평균값 정리
구간의 평균변화율과 같은 순간변화율이 존재하는 조건을 이해합니다.
학습 목표
- 평균값 정리의 가정과 결론을 구분해 말할 수 있습니다.
- 구간의 평균변화율을 구하고 이를 도함수와 같게 놓아 \(c\)를 찾을 수 있습니다.
- 롤의 정리를 평균값 정리의 특별한 경우로 이해할 수 있습니다.
- 가정이 빠진 반례를 통해 정리를 적용할 수 없는 상황을 판별할 수 있습니다.
- 정리가 ‘존재’를 보장할 뿐 ‘유일성’을 보장하지 않는다는 점을 설명할 수 있습니다.
\(f(x)=x^2\)의 \([1,3]\)에서 할선의 기울기와 \(c=2\)에서 접선의 기울기는 모두 4입니다.
1. 평균값 정리가 답하는 질문
함수가 입력 \(a\)에서 \(b\)까지 변할 때 전체 구간의 평균변화율은 두 끝점만으로 계산합니다.
\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
평균값 정리는 그래프가 충분히 매끄럽다면 이 평균변화율과 정확히 같은 순간변화율 \(f'(c)\)가 구간 내부에서 적어도 한 번 나타난다고 말합니다. 끝점의 정보와 구간 안 접선의 정보를 연결하는 정리입니다.
2. 반드시 확인할 두 조건
| 조건 | 확인할 구간 | 의미 |
|---|
| 연속 | 닫힌구간 \([a,b]\) | 끝점을 포함해 그래프가 끊어지지 않습니다. |
| 미분가능 | 열린구간 \((a,b)\) | 구간 내부에 모서리, 뾰족점, 수직접선처럼 도함수가 존재하지 않는 점이 없습니다. |
끝점 \(a,b\)에서는 미분가능성을 요구하지 않습니다. 다만 함수값 \(f(a),f(b)\)를 사용하므로 닫힌구간 전체에서 연속이어야 합니다.
3. 정리의 결론
\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분가능하면 다음을 만족하는 \(c\in(a,b)\)가 적어도 하나 존재합니다.
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
여기서 \(c\)는 반드시 열린구간 안에 있어야 합니다. 정리는 \(c\)의 정확한 개수나 위치를 알려 주지 않으며, 존재만 보장합니다.
4. 기하적 의미와 풀이 순서
두 점 \((a,f(a))\), \((b,f(b))\)를 잇는 할선의 기울기가 평균변화율입니다. 결론은 그 할선과 평행한 접선이 구간 내부에 적어도 하나 있다는 뜻입니다.
- \([a,b]\)에서 연속, \((a,b)\)에서 미분가능한지 확인합니다.
- \(\displaystyle m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)를 계산합니다.
- 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 \(f'(c)=m\)을 풉니다.
- 구한 값 가운데 \(a<c<b\)인 것만 답으로 남깁니다.
5. 롤의 정리: 평균변화율이 0인 특별한 경우
\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \((a,b)\)에서 미분가능하며 \(f(a)=f(b)\)이면, 어떤 \(c\in(a,b)\)에서 \(f'(c)=0\)입니다.
\(\displaystyle f(a)=f(b)\quad\Longrightarrow\quad \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\quad\Longrightarrow\quad f'(c)=0\)
즉, 같은 높이의 두 끝점을 잇는 할선은 수평이고, 그와 평행한 수평접선이 내부에 존재합니다.
6. 예제: 롤의 정리 적용
\(f(x)=x^2-4x+3\)을 \([1,3]\)에서 살펴봅시다. 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이고 미분가능하며, \(f(1)=f(3)=0\)입니다.
\(\displaystyle f'(x)=2x-4,\qquad f'(c)=0\)
\(2c-4=0\)에서 \(c=2\)이고 \(2\in(1,3)\)입니다. 따라서 \(x=2\)에서 수평접선이 존재합니다.
7. 예제: \(f(x)=x^2\)에서 \(c\) 찾기
다항함수 \(f(x)=x^2\)는 \([1,3]\)에서 평균값 정리의 조건을 만족합니다.
\(\displaystyle \frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4\)
\(f'(x)=2x\)이므로 \(2c=4\), 따라서 \(c=2\)입니다. 그래프에서 \(c=2\)의 접선과 두 끝점을 잇는 할선이 평행한 것도 확인할 수 있습니다.
8. \(c\)는 하나가 아닐 수도 있습니다
\(f(x)=x^3-3x\)를 \([-2,2]\)에서 생각하면 평균변화율은
\(\displaystyle \frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\frac{2-(-2)}{4}=1\)
이고 \(f'(x)=3x^2-3\)입니다. \(3c^2-3=1\)을 풀면
\(\displaystyle c=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\)
두 값 모두 \((-2,2)\)에 들어갑니다. 평균값 정리의 “적어도 하나”를 “정확히 하나”로 읽으면 안 됩니다.
9. 조건이 빠지면 결론이 실패할 수 있습니다
\(f(x)=|x|\)는 \([-1,1]\)에서 연속이고 평균변화율은 0이지만, \(x=0\)에서 미분가능하지 않습니다. \(x<0\)에서는 \(f'(x)=-1\), \(x>0\)에서는 \(f'(x)=1\)이므로 내부 어디에도 \(f'(c)=0\)인 점이 없습니다.
또한 구간 내부에서 함수가 끊어지면 할선의 기울기와 같은 접선이 존재한다고 보장할 수 없습니다. 조건은 단순한 형식이 아니라 결론을 지탱하는 핵심 가정입니다.
10. 증명의 핵심 아이디어
평균값 정리를 롤의 정리로 바꾸기 위해 원래 함수에서 두 끝점을 잇는 직선을 뺍니다. 할선의 기울기를 \(m\)이라 하고
\(\displaystyle m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},\qquad L(x)=f(a)+m(x-a)\)
로 둔 뒤 \(g(x)=f(x)-L(x)\)를 정의합니다. 그러면 \(g(a)=g(b)=0\)이므로 롤의 정리에 따라 어떤 \(c\in(a,b)\)에서 \(g'(c)=0\)입니다.
\(\displaystyle 0=g'(c)=f'(c)-m\quad\Longrightarrow\quad f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
즉, 기울어진 할선을 빼 그래프의 두 끝을 같은 높이로 만든 뒤 롤의 정리를 적용하는 것이 핵심입니다.
11. 비슷한 정리와 구별하기
| 정리 | 주요 가정 | 보장하는 결론 |
|---|
| 중간값 정리 | \([a,b]\)에서 연속 | \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 함수값을 가집니다. |
| 최대·최소 정리 | \([a,b]\)에서 연속 | 닫힌구간에서 최댓값과 최솟값을 가집니다. |
| 평균값 정리 | \([a,b]\)에서 연속, \((a,b)\)에서 미분가능 | 평균변화율과 같은 도함숫값을 가집니다. |
12. 중요한 결과: 도함수가 0이면 상수함수
한 구간의 모든 \(x\)에서 \(f'(x)=0\)이라고 합시다. 구간 안의 임의의 두 점 \(x_1<x_2\)에 평균값 정리를 적용하면 어떤 \(c\in(x_1,x_2)\)에 대해
\(\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)=0\)
이므로 \(f(x_2)=f(x_1)\)입니다. 두 점을 임의로 골랐으므로 \(f\)는 그 구간에서 상수함수입니다.
13. 도함수의 범위로 함수값의 변화를 추정하기
\((a,b)\)에서 \(|f'(x)|\le M\)이고 평균값 정리의 조건을 만족하면 어떤 \(c\)에 대해 \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\)입니다. 따라서
\(\displaystyle |f(b)-f(a)|\le M|b-a|\)
순간변화율의 크기가 항상 \(M\) 이하라면 전체 변화량도 “최대 변화율 × 입력의 변화량”을 넘지 못한다는 뜻입니다.
14. 움직임에 적용하기
위치 \(s(t)\)가 시간 구간 \([t_1,t_2]\)에서 연속이고 내부에서 미분가능하면 평균속도와 같은 순간속도가 적어도 한 번 존재합니다.
\(\displaystyle s'(c)=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}\)
예를 들어 2시간 동안 순변위가 120 km라면 평균속도는 60 km/h이고, 어느 한 순간의 순간속도가 60 km/h입니다. 단, 이동거리와 순변위는 다른 양이므로 방향이 바뀌는 운동에서는 구별해야 합니다.
15. 자주 하는 실수와 핵심 정리
- 조건을 확인하지 않고 곧바로 \(f'(c)\) 방정식부터 풉니다.
- 연속 구간 \([a,b]\)와 미분가능 구간 \((a,b)\)를 서로 바꿉니다.
- 평균변화율의 분모를 \(f(b)-f(a)\)로 쓰거나 부호를 뒤집습니다.
- 방정식의 모든 해를 답으로 쓰고 \(c\in(a,b)\)인지 확인하지 않습니다.
- 정리가 \(c\)의 존재만 보장한다는 사실을 잊고 유일하다고 단정합니다.
핵심: 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능하면, 할선과 평행한 접선이 구간 내부에 적어도 하나 존재합니다.