22개정 · 적분
정적분과 넓이
정적분은 부호 있는 넓이이고, 도형의 넓이는 항상 0 이상입니다. 따라서 함수의 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 나누는 과정이 중요합니다.
1. 곡선과 x축 사이
\(f(x)\ge0\)인 구간에서는 넓이가 \(\int_a^b f(x)dx\)이고, \(f(x)\le0\)이면 부호를 바꾸어 계산합니다.
2. 절댓값 표현
함수가 x축을 가로지르면 영점에서 구간을 나누거나 \(\int_a^b |f(x)|dx\)로 나타냅니다.
3. 두 곡선 사이
구간에서 위쪽 함수가 \(f\), 아래쪽 함수가 \(g\)이면 넓이는 다음과 같습니다.
\[\int_a^b{f(x)-g(x)}dx\]
4. 교점부터 확인
적분 구간이 주어지지 않았거나 위아래가 바뀌면 먼저 \(f(x)=g(x)\)를 풀어 교점을 찾고 각 구간의 함수 순서를 확인합니다.
Checkpoint
\(0\le x\le2\)에서 \(y=2x\)와 \(y=x^2\) 사이의 넓이를 나타내는 정적분을 세우고 계산하세요.