시그마로 합 표현하기

반복되는 덧셈을 시그마 기호로 바꾸고 합의 성질을 사용합니다.

대수 · 수열

시그마로 합 표현하기

길게 이어지는 덧셈을 그리스 대문자 \(\Sigma\)로 정확하고 간결하게 표현합니다. 시작값·끝값·일반항을 읽고, 합을 전개하거나 압축하고, 선형성과 재첨자화를 이용해 같은 합을 여러 형태로 바꿉니다.

학습 목표

시그마 기호의 첨자, 하한, 상한과 합의 일반항을 설명할 수 있습니다.
시그마로 주어진 합을 전개하고 항의 개수와 값을 구할 수 있습니다.
나열된 합의 규칙을 찾아 적절한 시작값과 끝값으로 압축할 수 있습니다.
상수배·덧셈·뺄셈·구간 분할 등 합의 성질을 사용할 수 있습니다.
첨자를 바꿀 때 하한·상한·일반항을 함께 변환하여 같은 합을 유지할 수 있습니다.

기호 해부

1. \(\Sigma\)의 네 부분

\[\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\]

첨자 \(k\)를 하한 1부터 상한 \(n\)까지 1씩 증가시키며 만든 모든 항을 더한다는 뜻입니다. 하한과 상한은 모두 포함됩니다.

2. 전개 순서와 항의 개수

정수 \(p\le q\)에 대해

\[\sum_{k=p}^{q}f(k)=f(p)+f(p+1)+\cdots+f(q)\]

이며 항의 개수는 끝에서 시작을 빼고 1을 더한

\[q-p+1\]

개입니다. 예를 들어 \(k=3,4,5,6,7\)은 \(7-3+1=5\)개의 값을 포함합니다.

예제 1

시그마를 전개하여 계산하기

\[ \sum_{k=2}^{6}(3k-1) =5+8+11+14+17 =55 \]

하한 2와 상한 6을 확인합니다.
\(k=2,3,4,5,6\)을 차례로 \(3k-1\)에 대입합니다.
5개의 항을 빠짐없이 더합니다.

3. 첨자는 더미 변수

합의 첨자는 항을 세는 동안만 사용하는 이름입니다. 다른 글자로 일관되게 바꾸어도 합은 같습니다.

\[\sum_{k=1}^{n}(2k+1)=\sum_{j=1}^{n}(2j+1)\]

다만 합 바깥에서 이미 다른 뜻으로 사용 중인 문자를 첨자로 다시 쓰면 혼동이 생깁니다. \(n\)이 상한이라면 내부 첨자로는 보통 \(k,i,j\) 등을 사용합니다.

4. 나열된 합을 시그마로 압축하기

위치를 붙입니다: 첫 항을 만들 첨자를 정합니다.
일반항을 찾습니다: 첨자와 각 항의 관계를 식으로 씁니다.
마지막 첨자를 확인합니다: 상한을 일반항에 대입했을 때 실제 마지막 항이 나와야 합니다.
전개해 검산합니다: 처음 두 항과 마지막 항이 원래 합과 같은지 확인합니다.

예제 2

등차형 합 압축하기

\(7+11+15+\cdots+(4n+3)\)은

\[\sum_{k=1}^{n}(4k+3)\]

입니다. \(k=1\)이면 7, \(k=n\)이면 \(4n+3\)입니다.

예제 3

교대 부호 합 압축하기

\(1-3+5-7+\cdots+(-1)^{n-1}(2n-1)\)은

\[\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(2k-1)\]

입니다. 첫 항의 부호를 대입으로 확인합니다.

5. 합의 기본 성질

\(c\)가 첨자와 무관한 상수일 때 다음 성질이 성립합니다.

\[\sum_{k=p}^{q}c=(q-p+1)c\]

\[\sum_{k=p}^{q}ca_k=c\sum_{k=p}^{q}a_k\]

\[\sum_{k=p}^{q}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=p}^{q}a_k\pm\sum_{k=p}^{q}b_k\]

이는 유한한 덧셈의 결합·교환·분배법칙에서 나옵니다. 그러나 일반적으로

\[\sum a_kb_k\ne\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)\]

이므로 곱은 임의로 두 합으로 분리할 수 없습니다.

예제 4

선형성을 이용해 정리하기

\[ \sum_{k=1}^{n}(4a_k-3b_k+2) =4\sum_{k=1}^{n}a_k-3\sum_{k=1}^{n}b_k+2n \]

마지막 상수 2도 \(n\)번 더해지므로 단순히 +2가 아니라 +\(2n\)입니다.

6. 합의 구간 나누기와 합치기

\(p\le m<q\)이면 하나의 합을 연속된 두 구간으로 나눌 수 있습니다.

\[ \sum_{k=p}^{q}a_k =\sum_{k=p}^{m}a_k+\sum_{k=m+1}^{q}a_k \]

두 번째 합을 \(k=m\)에서 시작하면 \(a_m\)이 두 번 들어갑니다. 반대로 구간 사이가 비면 빠지는 항이 생깁니다.

\[\sum_{k=4}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-(a_1+a_2+a_3)\]

7. 첨자 이동

합을 다른 시작 첨자로 바꾸려면 일반항과 양 끝을 모두 함께 바꿉니다. 예를 들어 \(j=k-2\)로 놓으면 \(k=j+2\)이고

\[ \sum_{k=3}^{n}(2k-1) =\sum_{j=1}^{n-2}\{2(j+2)-1\} =\sum_{j=1}^{n-2}(2j+3) \]

왼쪽의 첫 항은 5, 마지막 항은 \(2n-1\)입니다. 오른쪽도 \(j=1\)에서 5, \(j=n-2\)에서 \(2n-1\)을 만들어 같은 합입니다.

예제 5

0에서 시작하는 합을 1에서 시작하게 바꾸기

\[ \sum_{k=0}^{n-1}3\cdot2^k =\sum_{j=1}^{n}3\cdot2^{j-1} \]

\(j=k+1\)로 바꾸었습니다. 두 식 모두 \(3+6+12+\cdots+3\cdot2^{n-1}\)을 나타냅니다.

8. 부분합과 시그마

수열 \(\{a_n\}\)의 첫 \(n\)항의 합은

\[S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\]

로 나타냅니다. 따라서 마지막 항을 하나 추가하거나 제거하면

\[S_n=S_{n-1}+a_n,qquad a_n=S_n-S_{n-1}\]

입니다. 시그마의 상한이 1만큼 변할 때 추가되는 항을 정확히 확인하면 복잡한 합의 차도 쉽게 정리할 수 있습니다.

9. 자주 틀리는 지점

끝점 누락: 하한과 상한은 모두 포함되므로 항은 \(q-p+1\)개입니다.
상수 합 오류: \(\sum_{k=1}^{n}c=nc\)이며 \(c\)가 아닙니다.
마지막 항 불일치: 압축한 식에 상한을 대입해 원래 마지막 항을 검산합니다.
첨자만 변경: 재첨자화에서는 하한·상한·일반항을 모두 변환합니다.
구간 중복: 합을 나눌 때 경계 항이 두 번 포함되지 않도록 합니다.
곱의 잘못된 분리: 합의 선형성은 덧셈과 상수배에 적용되며 일반적인 곱에는 적용되지 않습니다.

개념 점검

① \(\sum_{k=3}^{7}(2k+1)\)을 전개하고 값을 구하세요.

② \(2+5+8+\cdots+(3n-1)\)을 시그마 기호로 나타내세요.

③ \(4-8+12-16+\cdots+4n(-1)^{n-1}\)을 시그마로 나타내세요.

④ \(\sum_{k=1}^{n}(5a_k-2b_k+3)\)을 세 개의 합으로 분리하세요.

⑤ \(\sum_{k=5}^{n}a_k\)를 \(\sum_{k=1}^{n}a_k\)와 처음 네 항으로 나타내세요.

⑥ \(\sum_{k=2}^{n}(k^2+1)\)을 하한이 1인 합으로 재첨자화하세요.

⑦ \(\sum_{k=0}^{5}c\)에는 몇 개의 항이 있으며 합은 얼마인지 쓰세요.

풀이와 답 확인

\(7+9+11+13+15=55\)입니다.
제\(k\)항이 \(3k-1\)이므로 \(\sum_{k=1}^{n}(3k-1)\)입니다.
첫 항이 양수이므로 \(\sum_{k=1}^{n}4k(-1)^{k-1}\)입니다.
\(5\sum_{k=1}^{n}a_k-2\sum_{k=1}^{n}b_k+3n\)입니다.
\(\sum_{k=5}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-(a_1+a_2+a_3+a_4)\)입니다.
\(j=k-1\)로 놓으면 \(\sum_{j=1}^{n-1}\{(j+1)^2+1\}\)입니다.
\(5-0+1=6\)개의 항이고 합은 \(6c\)입니다.

10. 다음 강의로 연결

시그마의 구조와 성질을 익혔으므로, 다음 강의에서는 자연수의 거듭제곱 합, 부분분수와 망원합처럼 일반항의 구조를 이용해 긴 합을 실제로 계산합니다.

참고한 공개 자료와 작성 원칙

2022 개정 대수 성취수준 지원자료, OpenStax: Series and Summation Notation, OpenStax: Properties of Sigma Notation를 기호의 정의와 성질 확인에 참고했습니다. 설명 문장, SVG 기호도, 표, 수치 예제, 문제와 풀이 과정은 이 사이트를 위해 독립적으로 작성했습니다.