22개정 · 미분
속도와 가속도
직선 위 운동에서 위치의 순간변화율은 속도이고, 속도의 순간변화율은 가속도입니다. 세 함수 \(s(t)\), \(v(t)\), \(a(t)\)를 연결해 읽으면 물체의 방향 전환, 정지, 빨라짐과 느려짐을 정확히 설명할 수 있습니다.
1. 직선 위 위치와 방향
기준점과 양의 방향을 먼저 정한 뒤 물체의 위치를 \(s(t)\)로 나타냅니다. \(s(t)>0\)은 기준점의 양의 방향 쪽, \(s(t)<0\)은 음의 방향 쪽에 있다는 뜻입니다.
위치의 부호는 현재 놓인 쪽을 뜻할 뿐, 움직이는 방향을 뜻하지 않습니다. 움직이는 방향은 속도 \(v(t)\)의 부호로 판단합니다.
2. 변위와 이동거리
| 양 | 계산 | 특징 |
|---|
| 변위 | \(s(b)-s(a)\) | 처음과 끝 위치만 비교하며 음수일 수 있음 |
| 이동거리 | 각 구간의 위치 변화량의 절댓값 합 | 실제로 움직인 길이이며 항상 0 이상 |
방향이 바뀌면 변위의 일부가 서로 상쇄되지만 이동거리는 상쇄되지 않습니다. 따라서 이동거리를 구할 때에는 \(v(t)=0\)이고 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나눕니다.
3. 평균속도와 순간속도
시간 구간 \([a,b]\)의 평균속도는 위치 그래프에서 두 점을 잇는 할선의 기울기입니다.
\(\displaystyle v_{\mathrm{avg}}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}\)
시각 \(t\)의 순간속도는 위치 그래프의 접선 기울기이며 위치함수의 도함수입니다.
\(\displaystyle v(t)=s'(t)\)
4. 속도와 속력
속도는 방향을 포함하므로 양수·음수·0이 될 수 있습니다. 속력은 속도의 크기이므로
\(\displaystyle \text{speed}=|v(t)|\)
입니다. 예를 들어 \(v=-8\text{ m/s}\)이면 음의 방향으로 움직이며 속력은 \(8\text{ m/s}\)입니다. 음의 속도가 작은 속력을 뜻하는 것은 아닙니다.
5. 가속도와 평균가속도
가속도는 속도의 순간변화율입니다. 위치함수를 두 번 미분하거나 속도함수를 한 번 미분합니다.
\(\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)\)
시간 구간 \([a,b]\)의 평균가속도는
\(\displaystyle a_{\mathrm{avg}}=\frac{v(b)-v(a)}{b-a}\)
입니다. 양의 가속도는 속도값이 증가한다는 뜻이지 언제나 속력이 증가한다는 뜻은 아닙니다.
6. 단위는 미분할 때마다 시간으로 나눕니다
| 함수 | 의미 | 대표 단위 |
|---|
| \(s(t)\) | 위치 | m |
| \(v(t)=s'(t)\) | 속도 | m/s |
| \(a(t)=v'(t)\) | 가속도 | \(\text{m/s}^2\) |
시간이 분이면 단위도 m/min, \(\text{m/min}^2\)처럼 맞춰야 합니다. 서로 다른 시간 단위를 한 식에 섞지 않습니다.
7. 대표 예제: 위치에서 가속도까지
\(0\le t\le4\)에서 위치가 다음과 같다고 합시다.
\(\displaystyle s(t)=t^3-6t^2+9t\)
한 번과 두 번 미분하면
\(\displaystyle v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\)
\(\displaystyle a(t)=6t-12=6(t-2)\)
입니다. 따라서 정지 후보 시각은 \(t=1,3\), 가속도가 0인 시각은 \(t=2\)입니다.
8. 운동 방향과 방향 전환
| 시간 | \(v(t)\)의 부호 | 운동 방향 |
|---|
| \(0<t<1\) | \(+\) | 양의 방향 |
| \(1<t<3\) | \(-\) | 음의 방향 |
| \(3<t<4\) | \(+\) | 양의 방향 |
\(t=1\)에서는 \(+\to-\), \(t=3\)에서는 \(-\to+\)로 속도 부호가 바뀌므로 두 시각 모두 방향을 전환합니다.
9. 변위와 총 이동거리 계산
예제에서 \(s(0)=0\), \(s(1)=4\), \(s(3)=0\), \(s(4)=4\)입니다. 전체 변위는
\(\displaystyle s(4)-s(0)=4\)
이고 이동거리는 방향 전환 시각에서 나누어
\(\displaystyle |4-0|+|0-4|+|4-0|=12\)
입니다. 같은 출발·도착 정보라도 중간에 되돌아가면 이동거리는 변위의 절댓값보다 큽니다.
10. 빨라지는지 느려지는지 판정하기
| 속도 \(v\) | 가속도 \(a\) | 속력 변화 |
|---|
| 양수 | 양수 | 빨라짐 |
| 양수 | 음수 | 느려짐 |
| 음수 | 음수 | 빨라짐 |
| 음수 | 양수 | 느려짐 |
즉 \(v(t)a(t)>0\)이면 속력이 증가하고 \(v(t)a(t)<0\)이면 감소합니다. 두 부호가 같은 방향이면 속도의 절댓값이 커집니다.
11. 예제의 속력 변화 구간
\(v=3(t-1)(t-3)\), \(a=6(t-2)\)의 영점 \(1,2,3\)을 시간축에 표시합니다.
- \((0,1)\): \(v>0,a<0\)이므로 느려집니다.
- \((1,2)\): \(v<0,a<0\)이므로 빨라집니다.
- \((2,3)\): \(v<0,a>0\)이므로 느려집니다.
- \((3,4)\): \(v>0,a>0\)이므로 빨라집니다.
12. 정지와 방향 전환은 다릅니다
\(v(c)=0\)이면 시각 \(c\)에 순간적으로 정지합니다. 그러나 방향 전환을 하려면 \(c\)의 양쪽에서 속도 부호가 실제로 바뀌어야 합니다.
예를 들어 \(v(t)=(t-1)^2\)은 \(t=1\)에서 0이지만 양쪽에서 양수이므로 잠시 정지할 뿐 계속 양의 방향으로 움직입니다.
13. 세 그래프를 연결해 읽기
| 관찰 | 연결되는 의미 |
|---|
| \(s\) 그래프의 기울기 | \(v\)의 함수값 |
| \(s\)의 극대·극소 | \(v=0\)이고 부호가 바뀌는 시각 |
| \(v\) 그래프의 기울기 | \(a\)의 함수값 |
| \(v\)의 극대·극소 | \(a=0\)이 되는 후보 시각 |
| \(v\) 그래프와 \(x\)축 사이 거리 | 속력 \(|v|\) |
14. 수직 운동 예제와 물리적 시간 범위
지면에서 20 m 높이에서 위로 던진 물체의 높이가
\(\displaystyle h(t)=20+15t-4.9t^2\)
라면 \(v(t)=15-9.8t\), \(a(t)=-9.8\)입니다. 최고점은 \(v=0\)인 \(t=15/9.8\approx1.53\)초에 약 \(31.48\) m입니다.
수학식은 음의 시간이나 지면 아래 높이까지 값을 주지만 실제 모델은 \(t\ge0\)이고 물체가 지면에 도달할 때까지만 사용합니다. 충돌 시각은 \(\displaystyle (15+\sqrt{617})/9.8\approx4.07\)초입니다.
15. 자주 하는 실수와 핵심 정리
- 음의 속도를 음의 속력 또는 느린 운동으로 해석합니다.
- 변위의 절댓값을 방향 전환이 있는 운동의 총 이동거리로 사용합니다.
- \(v=0\)인 모든 시각에서 방향이 바뀐다고 단정합니다.
- \(a>0\)이면 언제나 빨라진다고 생각합니다.
- 위치값 \(s(t)\)의 부호로 운동 방향을 판정합니다.
- 시간·위치·속도·가속도의 단위를 섞거나 물리적 시간 범위를 무시합니다.
핵심: \(v=s'\), \(a=v'=s''\)이고, 방향은 \(v\)의 부호, 속력 변화는 \(v\)와 \(a\)의 부호 조합으로 판단합니다.