22개정 · 적분
속도와 거리의 적분
속도의 정적분은 위치의 변화량입니다. 실제 움직인 거리는 방향이 바뀐 구간을 나누어 빠르기를 누적해야 하므로 두 값을 구분해야 합니다.
1. 위치의 변화량
시각 \(a\)부터 \(b\)까지 위치의 변화량은 속도의 정적분입니다.
\[s(b)-s(a)=\int_a^b v(t)dt\]
2. 위치 복원
초기 위치 \(s(a)\)를 알면 \(s(t)=s(a)+\int_a^t v(u)du\)로 위치를 구할 수 있습니다.
3. 움직인 거리
총거리는 \(\int_a^b |v(t)|dt\)입니다. 먼저 \(v(t)=0\)인 시각을 찾아 속도의 부호가 바뀌는 구간을 나눕니다.
4. 단위와 해석
속도의 단위가 m/s이고 시간을 초로 적분하면 결과 단위는 m입니다. 음의 변화량은 음의 방향으로 순이동했다는 뜻이지 거리가 음수라는 뜻이 아닙니다.
Checkpoint
\(0\le t\le3\)에서 \(v(t)=2t-2\)일 때 위치의 변화량과 움직인 거리를 각각 구하세요.