회전으로 이해하는 일반각과 호도법

동경의 회전으로 일반각을 나타내고 도와 라디안을 변환합니다.

대수 · 삼각함수

회전으로 이해하는 일반각과 호도법

각을 삼각형 안의 크기가 아니라 방향을 가진 회전량으로 확장하고, 호의 길이와 반지름의 비로 라디안을 정의합니다. 도와 라디안의 변환부터 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 원운동의 속력까지 하나의 원리로 연결합니다.

학습 목표

시초선, 동경, 양의 방향과 음의 방향을 이용해 일반각을 설명할 수 있습니다.
동경이 같은 각을 나타내고 주어진 범위의 대표각을 찾을 수 있습니다.
라디안을 호의 길이와 반지름의 비로 설명하고 도 단위와 서로 변환할 수 있습니다.
호의 길이와 부채꼴의 넓이를 구하고 각속도와 선속도를 연결할 수 있습니다.

1. 각을 회전량으로 확장하기

삼각형의 내각과 달리 회전은 한 바퀴를 넘거나 반대 방향으로도 일어날 수 있습니다. 각을 한 반직선에서 다른 반직선까지의 회전량으로 생각하면 이런 움직임을 모두 표현할 수 있습니다.

시초선: 회전을 시작하는 반직선
동경: 회전한 뒤 도착한 반직선
양의 방향: 반시계 방향
음의 방향: 시계 방향

좌표평면에서 원점을 꼭짓점으로 하고 양의 x축을 시초선으로 잡은 위치를 표준위치라고 합니다. 각의 부호는 동경의 사분면이 아니라 회전 방향으로 결정됩니다.

직접 제작한 개념도

표준위치의 양의 각과 음의 각

예를 들어 \(-300^\circ\)는 시계 방향으로 \(300^\circ\) 회전하지만 마지막 동경은 제1사분면에 놓입니다.

2. 동경이 같은 각

한 바퀴를 더 돌거나 덜 돌아도 마지막 동경은 같습니다. 도 단위에서는 \(360^\circ\), 라디안에서는 \(2\pi\)를 정수 번 더하여 동경이 같은 모든 각을 나타냅니다.

\[\theta+360^\circ k\quad\text{또는}\quad\theta+2\pi k\qquad(k\in\mathbb Z)\]

예를 들어 \(30^\circ\), \(390^\circ\), \(-330^\circ\)는 회전량은 다르지만 마지막 방향은 같습니다.

예제 1

도 단위 대표각

\(-765^\circ\)와 동경이 같고 \(0^\circ\le\theta<360^\circ\)인 각을 구해 봅시다.

\(-765^\circ+720^\circ=-45^\circ\)로 아직 범위 밖입니다.
한 바퀴를 더하면 \(-45^\circ+360^\circ=315^\circ\)입니다.
따라서 대표각은 \(315^\circ\)입니다.

예제 2

라디안 대표각

\(-17\pi/6\)과 동경이 같고 \(0\le\theta<2\pi\)인 각을 구해 봅시다.

한 바퀴는 \(2\pi=12\pi/6\)입니다.
\(-17\pi/6+12\pi/6=-5\pi/6\)은 아직 음수입니다.
다시 \(12\pi/6\)을 더하면 \(7\pi/6\)입니다.

3. 호도법과 1라디안

반지름이 \(r\)인 원에서 중심각 \(\theta\)가 잘라 내는 호의 길이를 \(s\)라고 하면, 호도법은 각의 크기를 다음 길이의 비로 정의합니다.

\[\theta=\frac{s}{r}\quad\text{(라디안)}\]

\(s=r\)이면 \(\theta=1\)라디안입니다. 같은 중심각에서 \(s\)는 \(r\)에 비례하므로 원의 크기가 바뀌어도 \(s/r\)은 변하지 않습니다.

한 바퀴의 호는 원둘레 \(2\pi r\)이므로 \((2\pi r)/r=2\pi\)라디안입니다.

\[360^\circ=2\pi\text{ rad},qquad180^\circ=\pi\text{ rad}\]

4. 도와 라디안 변환

\[\text{도}\to\text{라디안}: heta^\circ\cdot\frac{\pi}{180}\qquad \text{라디안}\to\text{도}: heta\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\]

변환비를 외우기보다 도 또는 라디안 단위가 약분되는지 확인하면 곱하는 방향을 혼동하지 않습니다.

도	라디안	한 바퀴에 대한 비율
\(30^\circ\)	\(\pi/6\)	\(1/12\)
\(45^\circ\)	\(\pi/4\)	\(1/8\)
\(60^\circ\)	\(\pi/3\)	\(1/6\)
\(90^\circ\)	\(\pi/2\)	\(1/4\)
\(180^\circ\)	\(\pi\)	\(1/2\)
\(270^\circ\)	\(3\pi/2\)	\(3/4\)
\(360^\circ\)	\(2\pi\)	1

예제 3

부호와 단위를 유지하며 변환하기

\(225^\circ=225^\circ\cdot\pi/180^\circ=5\pi/4\)입니다.
\(-2\pi/3=(-2\pi/3)\cdot180^\circ/\pi=-120^\circ\)입니다.
\(1.7\)라디안은 \(1.7\cdot180^\circ/\pi\approx97.4^\circ\)입니다.

라디안값에 \(\pi\)가 반드시 포함되는 것은 아닙니다. \(1\)라디안은 약 \(57.3^\circ\)입니다.

핵심 공식

5. 호의 길이

라디안의 정의를 \(s\)에 대하여 정리하면

\[s=r\theta\]

\(\theta\)가 라디안일 때 사용하는 식입니다. 도 단위라면 먼저 변환합니다.

공식 유도

6. 부채꼴의 넓이

중심각이 전체 각에서 차지하는 비율이 \(\theta/(2\pi)\)이므로

\[A=\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2=\frac12r^2\theta\]

결과는 길이 단위의 제곱으로 표시합니다.

예제 4

호의 길이와 부채꼴의 넓이

반지름 12 cm, 중심각 \(150^\circ\)인 부채꼴을 생각해 봅시다.

\(150^\circ=5\pi/6\)라디안입니다.
\(s=12\cdot5\pi/6=10\pi\text{ cm}\)입니다.
\(A=(1/2)\cdot12^2\cdot5\pi/6=60\pi\text{ cm}^2\)입니다.

\(150^\circ/360^\circ=5/12\)이므로 원둘레와 원의 넓이의 \(5/12\)인지 확인하여 검산할 수 있습니다.

7. 회전수, 각속도와 선속도

시간 \(t\) 동안 \(\theta\)라디안 회전하면 각속도는 \(\omega=\theta/t\)입니다. 이동거리가 \(s=r\theta\)이므로 선속도와의 관계는 다음과 같습니다.

\[\omega=\frac{\theta}{t},qquad v=\frac{s}{t}=r\omega\]

같은 원판 위의 점은 모두 같은 각속도를 갖지만 중심에서 멀수록 선속도는 큽니다. \(N\)바퀴 회전했다면 \(\theta=2\pi N\)입니다.

예제 5

rpm을 선속도로 바꾸기

반지름 0.18 m인 회전판이 분당 50바퀴로 회전할 때를 생각해 봅시다.

분당 각속도는 \(50\cdot2\pi=100\pi\text{ rad/min}\)입니다.
초당 각속도는 \(100\pi/60=5\pi/3\text{ rad/s}\)입니다.
가장자리의 선속도는 \(v=0.18\cdot5\pi/3=0.3\pi\text{ m/s}\approx0.942\text{ m/s}\)입니다.

8. 문제 해결 순서와 자주 틀리는 지점

방향: 반시계 방향은 양, 시계 방향은 음으로 둡니다.
범위: 대표각을 구할 때 양 끝점의 포함 여부를 확인합니다.
단위: \(s=r\theta\), \(A=r^2\theta/2\), \(v=r\omega\)에서는 라디안을 사용합니다.
동경이 같은 각: 한 개만 쓰지 말고 정수 \(k\)로 일반화합니다.
속도: rpm을 rad/s로 바꿀 때 한 바퀴 \(2\pi\)와 1분 60초를 모두 반영합니다.
검산: 반바퀴보다 작은 각이면 호와 부채꼴 넓이도 전체의 절반보다 작아야 합니다.

개념 점검

① \(1125^\circ\)와 동경이 같고 \(0^\circ\le\theta<360^\circ\)인 각을 구하세요.

② \(-11\pi/4\)와 동경이 같고 \(0\le\theta<2\pi\)인 각을 구하세요.

③ \(-315^\circ\)를 라디안으로, \(7\pi/10\)을 도 단위로 나타내세요.

④ 반지름 9 cm, 중심각 \(4\pi/9\)인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하세요.

⑤ 반지름 0.25 m인 바퀴가 8초 동안 6바퀴 회전할 때 평균 각속도와 가장자리의 선속도를 구하세요.

⑥ 라디안값이 원의 크기와 무관한 이유를 한 문장으로 설명하세요.

풀이와 답 확인

\(1125^\circ-3\cdot360^\circ=45^\circ\)입니다.
\(-11\pi/4+2(2\pi)=5\pi/4\)입니다.
\(-315^\circ=-7\pi/4\), \(7\pi/10=126^\circ\)입니다.
\(s=9(4\pi/9)=4\pi\text{ cm}\), \(A=(81/2)(4\pi/9)=18\pi\text{ cm}^2\)입니다.
총 회전각은 \(12\pi\)이므로 \(\omega=12\pi/8=3\pi/2\text{ rad/s}\), \(v=0.25(3\pi/2)=3\pi/8\text{ m/s}\)입니다.
같은 중심각에서 호의 길이가 반지름에 비례하여 두 길이의 비 \(s/r\)가 일정하기 때문입니다.

9. 다음 강의로 연결

라디안으로 각을 실수 전체의 회전량으로 표현했으므로, 다음 강의에서는 단위원 위 동경의 끝점 좌표로 사인·코사인·탄젠트를 정의하고 주기적인 그래프를 만듭니다.

참고한 공개 자료와 작성 원칙

2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Angles, OpenStax: Trigonometric Key Equations를 성취 범위와 개념 관계 확인에 참고했습니다. 설명 문장, SVG 개념도, 표, 수치 예제, 문제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.