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BETAInsomnia Studyroom여러 가지 수열의 합
여러 가지 수열의 합

2022 Revised Curriculum

대수

거듭제곱근과 지수·로그함수, 삼각함수, 수열과 수학적 귀납법을 2022 개정 교육과정에 맞춰 학습합니다.

세 대단원과 18개 강의에서 식의 계산, 그래프의 성질, 변화 모델링과 수열의 논리적 증명을 차례로 익힙니다.

여러 가지 수열의 합

자연수의 거듭제곱 합과 부분분수·망원합 구조를 활용합니다.

대수 · 수열

여러 가지 수열의 합

긴 합을 무작정 전개하지 않고 일반항의 구조를 먼저 살펴봅니다. 자연수 거듭제곱의 합을 유도해 다항식의 합을 계산하고, 부분분수·차의 형태·유리화를 이용해 중간항이 소거되는 유한 망원합을 해결합니다.

학습 목표

  • 자연수, 자연수의 제곱과 세제곱의 합 공식을 구별하여 사용할 수 있습니다.
  • 합의 선형성을 이용해 다항식 형태의 일반항을 항별로 나누어 계산할 수 있습니다.
  • 구간이 1에서 시작하지 않는 합을 두 부분합의 차로 바꿀 수 있습니다.
  • 부분분수 분해와 유리화로 일반항을 이웃한 두 항의 차로 바꿀 수 있습니다.
  • 소거된 뒤 남는 첫 항과 마지막 항을 정확히 찾아 일반식과 작은 경우를 검산할 수 있습니다.

1. 합을 보기 전에 구조부터 분류하기

일반항의 모습주요 전략확인할 점
\(ak^2+bk+c\)합의 선형성과 거듭제곱 합상수도 항의 개수만큼 더함
\(1/[k(k+1)]\)부분분수로 차 만들기분자 계수와 부호
\(b_k-b_{k+1}\)전개하여 망원소거처음과 끝에 남는 항
근호가 있는 분수켤레식으로 유리화분모의 차가 상수인지 확인
\((-1)^kk\)두 항씩 짝짓기항 개수의 홀짝

2. 기본 거듭제곱 합

\[\sum_{k=1}^{n}1=n\]
\[\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\]
\[\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
\[\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\]

세제곱의 합은 자연수 합의 제곱과 같습니다. 공식을 적용하기 전에 상한이 정확히 \(n\)인지, 시작값이 1인지 확인합니다.

공식 유도 1

자연수 합의 짝짓기

\(1+2+\cdots+n\)과 \(n+(n-1)+\cdots+1\)을 더하면 각 쌍이 \(n+1\)이고 쌍이 \(n\)개입니다.

\[2S_n=n(n+1)\quad\Longrightarrow\quad S_n=\frac{n(n+1)}2\]
공식 유도 2

제곱합은 세제곱의 차에서

항등식 \((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\)을 \(k=1\)부터 \(n\)까지 더하면 왼쪽이 소거됩니다.

\[(n+1)^3-1=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}k+n\]

자연수 합 공식을 대입해 정리하면 제곱합 공식을 얻습니다.

3. 세제곱합 공식이 자연수 합의 제곱인 이유

\(T_n=n(n+1)/2\)를 첫 \(n\)개 자연수의 합이라고 합시다. 그러면

\[ T_n^2-T_{n-1}^2=(T_n-T_{n-1})(T_n+T_{n-1})=n\cdot n^2=n^3 \]

입니다. \(k=1\)부터 \(n\)까지 더하면 중간의 \(T_k^2\)들이 소거되어

\[1^3+2^3+\cdots+n^3=T_n^2=\left\{\frac{n(n+1)}2\right\}^2\]

을 얻습니다.

예제 1

다항식 형태의 합

\(\sum_{k=1}^{10}(2k^2-3k+4)\)를 계산해 봅시다.

\[ 2\sum_{k=1}^{10}k^2-3\sum_{k=1}^{10}k+4\sum_{k=1}^{10}1 =2(385)-3(55)+4(10)=645 \]

상수 4도 10번 더해지므로 \(4\sum1=40\)입니다.

4. 시작값이 1이 아닌 합

\(m\ge2\)이면 1부터 \(n\)까지의 합에서 1부터 \(m-1\)까지의 합을 뺍니다.

\[\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=1}^{m-1}a_k\]

예를 들어

\[ \sum_{k=6}^{20}k^2 =\frac{20\cdot21\cdot41}{6}-\frac{5\cdot6\cdot11}{6} =2870-55=2815 \]

두 번째 합의 상한은 \(m\)이 아니라 \(m-1\)입니다.

5. 망원합의 기본 원리

일반항이 \(b_k-b_{k+1}\)이면 합을 전개했을 때 중간항이 앞뒤에서 반대 부호로 나타나 소거됩니다.

\[ \sum_{k=1}^{n}(b_k-b_{k+1}) =(b_1-b_2)+(b_2-b_3)+\cdots+(b_n-b_{n+1}) =b_1-b_{n+1} \]

망원경의 통이 접히듯 중간항이 사라져 망원합이라고 부릅니다. 유한합에서는 극한을 사용하지 않고 남는 항만 정확히 계산합니다.

직접 제작한 소거도

어떤 항이 사라지고 남는가?

1 − 1/2+1/2 − 1/3 + ··· +1/n − 1/(n+1) 첫 항 1은 남음중간항은 같은 크기·반대 부호로 소거 마지막 −1/(n+1)은 남음

6. 부분분수로 망원구조 만들기

분모가 이웃한 일차식의 곱이면 두 단순한 분수의 차로 분해할 수 있습니다.

\[\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}\]

따라서

\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} =1-\frac1{n+1} =\frac{n}{n+1} \]
예제 2

두 칸 떨어진 항의 소거

다음 분해를 먼저 확인합니다.

\[\frac{2}{k(k+2)}=\frac1k-\frac1{k+2}\]

전개하면 처음 두 양의 항과 마지막 두 음의 항이 남습니다.

\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{2}{k(k+2)} =1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2} \]

간격이 2이므로 양 끝에서 각각 두 항이 남는다는 점이 중요합니다.

7. 유리화로 차의 형태 만들기

근호가 있는 분모에 켤레식을 이용하면 망원합이 나타날 수 있습니다.

\[ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} =\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(k+1)-k} =\sqrt{k+1}-\sqrt{k} \]

따라서

\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} =\sqrt{n+1}-1 \]

8. 교대합은 항 개수의 홀짝을 확인

\(1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1}n\)을 두 항씩 묶으면 각 쌍의 합은 -1입니다.

\[ \sum_{k=1}^{2m}(-1)^{k-1}k=-m,qquad \sum_{k=1}^{2m+1}(-1)^{k-1}k=m+1 \]

홀수 개일 때는 마지막 양의 항 \(2m+1\)이 하나 남습니다.

9. 문제 해결 절차

  1. 상한과 하한: 실제 첫 항, 마지막 항과 항 개수를 확인합니다.
  2. 구조 분류: 다항식, 인수분해 가능한 분수, 차의 형태, 근호, 교대 부호 중 무엇인지 봅니다.
  3. 변형: 선형성·부분분수·유리화·짝짓기 중 알맞은 방법을 선택합니다.
  4. 몇 항 전개: 소거 방향과 남는 항의 개수를 눈으로 확인합니다.
  5. 정리: \(n\)에 대한 식으로 나타내고 정의되는 범위를 확인합니다.
  6. 검산: \(n=1,2\)를 직접 더한 값과 일반식을 비교합니다.

10. 자주 틀리는 지점

  • 공식 혼동: 자연수 합, 제곱합, 세제곱합의 차수를 확인합니다.
  • 상수항 누락: \(c\)는 항의 개수만큼 더해집니다.
  • 부분합 범위 오류: \(m\)부터 시작하면 1부터 \(m-1\)까지를 뺍니다.
  • 부분분수 계수 오류: 분해한 식을 다시 통분해 원래 분수인지 확인합니다.
  • 망원합 끝항 누락: 간격이 2이면 양 끝에서 두 항씩 남을 수 있습니다.
  • 무한합으로 착각: 이 강의의 상한 \(n\)은 유한하므로 극한이나 무한급수 공식을 사용하지 않습니다.
개념 점검

① \(\sum_{k=1}^{n}(3k^2-2k+1)\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내세요.

② \(\sum_{k=4}^{12}k\)를 1부터 시작하는 두 합의 차로 계산하세요.

③ \(\sum_{k=1}^{25}1/[k(k+1)]\)을 계산하세요.

④ \(\sum_{k=1}^{n}2/[k(k+2)]\)에서 남는 항을 모두 쓰세요.

⑤ \(\sum_{k=1}^{15}1/(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})\)을 계산하세요.

⑥ \(1-2+3-4+\cdots+19-20\)을 계산하세요.

⑦ \(\sum_{k=1}^{n}\{(k+1)^2-k^2\}\)를 망원합으로 계산하세요.

풀이와 답 확인
  1. \(3\sum k^2-2\sum k+\sum1=n(2n^2+n+1)/2\)입니다.
  2. \(\sum_{k=4}^{12}k=\sum_{k=1}^{12}k-\sum_{k=1}^{3}k=78-6=72\)입니다.
  3. \(1-1/26=25/26\)입니다.
  4. \(1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)\)가 남습니다.
  5. 유리화하면 \(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)이므로 \(\sqrt{16}-1=3\)입니다.
  6. 두 항씩 묶으면 \((1-2)+\cdots+(19-20)=-10\)입니다.
  7. \((2^2-1^2)+(3^2-2^2)+\cdots+((n+1)^2-n^2)=(n+1)^2-1=n^2+2n\)입니다.

11. 다음 강의로 연결

합의 일반항을 변형해 소거 구조를 찾았습니다. 다음 강의에서는 초기값과 점화식으로 수열을 정의하고, 앞의 항으로 다음 항을 생성하며 귀납적 정의를 해석합니다.

참고한 공개 자료와 작성 원칙

2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Sums and Powers of Integers, OpenStax: Telescoping-Series Structure, OpenStax: Partial Fractions를 공식과 유한 소거 구조 확인에 참고했습니다. 무한급수 내용은 강의에 포함하지 않았으며, 설명 문장, SVG 소거도, 수치 예제, 문제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.