지수·로그함수로 변화 모델링하기

반복 비율 변화와 역문제를 지수·로그함수로 모델링합니다.

대수 · 지수함수와 로그함수

지수·로그함수로 변화 모델링하기

같은 양을 계속 더하는 변화와 같은 비율을 계속 곱하는 변화를 구별하고, 자료에 맞는 지수모델을 세운 뒤 로그를 이용해 목표 시점과 배가시간·반감기를 구합니다.

학습 목표

일정한 차이와 일정한 비율을 비교하여 선형모델과 지수모델을 구별할 수 있습니다.
초깃값과 변화율 또는 두 자료점을 이용해 \(Q(t)=Q_0b^t\)를 세울 수 있습니다.
로그를 이용해 목표값에 도달하는 시간, 배가시간, 반감기를 구할 수 있습니다.
이산 변화, 연속 변화, 복리 모델의 식과 시간 단위를 올바르게 선택할 수 있습니다.
자료와 잔차를 확인하고 지수모델의 적용 범위와 한계를 설명할 수 있습니다.

1. 어떤 변화가 지수적인가?

입력이 같은 간격으로 증가할 때 출력의 차가 일정하면 선형변화이고, 출력의 비가 일정하면 지수변화입니다. 지수모델의 핵심은 값이 클수록 같은 비율의 변화량도 커진다는 점입니다.

판별 기준	선형모델	지수모델
같은 시간 간격에서	\(Q(t+1)-Q(t)\)가 일정	\(\dfrac{Q(t+1)}{Q(t)}\)가 일정
기본식	\(Q(t)=Q_0+dt\)	\(Q(t)=Q_0b^t\)
변화의 의미	매번 \(d\)만큼 더함	매번 \(b\)배 함
대표 상황	일정한 속도로 채우기	복리, 일정 비율 성장·감소

예를 들어 \(100,120,140,160\)은 차가 20으로 일정하므로 선형이고, \(100,120,144,172.8\)은 앞 값의 1.2배이므로 지수적입니다.

이산 지수모델

2. 초깃값과 단위 변화인자

\[Q(t)=Q_0b^t\]

\(Q_0\): \(t=0\)일 때의 초깃값
\(b\): 한 단위 시간마다 곱하는 변화인자
\(b>1\): 증가, \(0<b<1\): 감소

매 기간 \(r\)만큼 증가하면 \(b=1+r\), 감소하면 \(b=1-r\)입니다. 여기서 백분율은 반드시 소수로 바꿉니다.

\[\text{8% 증가}: b=1.08 \qquad \text{12% 감소}: b=0.88\]

예제 1

초깃값과 변화율로 모델 만들기

어떤 장비의 가치가 처음 4,800이고 해마다 12%씩 감소한다고 하겠습니다.

초깃값은 \(Q_0=4800\)입니다.
감소인자는 \(b=1-0.12=0.88\)입니다.
따라서 \(t\)년 뒤의 모델은 \(Q(t)=4800(0.88)^t\)입니다.
6년 뒤에는 \(Q(6)=4800(0.88)^6\approx2229.14\)입니다.

해석: 매년 576씩 일정하게 줄어드는 것이 아니라, 그해 남은 가치의 12%씩 감소합니다.

3. 두 자료점으로 지수모델 구하기

두 점 \((t_1,Q_1)\), \((t_2,Q_2)\)가 정확히 하나의 지수모델 위에 있고 \(Q_1,Q_2>0\)라면 먼저 단위 변화인자 \(b\)를 구합니다.

\[\frac{Q_2}{Q_1}=b^{t_2-t_1}\quad\Longrightarrow\quad b=\left(\frac{Q_2}{Q_1}\right)^{\frac{1}{t_2-t_1}}\]

그다음 \(Q_0=Q_1/b^{t_1}\)을 사용합니다. 두 시점의 간격이 1이 아닐 때 전체 비율을 그대로 \(b\)로 쓰지 않는 것이 중요합니다.

예제 2

두 측정값에서 모델 복원하기

배양 시작 2시간 뒤 개체 수가 360, 5시간 뒤 1,215였고 그 사이 일정한 비율로 증가했다고 가정합니다.

두 시점 사이에는 \(5-2=3\)개의 한 시간 간격이 있습니다.
\(b^3=1215/360=3.375\)이므로 \(b=\sqrt[3]{3.375}=1.5\)입니다.
\(Q_0=360/(1.5)^2=160\)입니다.
따라서 모델은 \(Q(t)=160(1.5)^t\)입니다.

검산하면 \(Q(2)=360\), \(Q(5)=1215\)로 두 자료점을 모두 지납니다.

4. 로그로 목표 시간 구하기

목표값 \(Q_*\)에 도달하는 시점을 구할 때 미지수 \(t\)가 지수에 있으므로 로그를 사용합니다.

\[Q_*=Q_0b^t\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\log(Q_*/Q_0)}{\log b}\]

로그의 밑은 같기만 하면 됩니다. 자연로그를 사용해도 \(t=\ln(Q_*/Q_0)/\ln b\)로 같은 결과를 얻습니다.

예제 3

연속적인 시간과 정수 기간 구별하기

초깃값 250이 매주 18%씩 증가할 때 900에 도달하는 시점을 구해 봅시다.

\[250(1.18)^t=900\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\log(900/250)}{\log1.18}\approx7.74\]

시간을 연속적으로 해석하면 약 7.74주입니다. 하지만 값이 매주 말에만 갱신되는 상황에서 “처음 900 이상이 되는 주”를 묻는다면 올림하여 8주입니다. 반올림 기준은 상황의 의미로 정해야 합니다.

핵심 공식

5. 배가시간과 반감기

\(Q(t)=Q_0b^t\)에서 증가모델의 배가시간 \(T_2\)와 감소모델의 반감기 \(T_{1/2}\)는 다음과 같습니다.

\[T_2=\frac{\log2}{\log b}\qquad T_{1/2}=\frac{\log(1/2)}{\log b}\]

반감기 식에서는 \(0<b<1\)이므로 분자와 분모가 모두 음수이고 시간은 양수가 됩니다.

예제 4

반감기로 감소모델 세우기

처음 240 mg인 물질의 반감기가 5시간이면

\[Q(t)=240\left(\frac12\right)^{t/5}\]

13시간 뒤에는 \(Q(13)=240(1/2)^{13/5}\approx39.59\text{ mg}\)입니다. 30 mg은 초깃값의 \(1/8=(1/2)^3\)이므로 정확히 15시간 뒤입니다.

6. 연속 지수변화와 자연상수 \(e\)

변화가 정해진 시점에 한 번씩 일어나는 대신 매 순간 현재 양에 비례하여 일어난다고 모델링하면 다음 식을 사용합니다.

\[Q(t)=Q_0e^{kt}\]

\(k>0\)이면 성장, \(k<0\)이면 감소입니다. 이산모델과의 관계는 \(b=e^k\), \(k=\ln b\)이므로 두 표현은 같은 지수적 변화를 서로 다른 방식으로 나타냅니다.

\[T_2=\frac{\ln2}{k}\quad(k>0),\qquad T_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{k}\quad(k<0)\]

예를 들어 \(Q(t)=700e^{0.045t}\)의 배가시간은 \(\ln2/0.045\approx15.40\)시간 단위입니다.

금융 모델

7. 복리와 연속복리

원금 \(P\), 연이율 \(r\), 연간 복리 횟수 \(n\), 기간 \(t\)년에 대해

\[A=P\left(1+\frac rn\right)^{nt}\qquad\text{연속복리: }A=Pe^{rt}\]

원금 2,400을 연 4.8%로 5년간 예치하면 월복리는

\[A=2400\left(1+\frac{0.048}{12}\right)^{60}\approx3049.54\]

연속복리는 \(A=2400e^{0.048\cdot5}\approx3051.00\)입니다. 이율 \(r\)과 기간 \(t\)의 단위를 모두 “년”으로 맞춘 뒤 계산해야 합니다.

8. 로그변환으로 자료의 지수성 확인하기

\(Q(t)=Q_0b^t\)의 양변에 자연로그를 취하면

\[\ln Q(t)=\ln Q_0+t\ln b\]

따라서 \(t\)와 \(\ln Q\)를 좌표로 나타냈을 때 점들이 거의 직선 위에 놓이면 지수모델을 고려할 근거가 됩니다. 이 직선의 기울기는 \(\ln b\), 세로절편은 \(\ln Q_0\)입니다. 단, \(Q>0\)인 자료에만 로그변환을 적용할 수 있습니다.

9. 모델을 검증하는 순서

변수와 단위: 입력과 출력이 무엇인지, 시간 단위가 일·월·년 중 무엇인지 적습니다.
패턴 확인: 같은 간격에서 차보다 비가 일정한지 조사합니다.
매개변수 계산: 초깃값, 변화인자 또는 연속변화율을 구합니다.
예측과 잔차: 실제값에서 예측값을 뺀 잔차가 한쪽으로 치우치지 않는지 확인합니다.
범위 판단: 관측 구간 안의 보간과 관측 구간 밖의 외삽을 구별합니다.
상황 해석: 답의 단위, 정수 여부, 반올림 기준과 현실성을 함께 씁니다.

10. 지수모델의 한계

두 점만 있으면 언제나 그 두 점을 지나는 지수식을 만들 수 있지만, 그것만으로 실제 현상이 지수적이라는 증거가 되지는 않습니다. 자원 부족, 공간 제한, 정책 변화, 포화 현상처럼 변화율을 바꾸는 조건이 생기면 일정 비율 가정이 깨집니다.

여러 구간의 비율과 잔차를 함께 확인합니다.
관측 구간에서 멀리 떨어진 외삽은 특히 조심합니다.
상한에 가까워지며 성장이 둔화되면 단순 지수모델보다 다른 모델이 적절할 수 있습니다.
모델이 수학적으로 계산 가능하더라도 음수 시간이나 분수 개체 수처럼 상황에서 허용되지 않는 입력·출력은 제외합니다.

11. 자주 틀리는 지점

변화율을 변화인자로 착각: 8% 증가의 밑은 0.08이 아니라 1.08입니다.
감소인자의 부호 오류: 12% 감소의 밑은 -0.12가 아니라 0.88입니다.
시간 간격 무시: 두 자료점이 3년 간격이면 전체 비율의 세제곱근이 한 해 변화인자입니다.
로그 괄호 누락: \(\log(Q_*/Q_0)\) 전체를 \(\log b\)로 나눕니다.
단위 혼용: 월 변화율에 연 단위 시간을 바로 대입하지 않습니다.
무조건 반올림: “최초의 정수 기간”은 조건을 만족하도록 올림한 뒤 원래 식으로 검산합니다.

개념 점검

① 초깃값 800이 해마다 7%씩 감소할 때 모델을 세우고 4년 뒤의 값을 구하세요.

② 지수모델이 \((0,120)\), \((3,405)\)를 지날 때 단위 변화인자와 식을 구하세요.

③ \(Q(t)=300(1.12)^t\)가 처음 600 이상이 되는 연속적인 시간과 정수 기간을 각각 구하세요.

④ 반감기가 8일인 물질이 20일 뒤 처음 양의 몇 배가 되는지 구하세요.

⑤ \(Q(t)=Q_0e^{-0.06t}\)의 반감기를 구하고, \(t\)의 단위가 월이면 답의 단위도 쓰세요.

풀이와 답 확인

감소인자는 \(1-0.07=0.93\)이므로 \(Q(t)=800(0.93)^t\)입니다. \(Q(4)=800(0.93)^4\approx598.44\)입니다.
\(b^3=405/120=3.375\)이므로 \(b=1.5\)입니다. \(t=0\)의 값이 120이므로 \(Q(t)=120(1.5)^t\)입니다.
\(300(1.12)^t=600\)에서 \(t=\ln2/\ln1.12\approx6.12\)입니다. 정수 기간으로 처음 600 이상이 되는 때는 7기간째입니다.
\(Q(20)/Q_0=(1/2)^{20/8}=(1/2)^{2.5}\approx0.1768\)이므로 처음 양의 약 17.68%입니다.
\(e^{-0.06T}=1/2\)에서 \(T=\ln(1/2)/(-0.06)=\ln2/0.06\approx11.55\)개월입니다.

12. Unit 1 정리

지수법칙과 로그법칙, 두 함수의 역함수 관계와 그래프를 실제 변화에 연결했습니다. 모델을 세울 때는 일정한 비율이라는 가정, 역문제를 풀 때는 로그, 결과를 해석할 때는 단위·정의역·적용 범위를 함께 확인하세요.

참고한 공개 자료와 작성 원칙

2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Exponential and Logarithmic Models, OpenStax: Exponential Functions, OpenStax: Fitting Exponential Models to Data를 개념 범위와 모델링 순서 확인에 참고했습니다. 설명 문장, 표, 수치 예제, 문제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.