22개정 · 적분
정적분과 넓이
넓이 문제의 핵심은 계산보다 먼저 어디에서 구간을 나누고 무엇에서 무엇을 뺄지 결정하는 것입니다. \(x\)축과의 넓이는 함수의 부호를, 두 곡선 사이의 넓이는 어느 함수가 위에 있는지를 확인합니다.
학습 목표
- 정적분의 값과 실제 도형의 넓이를 구분할 수 있습니다.
- 함수의 영점을 찾아 \(x\)축과 둘러싸인 넓이를 구할 수 있습니다.
- 두 곡선의 교점과 위아래 관계를 확인하여 적절한 정적분을 세울 수 있습니다.
- 함수의 부호나 순서가 바뀌는 지점에서 구간을 나누어 넓이를 계산할 수 있습니다.
1. 핵심 구분 — 정적분의 값과 넓이
\(\int_a^b f(x)\,dx\)는 \(x\)축 위 부분을 양수, 아래 부분을 음수로 센 부호 있는 누적값입니다. 반면 도형의 넓이는 음수가 될 수 없습니다.
구간 전체에서 \(f(x)\ge0\)이면 절댓값을 벗겨 \(\int_a^b f(x)\,dx\)로 계산할 수 있습니다. \(f(x)\le0\)이면 \(-\int_a^b f(x)\,dx\)입니다.
2. 넓이 문제의 공통 절차
- 경계 확인: 주어진 구간, 영점 또는 두 곡선의 교점을 찾습니다.
- 관계 판정: 각 구간에서 함수의 부호 또는 두 함수의 위아래 순서를 확인합니다.
- 식 세우기: \(x\)축과의 넓이는 절댓값, 두 곡선 사이는 ‘위쪽 함수−아래쪽 함수’로 씁니다.
- 구간 분할: 부호나 위아래 순서가 바뀌면 그 점에서 적분을 나눕니다.
- 계산과 점검: 정적분을 계산하고 결과가 0 이상인지 확인합니다.
3. 곡선과 \(x\)축 사이의 넓이
| 구간에서의 함수 부호 | 넓이 |
|---|---|
| \(f(x)\ge0\) | \(\displaystyle A=\int_a^b f(x)\,dx\) |
| \(f(x)\le0\) | \(\displaystyle A=-\int_a^b f(x)\,dx\) |
| 부호가 바뀜 | 영점에서 구간을 나누어 각 부분을 양수로 더함 |
함수의 부호가 확실하지 않으면 먼저 \(f(x)=0\)을 풀고, 영점 사이에서 시험값을 대입하거나 그래프의 위치를 확인합니다.
4. 절댓값 적분을 실제 계산식으로 바꾸기
\(f(x)\)가 \(x=c\)에서 부호를 바꾸고, \([a,c]\)에서 음수, \([c,b]\)에서 양수라면 다음과 같이 나눕니다.
절댓값 기호를 그대로 둔 채 다항함수처럼 원시함수를 구하면 안 됩니다. 먼저 부호에 맞게 절댓값을 제거해야 합니다.
5. 두 곡선 사이 — 위쪽에서 아래쪽 빼기
\([a,b]\)에서 \(f(x)\ge g(x)\)이면 세로로 자른 작은 조각의 높이는 \(f(x)-g(x)\)입니다.
함수 이름이나 식의 차수가 아니라 실제 그래프의 높이를 비교해야 합니다.
6. 그래프로 보는 ‘위쪽−아래쪽’
7. 교점과 위아래 관계 확인하기
두 곡선이 둘러싸는 영역의 좌우 경계는 보통 \(f(x)=g(x)\)의 해입니다. 교점을 찾은 뒤 차 \(f(x)-g(x)\)의 부호를 조사하면 어느 함수가 위인지 알 수 있습니다.
교점이 세 개 이상이거나 주어진 구간 안에서 순서가 바뀌면 각 교점에서 적분을 나눕니다.
8. 완전한 예제 1 — 곡선이 \(x\)축 위에 있을 때
문제: \(0\le x\le2\)에서 \(y=2x-x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 넓이를 구하세요.
부호 확인: \(2x-x^2=x(2-x)\ge0\)이므로 정적분이 그대로 넓이입니다.
답: \(\boxed{\frac43}\)
9. 완전한 예제 2 — \(x\)축을 가로지를 때
문제: \(0\le x\le3\)에서 \(y=x-1\)과 \(x\)축 사이의 넓이를 구하세요.
경계 확인: \(x-1=0\)의 해는 \(x=1\)입니다. \([0,1]\)에서는 함수가 음수이고 \([1,3]\)에서는 양수입니다.
답: \(\boxed{\frac52}\)
\(\int_0^3(x-1)\,dx=\frac32\)는 부호 있는 누적값이므로 실제 넓이 \(\frac52\)와 다릅니다.
10. 완전한 예제 3 — 두 곡선이 둘러싼 영역
문제: \(y=2x\)와 \(y=x^2\)으로 둘러싸인 넓이를 구하세요.
1단계: \(2x=x^2\)에서 \(x=0,2\)를 얻습니다.
2단계: \(0<x<2\)에서 \(2x-x^2=x(2-x)>0\)이므로 직선이 위쪽입니다.
답: \(\boxed{\frac43}\)
11. 완전한 예제 4 — 위아래가 바뀌는 두 곡선
문제: \(0\le x\le2\)에서 \(y=x\)와 \(y=x^2\) 사이의 넓이를 구하세요.
교점: \(x=x^2\)에서 \(x=0,1\)입니다. 주어진 오른쪽 경계 \(x=2\)까지 살펴보면 \(x=1\)에서 위아래가 바뀝니다.
답: \(\boxed{1}\)
12. 식을 세운 뒤 빠르게 점검하기
| 점검 질문 | 확인할 내용 |
|---|---|
| 경계가 맞는가? | 주어진 구간과 교점이 적분의 상하한에 반영되었는지 확인합니다. |
| 높이가 음수가 아닌가? | 각 구간에서 ‘위−아래’가 0 이상인지 시험값으로 확인합니다. |
| 순서가 바뀌는가? | 영점이나 교점에서 부호가 실제로 변하는지 확인합니다. |
| 답이 넓이인가? | 최종값이 음수라면 식의 순서나 부호 처리를 다시 봅니다. |
| 단위가 맞는가? | 좌표의 단위가 길이라면 넓이 단위는 제곱 단위입니다. |
13. 자주 하는 실수
- 정적분 값을 그대로 넓이로 사용: \(x\)축 아래 부분이 있으면 음의 누적을 양의 넓이로 바꾸어야 합니다.
- 교점을 찾지 않음: 두 곡선이 둘러싼 영역의 경계는 먼저 연립방정식으로 구합니다.
- 아래쪽에서 위쪽을 뺌: 세로 조각의 높이는 항상 ‘위쪽−아래쪽’입니다.
- 한 번에 적분: 함수의 부호나 위아래 순서가 바뀌면 구간을 나눕니다.
- 절댓값을 다항식처럼 적분: 절댓값 내부의 부호를 조사한 뒤 구간별 식으로 바꿉니다.
- 그림만 보고 순서를 단정: 교점 사이의 시험값으로 대수적으로 확인합니다.
14. 핵심 정리
- 넓이는 항상 0 이상이며, 정적분의 부호 있는 값과 구별해야 합니다.
- \(x\)축과의 넓이는 \(\int |f(x)|\,dx\)로 표현하고 영점에서 구간을 나눕니다.
- 두 곡선 사이에서는 교점을 찾고 각 구간에서 ‘위쪽 함수−아래쪽 함수’를 적분합니다.
- 부호나 위아래 순서가 바뀌면 하나의 정적분으로 처리하지 않습니다.
- 정답이 음수라면 넓이 식의 부호와 함수 순서를 다시 확인합니다.
- \(-1\le x\le2\)에서 \(y=x^2-1\)과 \(x\)축 사이의 넓이를 구하세요.
- \(y=3x\)와 \(y=x^2\)으로 둘러싸인 넓이를 구하세요.
- \(-1\le x\le2\)에서 \(y=x\)와 \(y=x^2\) 사이의 넓이를 구하세요.
- \(\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx<0\)이 나왔을 때 실제 넓이를 구하려면 무엇을 확인해야 하는지 설명하세요.
풀이와 답 확인
- 영점은 \(-1,1\)입니다. \([-1,1]\)에서는 \(x^2-1\le0\), \([1,2]\)에서는 \(x^2-1\ge0\)이므로 \(A=-\int_{-1}^1(x^2-1)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx=\frac43+\frac43=\frac83\)입니다.
- 교점은 \(x=0,3\)이고 그 사이에서 \(3x\ge x^2\)입니다. \(A=\int_0^3(3x-x^2)\,dx=\frac92\)입니다.
- 교점은 \(x=0,1\)이고 구간별 위쪽 함수가 바뀝니다. \(A=\int_{-1}^0(x^2-x)\,dx+\int_0^1(x-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-x)\,dx=\frac56+\frac16+\frac56=\frac{11}{6}\)입니다.
- 각 구간에서 \(f\)와 \(g\) 중 어느 함수가 위에 있는지 확인합니다. 순서가 전체에서 반대라면 \(g-f\)로 바꾸고, 중간에 순서가 바뀐다면 교점에서 구간을 나눕니다.