수열과 일반항

순서가 있는 수의 규칙을 일반항과 표로 표현합니다.

대수 · 수열

수열과 일반항

수열을 단순히 숫자가 이어진 목록으로만 보지 않고, 항의 위치를 입력으로 하고 항의 값을 출력으로 하는 함수로 이해합니다. 나열·표·그래프·일반항·귀납적 정의 사이를 오가며 규칙을 정확히 표현합니다.

학습 목표

수열의 항, 첨자, 일반항과 유한·무한수열의 뜻을 설명할 수 있습니다.
일반항에 자연수를 대입하여 특정한 항을 정확히 구할 수 있습니다.
나열, 표, 점그래프, 명시적 공식과 귀납적 정의를 서로 연결할 수 있습니다.
간단한 수열에서 위치와 값의 관계를 찾아 일반항의 후보를 만들고 검산할 수 있습니다.
몇 개의 항만으로 규칙이 유일하게 결정되지 않을 수 있음을 설명할 수 있습니다.

1. 수열은 순서가 있는 함수

수열은 일정한 순서로 나열된 수들의 목록입니다. 더 정확히는 보통 양의 정수 \(1,2,3,\ldots\)를 정의역으로 하는 함수입니다.

\[1\mapsto a_1,quad2\mapsto a_2,quad3\mapsto a_3,quad\ldots,quad n\mapsto a_n\]

\(a_1\): 첫째 항
\(a_n\): 제\(n\)항 또는 일반항
\(n\): 항의 값이 아니라 항의 위치
\(\{a_n\}\): 수열 전체를 나타내는 기호

집합과 달리 수열에서는 순서와 반복이 중요합니다. \(1,2,1,2,\ldots\)와 \(2,1,2,1,\ldots\)는 같은 수들을 사용하지만 서로 다른 수열입니다.

무한수열

끝없이 계속되는 경우

정의역이 모든 양의 정수이면

\[a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots\]

처럼 나타냅니다. 말줄임표는 앞의 몇 항만 보고 아무 규칙이나 추측하라는 뜻이 아니라, 주어진 정의가 계속 적용된다는 뜻입니다.

유한수열

정해진 위치에서 끝나는 경우

정의역이 \(\{1,2,\ldots,m\}\)이면

\[a_1,a_2,\ldots,a_m\]

인 유한수열입니다. 마지막 항의 위치 \(m\)도 정의의 일부입니다.

2. 첨자가 0에서 시작할 수도 있다

상황에 따라 시작 순간을 \(n=0\)으로 두면 \(a_0,a_1,a_2,\ldots\)처럼 나타냅니다. 예를 들어 가입 직후의 점수가 100이고 매일 5씩 늘면

\[a_n=100+5n\qquad(n=0,1,2,\ldots)\]

입니다. 같은 상황을 첫날부터 세면 식이 달라질 수 있으므로, 일반항을 읽기 전에 첫 첨자와 정의역을 확인해야 합니다.

3. 명시적 일반항

제\(n\)항을 \(n\)만으로 바로 계산하는 식을 명시적 일반항이라고 합니다. 앞 항을 모두 구하지 않고도 멀리 떨어진 항을 계산할 수 있습니다.

\[a_n=n^2-3n+4\qquad(n\ge1)\]

예제 1

일반항에서 항을 계산하기

\(a_n=n^2-3n+4\)의 처음 네 항과 \(a_{20}\)을 구해 봅시다.

\(a_1=1-3+4=2\)
\(a_2=4-6+4=2\)
\(a_3=9-9+4=4\), \(a_4=16-12+4=8\)
\(a_{20}=20^2-3(20)+4=344\)

\(a_{20}\)은 \(a_n\)에 \(n=20\)을 대입한 값이며, 아래첨자 자체를 곱하는 기호로 해석하지 않습니다.

4. 같은 수열을 나타내는 여러 표현

표현	예: \(a_n=n^2-1\)	잘 드러나는 정보
나열	\(0,3,8,15,24,\ldots\)	항이 실제로 변하는 모습
순서쌍	\((1,0),(2,3),(3,8),\ldots\)	위치와 값의 대응
표	\(n\)행과 \(a_n\)행	여러 항의 비교
일반항	\(a_n=n^2-1\)	임의의 항을 직접 계산
그래프	점 \((n,a_n)\)	증가·감소와 전체 형태

직접 제작한 점그래프

수열의 그래프는 점을 연결하지 않는다

정의역이 \(1,2,3,\ldots\)처럼 떨어진 값이므로 그래프도 서로 떨어진 점입니다. 점 사이의 \(n=1.5\) 같은 입력은 이 수열의 정의역에 포함되지 않으므로 연속된 곡선으로 연결하지 않습니다.

5. 나열된 항에서 일반항 후보 찾기

위치를 함께 씁니다: \(n=1,2,3,\ldots\) 아래에 항을 맞춰 적습니다.
차와 비를 확인합니다: 일정한 차 또는 일정한 비가 있는지 조사합니다.
익숙한 수를 비교합니다: 자연수, 제곱수, 세제곱수에서 얼마나 이동했는지 봅니다.
부호 패턴을 봅니다: 교대 부호는 보통 \((-1)^n\) 또는 \((-1)^{n-1}\)로 표현합니다.
모든 주어진 항을 검산합니다: 첫 항뿐 아니라 적어도 제시된 항 전체를 확인합니다.

예제 2

제곱수에서 이동한 패턴

\(2,5,10,17,26,\ldots\)을 제곱수와 비교하면

\[1^2+1, 2^2+1, 3^2+1, 4^2+1, 5^2+1\]

이므로 한 가지 일반항은 \(a_n=n^2+1\)입니다.

예제 3

교대 부호 패턴

\(3,-6,9,-12,15,\ldots\)에서 크기는 \(3n\), 첫 항의 부호는 양수입니다.

\[a_n=3n(-1)^{n-1}\]

\(n=1,2\)를 대입해 부호의 시작이 맞는지 먼저 확인합니다.

6. 귀납적 정의

앞의 항을 이용해 다음 항을 정하는 식을 귀납적 정의 또는 재귀식이라고 합니다. 반드시 시작 항과 식이 적용되는 첨자 범위를 함께 써야 합니다.

\[a_1=4,qquad a_n=2a_{n-1}-3\quad(n\ge2)\]

그러면 \(a_2=5\), \(a_3=7\), \(a_4=11\)입니다. 명시적 일반항은 원하는 항을 바로 구하기 좋고, 귀납적 정의는 항이 만들어지는 과정을 표현하기 좋습니다.

표현 비교

같은 수열의 명시적 정의와 귀납적 정의

수열 \(5,8,11,14,\ldots\)은 다음 두 방식으로 나타낼 수 있습니다.

\[\text{명시적: }a_n=3n+2\]

\[\text{귀납적: }a_1=5,quad a_n=a_{n-1}+3\quad(n\ge2)\]

두 식의 모양은 다르지만 모든 위치에서 같은 값을 만들면 같은 수열입니다.

7. 몇 개의 항만으로 규칙은 유일하지 않다

\(1,4,9,16\)을 보면 자연스럽게 \(a_n=n^2\)을 생각할 수 있습니다. 그러나 처음 네 위치에서만 같은 값을 갖고 이후에는 다른 값을 만드는 식도 무수히 많습니다. 예를 들면

\[b_n=n^2+(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)\]

은 \(n=1,2,3,4\)에서 \(n^2\)과 같지만 \(n=5\)부터 다릅니다. 따라서 일반항은 단지 숫자 몇 개를 보고 ‘증명’되는 것이 아니라, 문제에서 제시한 생성 규칙이나 상황을 바탕으로 정해야 합니다.

8. 상황을 수열로 모델링하기

극장의 첫째 줄에 좌석이 18개이고 뒤로 갈수록 줄마다 3개씩 늘어난다면, \(n\)번째 줄의 좌석 수를 \(a_n\)이라고 둘 수 있습니다.

\[a_1=18,qquad a_n=18+3(n-1)\]

여기서 입력 \(n\)은 줄 번호이므로 양의 정수입니다. 식을 실수 전체에서 계산할 수 있더라도 \(n=2.5\)번째 줄은 상황에서 의미가 없습니다.

9. 자주 틀리는 지점

첨자와 값 혼동: \(a_5\)는 \(a\times5\)가 아니라 다섯째 항입니다.
첫 위치 누락: \(n=0\)에서 시작하는지 \(n=1\)에서 시작하는지 확인합니다.
점그래프 연결: 자연수 사이의 입력은 정의되지 않으므로 점을 곡선으로 잇지 않습니다.
재귀식의 시작값 누락: 같은 재귀식도 시작값이 다르면 다른 수열입니다.
교대 부호 오류: \((-1)^n\)과 \((-1)^{n-1}\)의 첫 항을 직접 확인합니다.
성급한 규칙 확정: 제시된 모든 항과 문제의 생성 조건을 함께 확인합니다.

개념 점검

① \(a_n=2n^2-n\)의 처음 네 항과 \(a_{12}\)를 구하세요.

② 수열 \(2,5,10,17,26,\ldots\)의 한 가지 일반항을 구하고 다섯째 항으로 확인하세요.

③ \(-2,4,-6,8,-10,\ldots\)의 일반항을 \((-1)^n\)을 이용해 나타내세요.

④ \(a_1=2\), \(a_n=3a_{n-1}+1\;(n\ge2)\)의 처음 네 항을 구하세요.

⑤ \(a_n=4n-1\)과 같은 수열을 만드는 귀납적 정의를 쓰세요.

⑥ 수열의 그래프에서 점 \((2,a_2)\)와 \((3,a_3)\) 사이를 선분으로 연결하면 안 되는 이유를 설명하세요.

풀이와 답 확인

\(a_1=1,a_2=6,a_3=15,a_4=28\)이고 \(a_{12}=2(144)-12=276\)입니다.
각 항은 \(n^2+1\)이므로 \(a_n=n^2+1\)입니다. \(a_5=25+1=26\)으로 확인됩니다.
크기는 \(2n\)이고 첫 항이 음수이므로 \(a_n=2n(-1)^n\)입니다.
\(a_2=7\), \(a_3=22\), \(a_4=67\)이므로 \(2,7,22,67\)입니다.
\(a_1=3\), \(a_n=a_{n-1}+4\;(n\ge2)\)입니다.
수열의 정의역에는 2와 3 사이의 실수가 포함되지 않아 그 사이의 출력값이 정의되지 않기 때문입니다.

10. 다음 강의로 연결

수열의 위치와 값을 일반항으로 표현하는 방법을 익혔으므로, 다음 강의에서는 이웃한 항의 차가 일정한 등차수열을 살펴보고 일반항과 첫 \(n\)항의 합을 유도합니다.

참고한 공개 자료와 작성 원칙

2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Sequences and Their Notations, OpenStax: Explicit and Recursive Sequences를 성취 범위와 개념 관계 확인에 참고했습니다. 설명 문장, SVG 점그래프, 표, 예제, 문제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.