a의 부호를 보고 실수인 n제곱근의 개수를 판단할 수 있습니다.
방정식의 모든 해와 \(\sqrt[n]{a}\)가 나타내는 주값을 구분할 수 있습니다.
근호의 곱과 몫의 성질을 조건에 맞게 사용하고 근호식을 간단히 할 수 있습니다.

2. 거듭제곱의 역과정

정수 \(n\ge2\)에 대하여 \(b^n=a\)이면 b를 a의 n제곱근이라고 합니다. 따라서 거듭제곱근을 찾는 일은 다음 방정식의 실수해를 찾는 일과 같습니다.

\[x^n=a\]

예를 들어 \(3^4=81\), \((-3)^4=81\)이므로 81의 실수인 네제곱근은 3과 -3입니다.

3. 근호의 각 부분 읽기

\[\sqrt[n]{a}\]

n: 근의 차수 또는 근지수
a: 근호 안의 수, 즉 피제곱수
n=2이면 2를 생략하여 \(\sqrt a\)로 씁니다.

실수 범위에서 짝수차 근호는 \(a\ge0\)일 때만 정의됩니다. 홀수차 근호는 음수에도 사용할 수 있습니다.

4. 실수인 n제곱근의 개수

차수 n	a의 조건	실수인 n제곱근	개수
짝수	\(a>0\)	\(\sqrt[n]{a},-\sqrt[n]{a}\)	2개
짝수	\(a=0\)	0	1개
짝수	\(a<0\)	없음	0개
홀수	모든 실수 a	부호까지 정해지는 하나의 값	1개

짝수 거듭제곱은 양수와 음수의 부호를 없애지만, 홀수 거듭제곱은 원래 부호를 유지합니다. 이 차이가 근의 개수를 결정합니다.

예제 1 · 짝수차

\(x^6=729\)의 실수해

\(3^6=729\)이고 \((-3)^6=729\)이므로 두 값이 모두 방정식을 만족합니다.

\[x=\pm3\]

반면 주값을 나타내는 \(\sqrt[6]{729}\)는 음수가 아닌 값 3 하나입니다.

예제 2 · 홀수차

\(x^3=-343\)의 실수해

홀수 거듭제곱은 부호를 유지합니다. \((-7)^3=-343\)이므로 실수해는 하나뿐입니다.

\[x=\sqrt[3]{-343}=-7\]

5. 모든 근과 주값을 혼동하지 않기

기호 \(\sqrt[n]{a}\)는 여러 근 중 하나로 정해 놓은 주값을 뜻합니다. 짝수 n과 양수 a에서는 주값이 항상 양수입니다.

\[x^4=16\Rightarrow x=\pm2,\qquad \sqrt[4]{16}=2\]

따라서 \(\sqrt{25}=\pm5\)라고 쓰면 틀립니다. \(\sqrt{25}=5\)이고, 방정식 \(x^2=25\)의 해가 \(x=\pm5\)입니다.

6. 왜 절댓값이 필요한가

짝수차 근호는 음수가 아닌 주값을 내놓습니다. 그래서 a가 음수일 수도 있을 때 원래 값을 그대로 돌려주지 않습니다.

\[\sqrt[n]{a^n}=|a|\quad(n\text{이 짝수})\]

예: \(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|\)

7. 홀수차에서는 부호가 보존됨

홀수 거듭제곱은 일대일 대응이므로 홀수차 근을 취하면 원래 실수가 그대로 복원됩니다.

\[\sqrt[n]{a^n}=a\quad(n\text{이 홀수})\]

예: \(\sqrt[3]{(-4)^3}=\sqrt[3]{-64}=-4\)

8. 근호의 곱과 몫

같은 차수의 근호는 실수로 정의되는 범위 안에서 하나의 근호로 합칠 수 있습니다.

\[\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},\qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac ab}\]

짝수 n에서는 \(a\ge0\), \(b>0\)이어야 합니다. 몫에서는 분모가 0이 될 수 없다는 조건도 반드시 확인합니다.

예제 3 · 완전제곱 인수 꺼내기

\(\sqrt{72}\)를 간단히 하기

72에서 가장 큰 완전제곱 인수 36을 찾습니다.
\(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}\)로 분리합니다.
\(\sqrt{36}=6\)이므로 답은 \(6\sqrt2\)입니다.

\[\sqrt{72}=6\sqrt2\]

예제 4 · 네제곱근

\(\sqrt[4]{48}\)을 간단히 하기

48을 완전네제곱수 16과 나머지 인수 3의 곱으로 나타냅니다.

\[\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{16\cdot3}=2\sqrt[4]{3}\]

근호 밖으로 꺼낼 수 있는 것은 네 번 곱해진 인수입니다.

예제 5 · 입체도형에 적용

정육면체의 부피에서 모서리 길이 찾기

정육면체의 부피가 \(250\,\mathrm{cm}^3\)이고 모서리 길이를 s라 하면 \(s^3=250\)입니다. 길이는 양수이므로 양의 세제곱근을 택합니다.

\[s=\sqrt[3]{250}=5\sqrt[3]{2}\approx6.30\,\mathrm{cm}\]

정확한 값과 근삿값을 구분하고, 근삿값에는 단위를 함께 씁니다.

9. 자주 틀리는 판단

오류: \(\sqrt{a^2}=a\)라고 무조건 쓰기 → 교정: 실수 a에서는 \(\sqrt{a^2}=|a|\)입니다.
오류: \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\) → 교정: 근호는 덧셈에 분배되지 않습니다. 예를 들어 \(\sqrt{9+16}=5\)이지만 \(3+4=7\)입니다.
오류: 음수는 어떤 근호에도 넣을 수 없다고 판단 → 교정: 짝수차 실수 근은 없지만 홀수차 실수 근은 존재합니다.
오류: \(\sqrt{49}=\pm7\) → 교정: 근호는 주값 7이고, \(x^2=49\)의 해가 \(\pm7\)입니다.

10. 문제 해결 절차

문제가 모든 근을 요구하는지, 근호의 값 하나를 요구하는지 확인합니다.
근의 차수가 짝수인지 홀수인지 확인합니다.
근호 안 수의 부호를 확인하여 실수 범위에서 정의되는지 판단합니다.
완전 n제곱 인수를 찾아 근호 밖으로 꺼냅니다.
원래 식에 다시 거듭제곱하여 값과 부호를 검산합니다.

개념 점검

① \(x^4=625\)의 모든 실수해를 구하세요.

② \(\sqrt[4]{625}\)의 값을 구하세요.

③ \(\sqrt[6]{(-2)^6}\)을 계산하세요.

④ \(\sqrt[3]{-54}\)를 간단히 하세요.

풀이와 답 확인

\(5^4=625\)이고 차수가 짝수이므로 \(x=\pm5\)입니다.
근호는 음수가 아닌 주값을 뜻하므로 \(\sqrt[4]{625}=5\)입니다.
짝수차에서는 절댓값을 취하므로 \(\sqrt[6]{(-2)^6}=|-2|=2\)입니다.
\(-54)=(-27)\cdot2\)이므로 \(\sqrt[3]{-54}=-3\sqrt[3]{2}\)입니다.

11. 다음 강의로 연결

근호는 분수 지수를 정의하는 토대입니다. 다음 강의에서는 \(\sqrt[n]{a}\)를 \(a^{1/n}\)으로 나타내고, 지수법칙이 유리수와 실수 지수까지 어떻게 확장되는지 학습합니다.

참고한 공개 자료와 작성 원칙

교육부 2022 개정 교육과정 고시와 OpenStax: Radicals and Rational Exponents를 개념 범위 확인에 참고했습니다. 설명의 순서, 문장, 수치 예제와 풀이 과정은 이 강의를 위해 독립적으로 작성했습니다.