22개정 대수 · Unit 1 · 지수함수와 로그함수

지수·로그함수의 그래프

밑의 범위에 따른 증가와 감소를 비교하고 대표점, 절편, 정의역·치역과 점근선을 이용하여 그래프를 그립니다. 역함수 대칭과 평행이동·대칭·확대 및 축소를 식과 그래프에서 함께 추적합니다.

1. 학습 목표

밑이 1보다 큰 경우와 0과 1 사이인 경우의 그래프를 구분할 수 있습니다.
지수함수와 로그함수의 정의역·치역·절편·점근선과 증가·감소를 설명할 수 있습니다.
역함수인 두 그래프가 \(y=x\)에 대해 대칭임을 대표점으로 확인할 수 있습니다.
평행이동, 대칭, 수직 확대·축소를 식에서 읽어 그래프에 반영할 수 있습니다.
변환된 로그함수의 진수 조건과 점근선을 정확하게 구할 수 있습니다.

2. 지수함수의 기본 그래프

성질	\(a>1\)	\(0
함수	\(y=a^x\)	\(y=a^x\)
증가·감소	증가	감소
정의역	\(\mathbb R\)
치역	\((0,\infty)\)
공통점	\((0,1)\)을 지나고 수평점근선은 \(y=0\)

밑이 증가 방향을 결정합니다.두 그래프는 모두 \((0,1)\)을 지나며 x축에 가까워지지만 만나지 않습니다. 또한 \((1/2)^x=2^{-x}\)이므로 두 곡선은 y축에 대해 대칭입니다.

3. 지수함수의 끝 행동

밑	\(x\to\infty\)	\(x\to-\infty\)
\(a>1\)	\(a^x\to\infty\)	\(a^x\to0\)
\(0	\(a^x\to0\)	\(a^x\to\infty\)

\(a^x\)는 항상 양수이므로 x축을 가로지르지 않습니다. \(y=0\)은 그래프가 가까워지는 수평점근선입니다.

4. 로그함수의 기본 그래프

성질	\(a>1\)	\(0
함수	\(y=\log_a x\)	\(y=\log_a x\)
증가·감소	증가	감소
정의역	\((0,\infty)\)
치역	\(\mathbb R\)
공통점	\((1,0)\)을 지나고 수직점근선은 \(x=0\)

역함수는 좌표를 바꿉니다.지수함수의 점 \((0,1),(1,2),(2,4)\)는 로그함수의 점 \((1,0),(2,1),(4,2)\)로 바뀝니다. 두 그래프는 \(y=x\)에 대해 대칭이고 점근선도 \(y=0\)과 \(x=0\)으로 교환됩니다.

5. 지수함수 그래프의 변환

기본형에 수직 배율 A, 수평 방향 계수 B, 평행이동 h와 k를 적용한 형태를 생각할 수 있습니다.

\[y=Aa^{B(x-h)}+k\]

요소	그래프에 미치는 영향
h	오른쪽으로 h만큼 이동
k	위로 k만큼 이동, 수평점근선이 \(y=k\)가 됨
A	\(\|A\|\)배 수직 확대·축소, \(A<0\)이면 x축 대칭
B	수평 배율이 \(1/\|B\|\), \(B<0\)이면 y축 방향 대칭

예제 1 · 지수함수 평행이동

\(y=2^{x-1}+3\)의 그래프 정보

\(y=2^x\)를 오른쪽으로 1, 위로 3만큼 이동합니다.

\[\text{정의역 }\mathbb R,\quad\text{치역 }(3,\infty),\quad\text{점근선 }y=3\]

대표점 \((0,1),(1,2)\)는 \((1,4),(2,5)\)로 이동합니다. y절편은 \(2^{-1}+3=7/2\)이고 x절편은 없습니다.

예제 2 · 대칭과 이동

\(y=-2^{x+1}+4\)의 그래프 정보

표기는 \(y=-(2^{x+1})+4\)를 뜻합니다. 왼쪽으로 1 이동하고 x축에 대칭한 뒤 위로 4 이동합니다.

\[\text{치역 }(-\infty,4),\quad\text{점근선 }y=4\]

y절편은 2이고, \(-2^{x+1}+4=0\)에서 x절편은 \(x=1\)입니다.

6. 로그함수 그래프의 변환

변환된 로그함수에서는 진수의 부호 조건이 정의역과 수직점근선을 결정합니다.

\[y=A\log_a(B(x-h))+k,\qquad B(x-h)>0\]

\(B>0\)이면 정의역은 \(x>h\), \(B<0\)이면 \(x
수직점근선은 진수가 0이 되는 직선 \(x=h\)입니다.
A와 k는 출력에 작용하므로 기본 정의역과 수직점근선 위치를 바꾸지 않습니다.

예제 3 · 로그함수 평행이동

\(y=\log_3(x+2)-1\)

왼쪽으로 2, 아래로 1 이동합니다.

\[x>-2,\qquad\text{점근선 }x=-2,\qquad\text{치역 }\mathbb R\]

\(x+2=3\)일 때 y=0이므로 x절편은 \((1,0)\)입니다.

예제 4 · 진수 계수가 음수

\(y=-\log_2(4-x)+1\)

진수 조건은 \(4-x>0\), 즉 \(x<4\)이고 점근선은 \(x=4\)입니다.

\[x\text{절편 }(2,0),\qquad y\text{절편 }(0,-1)\]

7. 대표점으로 그래프 그리는 절차

밑이 1보다 큰지 0과 1 사이인지 보고 증가·감소를 결정합니다.
기본 지수함수는 \((-1,1/a),(0,1),(1,a)\), 로그함수는 좌표를 바꾼 세 점을 잡습니다.
식의 내부 변화로 수평 이동과 대칭을 적용합니다.
식의 외부 변화로 수직 이동, 확대·축소와 대칭을 적용합니다.
점근선과 정의역·치역을 적고 절편을 직접 계산하여 그래프를 검산합니다.

8. 식과 그래프를 연결하는 빠른 판별

관찰할 특징	지수형 그래프	로그형 그래프
기본 점근선	수평선	수직선
기본 절편	y절편 \((0,1)\)	x절편 \((1,0)\)
기본 정의역	모든 실수	양의 실수
기본 치역	양의 실수	모든 실수
역함수 관계	좌표와 정의역·치역 및 점근선 방향이 서로 교환됨

예제 5 · 그래프의 교점

\(y=2^x\)와 \(y=4\)의 교점

수평선 y=4와 지수함수의 교점은 \(2^x=4\)의 해를 뜻합니다.

\[2^x=2^2\quad\Rightarrow\quad x=2\]

교점은 \((2,4)\)입니다. 같은 정보를 역함수 그래프에서는 \(\log_24=2\), 즉 점 \((4,2)\)로 읽습니다.

9. 자주 틀리는 그래프 해석

점근선을 그래프가 지나는 선으로 그림: 기본 지수·로그함수는 점근선에 한없이 가까워지지만 만나지 않습니다.
내부 이동의 방향을 그대로 읽음: \(x-h\)는 오른쪽 h, \(x+h\)는 왼쪽 h 이동입니다.
로그함수의 진수 조건 누락: 수직점근선만 찾지 말고 진수 부등식으로 정의역의 어느 쪽인지 결정합니다.
음의 계수 위치 혼동: \(-\log_a x\)는 x축 대칭이고 \(\log_a(-x)\)는 y축 대칭입니다.
밑이 1보다 작은 그래프를 증가로 그림: \(a^x\)와 \(\log_a x\)는 모두 감소합니다.
평행이동 뒤 절편을 눈대중으로 판단: x=0 또는 y=0을 식에 대입해 정확히 계산합니다.

개념 점검

① \(y=(1/4)^x\)의 증가·감소, 정의역·치역, 점근선과 두 대표점을 쓰세요.

② \(y=3^{x+2}-5\)의 수평점근선, 치역과 y절편을 구하세요.

③ \(y=-2^{x-1}+1\)의 x절편과 치역을 구하세요.

④ \(y=\log_5(2x-6)+2\)의 정의역과 수직점근선을 구하세요.

⑤ \(y=2^x\)의 점 \((-1,1/2),(3,8)\)에 대응하는 역함수 위의 점을 쓰세요.

풀이와 답 확인

감소함수, 정의역 \(\mathbb R\), 치역 \((0,\infty)\), 점근선 \(y=0\)입니다. 예를 들면 \((0,1),(1,1/4)\)를 지납니다.
점근선은 \(y=-5\), 치역은 \((-5,\infty)\)입니다. y절편은 \(3^2-5=4\)이므로 \((0,4)\)입니다.
\(-2^{x-1}+1=0\)에서 \(x=1\)이므로 x절편은 \((1,0)\), 치역은 \((-\infty,1)\)입니다.
\(2x-6>0\)이므로 정의역은 \(x>3\), 수직점근선은 \(x=3\)입니다.
좌표를 바꾸면 \((1/2,-1),(8,3)\)이고, 두 점은 \(y=\log_2x\) 위에 있습니다.

10. 다음 강의로 연결

그래프의 형태와 변환을 익혔으므로 다음 강의에서는 일정한 비율로 증가·감소하는 자료를 지수함수로 모델링하고, 목표값에 도달하는 입력을 로그로 구합니다.

참고한 공개 자료와 작성 원칙

2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Graphs of Exponential Functions, OpenStax: Graphs of Logarithmic Functions를 개념 범위 확인에 참고했습니다. 그래프 SVG, 설명 문장, 표, 수치 예제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 제작했습니다.