비율이 일정한 수열

등비수열의 공비, 일반항, 합과 등비중항을 연결합니다.

대수 · 수열

비율이 일정한 수열

이웃한 항 사이의 비율이 일정한 등비수열을 지수적 변화로 이해합니다. 공비의 부호와 크기에 따른 모양, 일반항과 합의 유도, 떨어진 두 항에서 공비를 복원할 때의 여러 가능성까지 살펴봅니다.

학습 목표

연속한 두 항의 비를 조사하여 등비수열인지 판단할 수 있습니다.
첫째항과 공비로 일반항을 유도하고 임의의 항을 구할 수 있습니다.
공비의 부호와 절댓값에 따라 항의 부호와 크기가 어떻게 변하는지 설명할 수 있습니다.
떨어진 두 항에서 가능한 공비와 일반항을 빠짐없이 찾을 수 있습니다.
곱셈과 뺄셈으로 첫 \(n\)항의 합을 유도하고 실제 변화에 적용할 수 있습니다.

1. 등비수열과 공비

0이 아닌 연속한 항에 대하여 뒤 항을 앞 항으로 나눈 값이 일정하면 등비수열이고, 그 일정한 비를 공비 \(r\)이라고 합니다.

\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=rqquad\text{또는}\qquad a_{n+1}=ra_n\]

예를 들어 \(3,12,48,192,\ldots\)는 매번 4배이므로 \(r=4\)입니다. \(5,10,15,20,\ldots\)은 차는 일정하지만 비는 일정하지 않아 등비수열이 아닙니다.

모든 항이 0인 수열은 나눗셈으로 공비를 정할 수 없습니다. 따라서 공비를 구할 때 분모가 0인지 먼저 확인하고, 문제에서 재귀식으로 별도 정의했는지 살펴봅니다.

2. 일반항 유도

첫째항에서 제\(n\)항까지 공비를 \(n-1\)번 곱합니다.

\[ a_2=a_1r,quad a_3=a_1r^2,quad a_4=a_1r^3 \]

\[\boxed{a_n=a_1r^{n-1}}\]

지수가 \(n\)이 아니라 \(n-1\)인 이유는 \(a_1=a_1r^0\)이어야 하기 때문입니다.

명시적 정의

원하는 항을 바로 계산

\(a_1=3,r=2\)이면

\[a_n=3\cdot2^{n-1},qquad a_8=3\cdot2^7=384\]

귀납적 정의

앞 항에서 다음 항 생성

\[a_1=3,qquad a_n=2a_{n-1}\quad(n\ge2)\]

두 정의는 같은 수열을 나타냅니다.

3. 공비의 부호와 크기

공비	항의 부호·크기	예
\(r>1\)	같은 부호를 유지하며 절댓값 증가	\(2,6,18,54,\ldots\)
\(r=1\)	모든 항이 같음	\(5,5,5,5,\ldots\)
\(0<r<1\)	같은 부호로 0에 가까워짐	\(16,8,4,2,\ldots\)
\(r=-1\)	부호만 교대하고 절댓값 일정	\(4,-4,4,-4,\ldots\)
\(-1<r<0\)	부호가 교대하며 0에 가까워짐	\(8,-4,2,-1,\ldots\)
\(r<-1\)	부호가 교대하며 절댓값 증가	\(2,-6,18,-54,\ldots\)

직접 제작한 점그래프

지수적 증가와 교대 변화

양의 공비에서는 점들이 한쪽 부호에 머물고, 음의 공비에서는 x축 위아래를 번갈아 나타납니다. 정의역이 자연수이므로 점 사이를 연속된 곡선으로 연결하지 않습니다.

4. 떨어진 두 항에서 공비 구하기

\(p<q\), \(a_p\ne0\)이면

\[\frac{a_q}{a_p}=r^{q-p}\]

입니다. 첨자 차가 홀수이면 실수 공비가 하나이지만, 첨자 차가 짝수이고 비가 양수이면 양수와 음수 공비가 모두 가능할 수 있습니다.

예제 1 · 홀수 간격

공비가 하나인 경우

\(a_2=6,a_5=162\)이면

\[r^3=\frac{162}{6}=27\]

따라서 \(r=3\), \(a_1=2\), \(a_n=2\cdot3^{n-1}\)입니다.

예제 2 · 짝수 간격

공비가 두 개인 경우

\(a_1=2,a_3=18\)이면 \(r^2=9\)이므로

\[r=3\quad\text{또는}\quad r=-3\]

\(2,6,18,\ldots\)와 \(2,-6,18,\ldots\)가 모두 조건을 만족합니다.

5. 등비중항

세 수 \(a,b,c\)가 이 순서로 공비 \(r\)인 등비수열을 이루면 \(b=ar\), \(c=ar^2\)이므로

\[b^2=ac\]

\(a,c>0\)이고 양의 등비중항을 구하면 \(b=\sqrt{ac}\)입니다. 부호 조건이 없다면 \(b=-\sqrt{ac}\)도 별도의 등비수열을 만들 수 있으므로 문제의 조건을 확인합니다.

6. 첫 \(n\)항의 합 공식 유도

\(S_n=a_1+a_1r+\cdots+a_1r^{n-1}\)에 공비를 곱한 뒤 원래 식에서 뺍니다.

\[ \begin{aligned} S_n&=a_1+a_1r+\cdots+a_1r^{n-1}\\ rS_n&=a_1r+a_1r^2+\cdots+a_1r^n \end{aligned} \]

중간 항들이 모두 소거되어 \((1-r)S_n=a_1(1-r^n)\)이므로

\[\boxed{S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}}\qquad(r\ne1)\]

\(r>1\)일 때는 부호가 편한 \(S_n=a_1(r^n-1)/(r-1)\)을 써도 같습니다. \(r=1\)에서는 나눗셈 공식 대신 \(S_n=na_1\)입니다.

예제 3

음의 공비를 가진 합

\(-4,8,-16,32,\ldots\)의 첫 6항에서는 \(a_1=-4,r=-2\)이므로

\[a_6=-4(-2)^5=128\]

\[S_6=-4\frac{1-(-2)^6}{1-(-2)}=84\]

음의 공비에서는 \((-2)^6\)의 부호와 분모 \(1-(-2)\)의 괄호를 특히 주의합니다.

7. 부분합과 일반항

모든 수열에서 부분합과 일반항은 다음 관계를 가집니다.

\[a_1=S_1,qquad a_n=S_n-S_{n-1}\quad(n\ge2)\]

예를 들어 \(S_n=3^n-1\)이면 \(a_n=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=2\cdot3^{n-1}\)이므로 첫째항 2, 공비 3인 등비수열입니다.

8. 지수적 변화를 등비수열로 모델링하기

처음 값이 \(A_0\)이고 매 기간 \(p\)만큼의 비율로 증가하면 공비는 \(1+p\), 감소하면 \(1-p\)입니다.

\[A_n=A_0(1+p)^n\quad\text{또는}\quad A_n=A_0(1-p)^n\]

처음 가치가 8,000이고 해마다 10%씩 감소한다면 시작을 \(n=0\)으로 두어 \(A_n=8000(0.9)^n\)입니다. 5년 뒤에는 \(A_5\approx4723.92\)입니다.

“10% 감소”의 공비는 0.1이 아니라 \(1-0.1=0.9\)입니다.

9. 자주 틀리는 지점

비의 방향: 공비는 뒤 항을 앞 항으로 나눕니다.
지수 오류: 첫째항에서 제\(n\)항까지 공비는 \(n-1\)번 곱합니다.
음의 공비 누락: \(r^2=9\)이면 \(r=\pm3\)을 모두 검사합니다.
\(r=1\) 예외: 합 공식의 분모가 0이므로 \(S_n=na_1\)을 사용합니다.
괄호 누락: \(1-r^n\)과 \(1-r\) 전체를 각각 묶습니다.
비율과 공비 혼동: 20% 증가는 공비 1.2, 20% 감소는 공비 0.8입니다.

개념 점검

① \(5,15,45,\ldots\)의 공비와 일반항을 구하고 \(a_7\)을 계산하세요.

② \(64,-32,16,\ldots\)의 일반항과 \(a_{10}\)을 구하세요.

③ \(a_2=12,a_6=972\)인 실수 등비수열의 가능한 공비와 일반항을 모두 구하세요.

④ 6과 54 사이의 양의 등비중항을 구하세요.

⑤ \(3,6,12,\ldots\)의 첫 8항의 합을 구하세요.

⑥ \(-4,8,-16,\ldots\)의 제6항과 첫 6항의 합을 구하세요.

⑦ \(S_n=3^n-1\)인 수열의 일반항과 공비를 구하세요.

풀이와 답 확인

\(r=3\), \(a_n=5\cdot3^{n-1}\), \(a_7=5\cdot3^6=3645\)입니다.
\(r=-1/2\), \(a_n=64(-1/2)^{n-1}\), \(a_{10}=-1/8\)입니다.
\(r^4=972/12=81\)이므로 \(r=3\) 또는 \(-3\)입니다. 각각 \(a_n=4\cdot3^{n-1}\), \(a_n=-4(-3)^{n-1}\)입니다.
양의 등비중항을 \(b\)라 하면 \(b^2=6\cdot54=324\)이므로 \(b=18\)입니다.
\(S_8=3(2^8-1)/(2-1)=765\)입니다.
\(a_6=128\), \(S_6=84\)입니다.
\(a_n=S_n-S_{n-1}=2\cdot3^{n-1}\)이고 공비는 3입니다.

10. 다음 강의로 연결

등차·등비수열의 일반항과 합을 계산했습니다. 다음 강의에서는 반복되는 덧셈을 시그마 기호로 압축하고, 시작 첨자와 끝 첨자를 바꾸어도 같은 합을 유지하는 방법을 배웁니다.

참고한 공개 자료와 작성 원칙

2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Geometric Sequences, OpenStax: Geometric Series를 성취 범위와 공식 관계 확인에 참고했습니다. 설명 문장, SVG 점그래프, 표, 수치 예제, 문제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.