22개정 대수 · Unit 1 · 지수함수와 로그함수
지수함수와 로그함수의 정의
실수 지수를 함수의 입력으로 받아 지수함수를 정의하고, 입력과 출력을 뒤바꾸어 로그함수를 구성합니다. 두 함수의 정의역과 치역, 일대일성, 역함수 관계를 식·표·대표점으로 연결합니다.
1. 학습 목표
- 지수함수와 거듭제곱함수를 식의 구조로 구분할 수 있습니다.
- 지수함수의 밑 조건과 정의역·치역을 설명할 수 있습니다.
- 로그함수를 지수함수의 역함수로 정의하고 정의역·치역을 구할 수 있습니다.
- 표의 순서쌍과 대표점을 뒤바꾸어 역함수 관계를 확인할 수 있습니다.
- 합성함수와 역연산 공식을 사용해 두 함수가 서로를 되돌리는지 검증할 수 있습니다.
2. 지수함수의 정의
상수 a가 \(a>0\), \(a\ne1\)일 때 다음 함수를 밑이 a인 지수함수라고 합니다.
밑 a는 고정되어 있고 입력 변수 x가 지수 자리에 있습니다. 실수 지수가 정의되어 있으므로 모든 실수 x를 입력할 수 있으며 출력 \(a^x\)는 항상 양수입니다.
3. 밑의 조건이 필요한 이유
| 밑 a | 문제점 또는 특징 | 지수함수의 밑으로 사용 |
|---|---|---|
| \(a>0,\ a\ne1\) | 모든 실수 지수에서 양수이고 일대일 함수가 됨 | 가능 |
| \(a=1\) | 모든 x에서 \(1^x=1\)인 상수함수라 역함수가 없음 | 제외 |
| \(a=0\) | 0 또는 음의 지수에서 정의되지 않음 | 제외 |
| \(a<0\) | 일부 분수·무리수 지수에서 실숫값이 존재하지 않음 | 제외 |
4. 지수함수와 거듭제곱함수 구분
| 함수 | 고정된 부분 | 변수의 위치 | 분류 |
|---|---|---|---|
| \(f(x)=3^x\) | 밑 3 | 지수 x | 지수함수 |
| \(g(x)=x^3\) | 지수 3 | 밑 x | 거듭제곱함수 |
| \(h(x)=5(1.2)^x\) | 초깃값 5와 밑 1.2 | 지수 x | 지수모형 |
\(3^x\)와 \(x^3\)은 기호가 비슷하지만 입력이 놓이는 위치가 달라 함수의 성질도 전혀 다릅니다.
5. 지수함수의 정의역과 치역
출력은 0에 가까워질 수 있지만 0이 되거나 음수가 되지 않습니다. 따라서 x절편은 없고 \(f(0)=1\)이므로 항상 \((0,1)\)을 지납니다.
6. 입력의 일정한 증가와 출력의 비
입력을 h만큼 늘리면 출력에는 일정한 배율 \(a^h\)가 곱해집니다.
같은 양을 더하는 선형 변화와 달리 같은 비율로 변하는 것이 지수함수의 핵심입니다.
\(f(x)=3^x\)의 입력과 출력
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3^x\) | \(1/9\) | \(1/3\) | 1 | 3 | 9 |
입력이 1 증가할 때마다 출력은 3배가 됩니다. 모든 출력이 양수이고 같은 출력이 반복되지 않으므로 일대일 함수입니다.
7. 로그함수는 지수함수의 역함수
\(y=a^x\)의 입력과 출력을 서로 바꾸면 \(x=a^y\)입니다. 이를 y에 대해 나타내면 다음 로그함수가 됩니다.
따라서 \(g(x)=\log_a x\)는 \(f(x)=a^x\)의 역함수입니다. 지수함수가 모든 실수 입력을 서로 다른 양수 출력으로 보내기 때문에 역함수가 존재합니다.
8. 정의역과 치역이 서로 바뀜
| 함수 | 정의역 | 치역 | 기본 점근선 |
|---|---|---|---|
| \(f(x)=a^x\) | \(\mathbb R\) | \((0,\infty)\) | \(y=0\) |
| \(f^{-1}(x)=\log_a x\) | \((0,\infty)\) | \(\mathbb R\) | \(x=0\) |
역함수에서는 원래 함수의 정의역과 치역이 서로 교환됩니다. 지수함수가 0이나 음수를 출력하지 않으므로 로그함수에는 양수만 입력할 수 있습니다.
9. 대표점도 좌표가 뒤바뀜
| 지수함수 \(y=a^x\)의 점 | 로그함수 \(y=\log_a x\)의 점 |
|---|---|
| \((0,1)\) | \((1,0)\) |
| \((1,a)\) | \((a,1)\) |
| \((-1,1/a)\) | \((1/a,-1)\) |
각 순서쌍의 두 좌표를 바꾸었으므로 두 그래프는 직선 \(y=x\)에 대해 서로 대칭입니다.
지수함수 표에서 로그값 찾기
예제 1의 표에서 \(3^{-2}=1/9\), \(3^1=3\), \(3^2=9\)입니다. 입력과 출력을 바꾸면:
10. 합성으로 역함수 확인
한 함수에 넣은 뒤 다른 함수에 넣으면 처음 입력으로 돌아옵니다.
두 식의 조건이 다른 이유는 첫 번째 합성의 입력이 지수함수의 정의역인 모든 실수이고, 두 번째 합성의 입력이 로그함수의 정의역인 양수이기 때문입니다.
중첩된 식 간단히 하기
두 번째 식에서는 로그의 진수 조건을 함께 기록해야 합니다.
같은 밑과 역연산 사용
로그방정식의 해 5는 \(2x-1>0\)을 만족합니다.
\(f(x)=2^{x+1}-3\)의 역함수
- \(y=2^{x+1}-3\)에서 \(y+3=2^{x+1}\)로 정리합니다.
- 밑 2의 로그를 취해 \(\log_2(y+3)=x+1\)을 얻습니다.
- x와 y를 바꾸어 역함수를 씁니다.
원래 함수의 치역 \((-3,\infty)\)가 역함수의 정의역이 됩니다.
11. 증가와 감소가 일대일성을 보장
- \(a>1\)이면 \(a^x\)와 \(\log_a x\)는 모두 증가합니다.
- \(0
- 두 경우 모두 한 방향으로만 변하므로 같은 출력이 반복되지 않아 역함수가 존재합니다.
증가·감소의 그래프 모양과 밑에 따른 변화는 다음 강의에서 좌표와 그래프로 자세히 분석합니다.
\(P(t)=500(1.08)^t\) 해석
t가 1 증가할 때마다 출력은 1.08배가 되므로 8%씩 증가합니다. 함수의 수학적 정의역은 모든 실수로 확장할 수 있지만, t가 경과한 연수를 나타내는 상황에서는 보통 \(t\ge0\)만 사용합니다.
함수의 수학적 정의역과 실제 상황에서 의미 있는 입력 범위를 구분해야 합니다.
12. 자주 틀리는 부분
- 거듭제곱함수와 혼동: \(a^x\)는 지수함수이고 \(x^a\)는 거듭제곱함수입니다.
- 역함수와 역수 혼동: \(f^{-1}(x)\)는 \(1/f(x)\)가 아니라 입력과 출력을 되돌리는 함수입니다.
- 로그함수의 정의역 누락: \(\log_a x\)에는 반드시 \(x>0\)이 필요합니다.
- 밑 1 허용: \(1^x\)는 일대일 함수가 아니므로 역로그함수를 만들 수 없습니다.
- 점근선을 함수값으로 착각: \(a^x\)는 0에 가까워져도 0이 되지 않고, \(\log_a x\)에서 x=0은 입력할 수 없습니다.
13. 정의 문제 해결 순서
- 상수인 밑이 양수이고 1이 아닌지 확인합니다.
- 변수가 밑에 있는지 지수에 있는지 확인해 함수 유형을 구분합니다.
- 지수함수는 모든 실수 입력과 양수 출력을, 로그함수는 양수 입력과 모든 실수 출력을 기록합니다.
- 역함수를 구할 때 x와 y를 바꾸고 새 식의 정의역을 확인합니다.
- 두 합성 결과가 각각의 정의역에서 원래 입력이 되는지 검산합니다.
14. 다음 강의로 연결
두 함수의 정의와 역관계를 세웠으므로 다음 강의에서는 밑이 1보다 큰 경우와 0과 1 사이인 경우를 나누어 증가·감소, 절편, 점근선과 평행이동을 그래프로 분석합니다.
참고한 공개 자료와 작성 원칙
2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Exponential Functions, OpenStax: Inverse Functions를 개념 범위 확인에 참고했습니다. 강의 구성, 설명 문장, 표, 수치 예제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.