다항함수의 미분법

1. 상수함수의 미분

상수함수 \(f(x)=c\)는 입력이 변해도 출력이 변하지 않으므로 모든 점에서 기울기가 0입니다.

첫 원리에서도 \(f(x+h)-f(x)=c-c=0\)이므로 차분몫과 그 극한이 모두 0입니다. 그래프는 수평선입니다.

2. 거듭제곱의 미분법

\(n\)이 양의 정수일 때 다음 법칙이 성립합니다.

지수 \(n\)을 앞으로 내려 기존 계수에 곱하고, 지수는 1 줄입니다.

3. 거듭제곱 법칙의 근거

첫 원리에 \(f(x)=x^n\)을 넣고 이항전개를 사용합니다.

여기서 \(R(x,h)\)는 나머지 항들을 묶은 다항식입니다. 따라서

즉, \(h\)가 한 번 포함된 항만 극한에서 남고 \(h^2\) 이상을 포함한 항은 약분 후에도 \(h\)가 남아 0으로 갑니다.

4. 상수배의 미분법

\(k\)가 상수이고 \(f\)가 미분가능하면 상수는 미분 기호 밖에 그대로 남습니다.

따라서 단항식 \(ax^n\)은 다음처럼 미분합니다.

예를 들어 \(\dfrac{d}{dx}(-4x^5)=-20x^4\)입니다.

5. 합과 차의 미분법

미분은 합과 차에 대해 항별로 적용할 수 있습니다.

이를 상수배 법칙과 합치면 다항식의 각 항을 서로 독립적으로 미분할 수 있습니다. 빼기 기호도 해당 항의 계수에 포함하여 유지합니다.

6. 기본 다항함수 예제

문제: \(f(x)=5x^6-3x^4+2x-7\)을 미분하세요.

답: \(f'(x)=30x^5-12x^3+2\)

7. 빠진 차수가 있는 경우

\(p(x)=4x^5-2x^2+9\)에는 \(x^4\), \(x^3\), \(x\)항이 없습니다. 없는 항을 새로 만들 필요 없이 보이는 항만 미분합니다.

상수항 9는 사라집니다. 답을 원래 다항식과 나란히 놓고 각 비상수항이 하나씩 대응하는지 확인하면 누락을 줄일 수 있습니다.

8. 먼저 전개하면 쉬운 다항식

문제: \(q(x)=(x-2)(x^2+2x+3)\)을 미분하세요.

현재 범위에서는 먼저 곱을 전개해 하나의 다항식으로 만듭니다.

전략: 여러 다항식의 곱도 전개할 수 있다면, 전개·동류항 정리 후 항별 미분이 가장 직접적입니다.

9. 나눗셈을 먼저 정리하는 경우

문제: \(r(x)=\dfrac{6x^5-9x^3+3x}{3}\)을 미분하세요.

분모가 상수이므로 각 항을 먼저 나눕니다.

분모에 \(x\)가 포함된 유리함수는 다항함수가 아닐 수 있으므로, 약분 후 실제로 다항식이 되는지 먼저 확인합니다.

10. 특정 점에서의 미분계수

먼저 도함수 \(f'(x)\)를 구한 뒤 요구한 입력을 대입합니다.

예: \(f(x)=2x^4-x^3+5x-1\)에서 \(f'(2)\)를 구하면

답: \(f'(2)=57\). \(f(2)\)와 혼동하지 않도록 먼저 도함수 기호를 확인합니다.

11. 일반적인 다항함수 공식

\(n\)차 다항함수

의 도함수는

입니다. \(n\ge1\)이고 최고차항의 계수 \(a_n\ne0\)이면 \(P'\)의 차수는 \(n-1\)입니다.

12. 고계도함수

도함수를 다시 미분한 함수를 이계도함수라고 하고, 계속 반복할 수 있습니다.

\(f(x)=2x^4-3x^2+x\)라면

4차 다항식을 네 번 미분하면 상수가 되고, 한 번 더 미분하면 0이 됩니다.

13. 결과를 검산하는 방법

14. 자주 하는 실수

• \(\dfrac{d}{dx}x^n=x^{n-1}\)처럼 지수를 계수로 곱하지 않습니다.
• 지수만 앞으로 내리고 원래 계수를 잊습니다.
• 상수항을 그대로 답에 남깁니다.
• 일차항 \(ax\)의 미분을 0 또는 \(ax\)라고 씁니다. 정확한 값은 \(a\)입니다.
• 괄호를 전개할 때 동류항이나 음수 부호를 잘못 정리합니다.
• \((fg)'=f'g'\)라고 잘못 적용합니다. 현재 다항식은 전개한 뒤 항별로 미분합니다.
• \(f'(a)\)를 구하면서 \(a\)를 원래 함수에 대입합니다.

15. 핵심 정리

• 상수의 미분은 0이고, \(x^n\)의 미분은 \(nx^{n-1}\)입니다.
• 상수배는 그대로 유지하며 합과 차는 항별로 미분합니다.
• 다항식은 전개와 동류항 정리 후 각 항에 거듭제곱 법칙을 적용합니다.
• 비상수 \(n\)차 다항함수를 미분하면 차수는 \(n-1\)이 됩니다.
• 특정 점의 미분계수는 도함수를 구한 뒤 그 점의 입력을 대입합니다.