22개정 대수 · Unit 1 · 지수함수와 로그함수
지수의 확장
반복 곱셈으로 시작한 자연수 지수를 0과 음의 정수, 유리수, 실수까지 확장합니다. 각 정의가 기존 지수법칙을 유지하도록 만들어지는 과정을 살펴보고, 법칙을 안전하게 적용하기 위한 밑의 조건을 익힙니다.
1. 학습 목표
- 자연수 지수에서 정수·유리수·실수 지수로 확장되는 이유를 설명할 수 있습니다.
- 0인 지수와 음의 정수 지수의 정의를 지수법칙으로 유도할 수 있습니다.
- 유리수 지수를 거듭제곱근과 연결하고 실수 지수의 의미를 설명할 수 있습니다.
- 실수 지수법칙을 조건에 맞게 적용하여 복잡한 식을 정리할 수 있습니다.
- 지수법칙을 적용할 수 없는 덧셈식과 음수인 밑의 반례를 판별할 수 있습니다.
2. 확장의 원칙
자연수 n에 대한 \(a^n\)은 a를 n번 곱한 값입니다. 하지만 \(a^0\), \(a^{-2}\), \(a^{1/3}\), \(a^{\sqrt2}\)은 반복 곱셈만으로 설명할 수 없습니다. 새로운 지수는 다음 기본 법칙이 계속 성립하도록 정의합니다.
즉, 지수의 확장은 새로운 기호를 임의로 붙이는 과정이 아니라 기존 연산 체계의 일관성을 보존하는 과정입니다.
3. 지수 범위의 단계별 확장
| 지수의 범위 | 핵심 정의 | 밑의 기본 조건 | 새롭게 표현할 수 있는 값 |
|---|---|---|---|
| 자연수 | \(a^n=a\cdot a\cdots a\) | 모든 실수 a | 반복 곱셈 |
| 0 | \(a^0=1\) | \(a\ne0\) | 지수 차가 0인 몫 |
| 음의 정수 | \(a^{-n}=1/a^n\) | \(a\ne0\) | 거듭제곱의 역수 |
| 유리수 | \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) | 전체 체계에서는 \(a>0\) | 거듭제곱근 |
| 실수 | 가까운 유리수 지수값의 연속적인 확장 | \(a>0\) | 무리수 지수까지 포함 |
4. 지수 0의 정의
\(a\ne0\)일 때 같은 수를 자기 자신으로 나누면 1입니다. 한편 몫의 지수법칙을 유지하려면 결과는 \(a^{m-m}=a^0\)이어야 합니다.
따라서 \(a^0=1\)로 정의합니다. \(0^0\)은 이 과정에서는 정의하지 않습니다.
5. 음의 정수 지수의 정의
\(a\ne0\), 자연수 n에 대해 몫의 지수법칙을 유지하면 음의 지수는 역수가 됩니다.
지수가 음수라는 것은 결과가 음수라는 뜻이 아니라 밑의 양의 거듭제곱을 분모로 옮긴다는 뜻입니다.
\(2^3\cdot2^{-5}\) 계산
같은 밑의 곱이므로 지수를 더합니다.
양의 지수만 남기기
\(x,y\ne0\)일 때 분수선을 기준으로 음의 지수를 옮깁니다.
6. 유리수 지수로의 확장
양수 a와 자연수 \(n\ge2\)에 대해 \(a^{1/n}\)을 \(\sqrt[n]{a}\)로 정의합니다. 그러면 정수 m에 대해 다음 표현들이 같은 값을 나타냅니다.
예를 들어 \(16^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8\)입니다. 양수인 밑을 사용하면 \(m/n\)을 약분하거나 다른 동치인 분수로 써도 값이 일관됩니다.
7. 실수 지수로의 확장
무리수 x에 가까워지는 유리수 \(r_1,r_2,r_3,\ldots\)를 잡으면 양수 a에 대한 \(a^{r_1},a^{r_2},a^{r_3},\ldots\)도 하나의 값에 가까워집니다. 그 값을 \(a^x\)로 정의합니다.
이 정의는 지수를 수직선 전체로 채우고, 이후 \(y=a^x\)를 모든 실수 x에서 끊김 없이 다룰 수 있게 합니다. 엄밀한 극한 이론은 미적분에서 더 깊게 학습합니다.
8. 실수 지수법칙 정리
양수 \(a,b\)와 실수 \(x,y\)에 대해 다음 법칙이 성립합니다.
| 법칙 | 식 | 읽는 방법 |
|---|---|---|
| 같은 밑의 곱 | \(a^x a^y=a^{x+y}\) | 지수를 더함 |
| 같은 밑의 몫 | \(a^x/a^y=a^{x-y}\) | 지수를 뺌 |
| 거듭제곱의 거듭제곱 | \((a^x)^y=a^{xy}\) | 지수를 곱함 |
| 곱의 거듭제곱 | \((ab)^x=a^xb^x\) | 각 인수에 분배 |
| 몫의 거듭제곱 | \((a/b)^x=a^x/b^x\) | 분자와 분모에 분배 |
지수법칙은 곱과 몫에 관한 법칙입니다. 덧셈이나 뺄셈에는 일반적으로 지수를 분배할 수 없습니다.
여러 지수법칙을 한 번에 적용
\(a,b>0\)이라고 하겠습니다.
마지막 답에서는 음의 지수를 분모로 옮겨 양의 지수만 남겼습니다.
\((16x^8y^{-4})^{3/4}\) 정리
\(x,y>0\)일 때 각 인수에 지수를 분배합니다.
\(9^{x-1}=27\) 풀기
9와 27을 모두 밑이 3인 거듭제곱으로 나타냅니다. 양수인 같은 밑 3의 거듭제곱값이 같으므로 지수를 비교할 수 있습니다.
이 원리는 뒤의 지수함수에서 ‘일대일 대응’ 성질로 정리됩니다.
한 단위마다 4배가 되는 양의 중간 변화
한 단위 동안 4배가 되는 양이 같은 비율로 변한다고 합시다. 반 단위의 배율을 r이라 하면 두 번 곱해 4가 되어야 합니다.
따라서 사분의 일 단위의 배율은 \(4^{1/4}=\sqrt2\)입니다. 분수 지수는 정수 단계 사이의 일정한 비율 변화를 나타냅니다.
9. 적용 전에 확인할 조건
- 지수가 0 또는 음수이면 밑이 0이 아닌지 확인합니다.
- 유리수·실수 지수법칙을 전체 범위에서 사용할 때는 밑을 양수로 둡니다.
- 문자에 양수 조건이 없으면 짝수차 근과 절댓값을 주의합니다.
- 분모에 문자가 있으면 그 문자가 0이 아닌 조건을 기록합니다.
- 근삿값을 사용했다면 마지막 답에서 정확한 값과 근삿값을 구분합니다.
10. 지수법칙처럼 보이지만 틀린 식
- \((a+b)^x=a^x+b^x\)는 일반적으로 성립하지 않습니다. \((1+1)^2=4\)이지만 \(1^2+1^2=2\)입니다.
- \(a^x+a^y=a^{x+y}\)도 성립하지 않습니다. 같은 밑의 곱에서만 지수를 더합니다.
- 음수인 밑에서는 \((a^x)^y=a^{xy}\)를 무조건 사용할 수 없습니다. 예를 들어 \(((-1)^2)^{1/2}=1\)이지만 \((-1)^{2\cdot(1/2)}=-1\)입니다.
- \(a^{-x}=-a^x\)가 아닙니다. 음의 지수는 \(a^{-x}=1/a^x\)를 뜻합니다.
11. 풀이 점검 순서
- 밑과 지수의 범위를 확인하고 필요한 조건을 적습니다.
- 같은 밑끼리 모으거나 거듭제곱을 먼저 전개합니다.
- 곱에서는 지수를 더하고, 몫에서는 빼고, 거듭제곱에서는 곱합니다.
- 음의 지수를 역수로 바꾸고 가능하면 양의 지수로 정리합니다.
- 간단한 수를 대입하여 원래 식과 정리한 식이 같은지 검산합니다.
12. 다음 강의로 연결
지수를 실수까지 확장하면 \(a^x=b\)에서 지수 x를 직접 나타낼 새로운 연산이 필요해집니다. 다음 강의에서는 이 역연산을 로그로 정의하고 지수법칙에서 로그의 계산 법칙을 이끌어 냅니다.
참고한 공개 자료와 작성 원칙
2022 개정 수학과 교육과정 공개 연구자료, OpenStax: Exponents and Scientific Notation, OpenStax: Exponential Functions를 개념 범위 확인에 참고했습니다. 설명 순서, 표, 반례, 수치 예제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.