22개정 · 함수의 극한과 연속
함수의 극한
극한은 한 점에서의 함수값만 보는 개념이 아니라, 입력값이 그 점에 가까워질 때 주변의 함수값이 어떤 하나의 값으로 모이는지를 설명하는 도구입니다. 표·그래프·식에서 같은 흐름을 읽고 좌우의 접근 결과를 비교해 봅시다.
학습 목표
- \(\lim_{x\to a}f(x)=L\)의 각 기호를 정확히 읽고 의미를 설명할 수 있습니다.
- 표와 그래프에서 좌극한과 우극한을 각각 판단할 수 있습니다.
- 함수값 \(f(a)\)와 극한값을 구분하고, 극한이 존재하지 않는 이유를 말할 수 있습니다.
- 무한히 커지거나 작아지는 함수의 움직임을 극한 기호로 나타낼 수 있습니다.
1. 극한이 묻는 것
입력값 \(x\)가 \(a\)와 같아지는 순간만 보는 것이 아니라, \(a\)의 왼쪽과 오른쪽에서 한없이 가까워질 때 \(f(x)\)가 어떤 값 \(L\)에 가까워지는지를 관찰합니다.
“\(x\)가 \(a\)로 갈 때 \(f(x)\)의 극한은 \(L\)이다”라고 읽습니다. 여기서 \(x=a\)를 반드시 대입해야 한다는 뜻은 아닙니다.
2. 기호를 정확히 읽기
- \(x\to a\): 입력값이 \(a\)의 주변으로 가까워집니다.
- \(f(x)\to L\): 그때 출력값이 \(L\)의 주변으로 가까워집니다.
- \(x\ne a\)여도 됨: 극한은 목표점에서의 값보다 목표점 주변의 경향을 봅니다.
- 하나의 값: 유한한 극한이 존재하려면 양쪽의 함수값이 같은 실수로 모여야 합니다.
3. 표에서 극한 추정하기
함수 \(g(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x-2}\;(x\ne2)\)에서 \(x\)를 2의 양쪽에서 접근시켜 봅시다.
| 접근 방향 | \(x\) | \(g(x)\) |
|---|---|---|
| 왼쪽 \(x<2\) | 1.9 | 2.9 |
| 1.99 | 2.99 | |
| 1.999 | 2.999 | |
| 오른쪽 \(x>2\) | 2.1 | 3.1 |
| 2.01 | 3.01 | |
| 2.001 | 3.001 |
양쪽 출력이 모두 3에 가까워지므로 \(\lim_{x\to2}g(x)=3\)으로 추정할 수 있습니다. 표는 강한 근거를 주지만, 몇 개의 값만으로는 정확한 증명이 되지 않으므로 식의 성질이나 그래프와 함께 확인합니다.
4. 좌극한과 우극한
\(a\)보다 작은 값만으로 접근하면 좌극한, 큰 값만으로 접근하면 우극한입니다.
양쪽 극한은 다음 조건을 동시에 만족할 때에만 하나의 극한이 됩니다.
위첨자 \(-\)와 \(+\)는 함수값의 부호가 아니라 접근 방향을 나타냅니다.
5. 함수값과 극한값 구분하기
| 상황 | 가능한가? | 해석 |
|---|---|---|
| 극한 존재, \(f(a)\) 미정의 | 가능 | 그래프에 구멍이 있어도 양쪽이 같은 높이로 접근할 수 있습니다. |
| 극한 존재, \(f(a)\ne L\) | 가능 | 목표점의 닫힌 점과 주변 곡선의 접근 높이가 다를 수 있습니다. |
| \(f(a)\) 정의, 극한 미존재 | 가능 | 한 점의 함수값은 있어도 좌우의 접근값이 다를 수 있습니다. |
| 극한 존재, \(f(a)=L\) | 가능 | 이 관계는 다음 강의에서 한 점에서의 연속을 정의할 때 사용합니다. |
6. 그래프를 읽는 순서
- 목표 입력값 \(x=a\)를 세로로 표시합니다.
- 왼쪽 곡선을 따라가며 가까워지는 높이를 읽습니다.
- 오른쪽 곡선을 따라가며 가까워지는 높이를 읽습니다.
- 두 높이가 같으면 그 값을 극한값으로, 다르면 극한이 존재하지 않는다고 판단합니다.
열린 점은 그 좌표에서 함수가 정의되지 않았음을 나타낼 수 있지만, 주변 곡선이 향하는 높이는 여전히 극한값이 될 수 있습니다. 극한을 읽은 뒤에만 닫힌 점으로 \(f(a)\)를 따로 확인하세요.
7. 극한이 존재하지 않는 대표 상황
- 점프: 좌극한과 우극한이 서로 다른 유한한 값입니다.
- 서로 다른 무한 방향: 한쪽은 \(+\infty\), 다른 쪽은 \(-\infty\)로 향합니다.
- 무한 진동: 목표점에 가까워져도 출력이 한 값으로 모이지 않고 계속 흔들립니다.
- 한쪽 경향 없음: 좌우 중 어느 한쪽이라도 일정한 값이나 일정한 무한 방향으로 접근하지 않습니다.
“그래프가 끊어져 보인다”만으로 결론 내리지 말고, 어느 쪽 접근이 어떤 조건을 실패했는지 말하는 습관이 중요합니다.
8. 무한히 커지는 움직임
함수값이 제한 없이 커지는 경향은 \(+\infty\), 제한 없이 작아지는 경향은 \(-\infty\)로 나타냅니다.
여기서 \(\infty\)는 도달하는 실수값이 아니라 함수의 크기와 방향을 설명하는 기호입니다. 따라서 유한한 극한값이 존재한다는 말과 구분해야 합니다.
9. 예제 1 — 구멍과 다른 함수값
문제: 어떤 함수의 그래프에서 \(x=2\)의 양쪽 곡선이 \(y=3\)의 열린 점으로 모이고, 닫힌 점은 \((2,1)\)에 있습니다. \(\lim_{x\to2}f(x)\)와 \(f(2)\)를 구하세요.
풀이: 왼쪽과 오른쪽에서 모두 3으로 접근하므로 좌극한과 우극한은 각각 3입니다. 닫힌 점은 실제 함수값을 나타내므로 \(f(2)=1\)입니다.
답: \(\lim_{x\to2}f(x)=3\), \(f(2)=1\)
10. 예제 2 — 조각함수의 점프
문제: \(h(x)=\begin{cases}2x-1,&x<1\\x+2,&x\ge1\end{cases}\)일 때 \(x=1\)에서 극한의 존재 여부를 판단하세요.
풀이: 왼쪽 식에서 \(x\)가 1에 가까워지면 \(2(1)-1=1\)로 접근합니다. 오른쪽 식에서는 \(1+2=3\)으로 접근합니다.
답: 좌극한과 우극한이 다르므로 \(\lim_{x\to1}h(x)\)는 존재하지 않습니다. \(h(1)=3\)이라는 사실만으로 극한이 정해지지는 않습니다.
11. 자주 하는 실수
- \(f(a)\)를 먼저 읽고 그것을 곧바로 극한값이라고 판단합니다.
- 좌극한만 확인하고 양쪽 극한이 존재한다고 결론 냅니다.
- \(a^-\)를 음수, \(a^+\)를 양수라고 해석합니다.
- \(+\infty\)를 함수가 실제로 갖는 하나의 실수값처럼 취급합니다.
- 표의 한두 값만 보고 정확한 극한을 단정합니다.
12. 핵심 정리
- 극한은 목표점 주변에서의 출력 경향을 나타냅니다.
- 양쪽 극한이 존재하고 같아야 유한한 양쪽 극한이 존재합니다.
- 함수값과 극한값은 서로 독립적으로 먼저 판단한 뒤 비교합니다.
- 그래프, 표, 식은 같은 극한 현상을 보여 주는 서로 다른 표현입니다.
\(\lim_{x\to 3^-}p(x)=4\), \(\lim_{x\to 3^+}p(x)=4\), \(p(3)=-2\)일 때 양쪽 극한과 함수값을 각각 쓰고, 극한이 존재하는 이유를 설명하세요.
풀이와 답 확인
좌극한과 우극한이 같은 실수 4이므로 양쪽 극한이 존재하고 그 값은 4입니다. 목표점의 함수값은 주변의 접근값과 별개이므로 \(p(3)=-2\)입니다.
답: \(\lim_{x\to3}p(x)=4\), \(p(3)=-2\)