22개정 · 미분
미분과 방정식·부등식
방정식을 함수의 영점 또는 두 그래프의 교점으로 바꾸고, 부등식을 함수의 최댓값·최솟값 문제로 바꾸면 도함수로 해의 존재와 개수, 매개변수의 범위를 체계적으로 판단할 수 있습니다.
1. 먼저 한쪽을 0으로 정리하기
\(P(x)=Q(x)\)의 해는 \(F(x)=P(x)-Q(x)\)의 영점과 같습니다. 두 식을 따로 미분하기보다 하나의 함수로 정리하면 증감과 극값을 한 번에 조사할 수 있습니다.
\(\displaystyle P(x)=Q(x)\quad\Longleftrightarrow\quad F(x)=P(x)-Q(x)=0\)
매개변수 문제에서는 \(f(x)=k\)로 정리해 그래프 \(y=f(x)\)와 수평선 \(y=k\)의 교점으로 해석하는 방법이 특히 효과적입니다.
2. 실근은 그래프의 교점입니다
| 대수 표현 | 그래프 해석 |
|---|
| \(F(x)=0\) | \(y=F(x)\)와 \(x\)축의 교점 |
| \(f(x)=g(x)\) | \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)의 교점 |
| \(f(x)=k\) | \(y=f(x)\)와 수평선 \(y=k\)의 교점 |
서로 다른 실근의 개수를 묻는 문제에서는 접하는 점도 교점 한 개로 셉니다. 중근의 중복도와 서로 다른 교점의 개수를 혼동하지 않아야 합니다.
3. 도함수로 함수의 값의 범위를 나누기
\(f'(x)=0\)인 임계점을 기준으로 증가·감소 구간을 나누면 각 구간에서 \(f(x)=k\)가 가질 수 있는 해의 개수를 알 수 있습니다.
- 도함수의 영점을 구합니다.
- 증감표를 작성하고 극댓값·극솟값을 계산합니다.
- \(k\)를 극값보다 작을 때, 같을 때, 사이일 때, 클 때로 나눕니다.
- 각 단조 구간에서 수평선과 만나는 횟수를 셉니다.
4. 대표 예제: \(x^3-3x=k\)의 실근 개수
\(f(x)=x^3-3x\)라 두면 \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\)입니다. \(x=-1\)에서 극댓값 \(f(-1)=2\), \(x=1\)에서 극솟값 \(f(1)=-2\)를 가집니다.
| \(k\)의 범위 | 수평선과 교점 | 서로 다른 실근 |
|---|
| \(k>2\) 또는 \(k<-2\) | 한 번 만남 | 1개 |
| \(k=2\) 또는 \(k=-2\) | 한 점에서 접하고 다른 점에서 만남 | 2개 |
| \(-2<k<2\) | 세 단조 구간에서 각각 만남 | 3개 |
5. 경계값에서 중근이 생기는 이유
\(f(x)=k\)의 그래프가 \(x=c\)에서 수평선과 접하면 함수값과 기울기가 동시에 같습니다.
\(\displaystyle f(c)=k,\qquad f'(c)=0\)
따라서 \(F(x)=f(x)-k\)에 대하여 \(F(c)=F'(c)=0\)입니다. 다항식에서는 \(x=c\)가 중근이 됩니다. 예를 들어 \(x^3-3x=2\)는
\(\displaystyle x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2=0\)
이므로 서로 다른 실근은 \(-1,2\) 두 개이고 \(-1\)은 중근입니다.
6. 중근과 도함수의 공통근
다항식 \(F(x)\)가 \(x=c\)를 두 번 이상 인수로 가지면 \(F(c)=0\)이고 \(F'(c)=0\)입니다. 따라서 중근 후보는 \(F\)와 \(F'\)의 공통근에서 찾을 수 있습니다.
그러나 \(F'(c)=0\)만으로 \(c\)가 \(F\)의 근인 것은 아닙니다. 반드시 \(F(c)=0\)도 함께 확인해야 합니다.
7. 해의 존재는 중간값 정리로 확인하기
연속함수 \(F\)가 \([a,b]\)에서 \(F(a)F(b)<0\)이면 두 함수값의 부호가 다르므로 어떤 \(c\in(a,b)\)에서 \(F(c)=0\)입니다.
\(\displaystyle F(a)F(b)<0\quad\Longrightarrow\quad \text{\((a,b)\)에 적어도 하나의 실근 존재}\)
이 조건은 근의 존재를 보장하지만 정확히 하나라고 말하지는 않습니다. 유일성을 보이려면 단조성과 같은 추가 정보가 필요합니다.
8. 해의 유일성은 단조성으로 확인하기
어떤 구간에서 \(F'(x)>0\)이면 \(F\)는 엄밀히 증가하므로 같은 함수값 0을 두 번 가질 수 없습니다. \(F'(x)<0\)인 경우도 마찬가지입니다.
따라서 “부호가 바뀌어 근이 적어도 하나 존재”하고 “구간에서 엄밀히 단조이므로 근이 많아야 하나”이면 그 구간의 근은 정확히 하나입니다.
9. 예제: 방정식의 유일한 실근
\(F(x)=x^3+x-1\)이라 두면 \(F(0)=-1\), \(F(1)=1\)이므로 \((0,1)\)에 근이 적어도 하나 존재합니다.
\(\displaystyle F'(x)=3x^2+1>0\)
모든 실수에서 엄밀히 증가하므로 실근은 많아야 하나입니다. 존재성과 유일성을 합치면 이 방정식은 \((0,1)\)에 정확히 하나의 실근을 가집니다.
10. 부등식을 최솟값 문제로 바꾸기
모든 실수에서 \(P(x)\ge Q(x)\)임을 보이려면 \(F(x)=P(x)-Q(x)\)의 전역 최솟값이 0 이상임을 보이면 됩니다.
\(\displaystyle F_{\min}\ge0\quad\Longrightarrow\quad F(x)\ge0\)
등호가 성립하는 입력값은 최솟값이 0이 되는 점입니다. 엄밀한 부등식 \(F(x)>0\)을 보일 때에는 최솟값이 0보다 큰지 확인합니다.
11. 예제: 미분으로 부등식 증명하기
모든 실수 \(x\)에 대해 \(x^4-4x+3\ge0\)임을 보여 봅시다. \(F(x)=x^4-4x+3\)이라 두면
\(\displaystyle F'(x)=4(x^3-1)=4(x-1)(x^2+x+1)\)
\(x^2+x+1>0\)이므로 \(F'\)는 \(x<1\)에서 음수, \(x>1\)에서 양수입니다. 따라서 \(x=1\)에서 전역 최솟값 \(F(1)=0\)을 가집니다.
\(\displaystyle x^4-4x+3\ge0,\qquad \text{등호는 \(x=1\)일 때}\)
12. 닫힌구간의 부등식
구간 \([a,b]\)에서만 부등식을 증명할 때에는 내부의 임계점과 양 끝점의 함수값을 모두 비교해야 합니다. 내부 최솟값보다 끝점의 값이 더 작을 수도 있습니다.
예를 들어 \(F(x)=x^3-3x\)의 \([0,2]\)에서 최솟값은 \(F(1)=-2\)이고, 끝점의 값은 \(F(0)=0\), \(F(2)=2\)이므로 최댓값은 2입니다. 따라서 \(-2\le F(x)\le2\)입니다.
13. 매개변수가 있는 부등식
모든 실수에서 \(x^4-4x+m\ge0\)이 성립하도록 하는 \(m\)의 범위를 구해 봅시다. \(G(x)=x^4-4x\)의 도함수는 \(4(x^3-1)\)이고 \(x=1\)에서 최솟값 \(-3\)을 가집니다.
\(\displaystyle \min_x\{x^4-4x+m\}=-3+m\)
최솟값이 0 이상이어야 하므로 \(m\ge3\)입니다. \(m=3\)일 때 \(x=1\)에서 등호가 성립합니다.
14. 롤의 정리로 실근 개수의 상한 구하기
미분가능한 함수 \(F\)가 서로 다른 실근을 \(n\)개 가지면, 이웃한 두 근 사이마다 롤의 정리에 의해 \(F'\)의 영점이 적어도 하나 존재합니다. 따라서 \(F'\)의 서로 다른 실근이 \(m\)개뿐이라면 \(F\)의 서로 다른 실근은 많아야 \(m+1\)개입니다.
이 방법은 정확한 근을 풀기 어려워도 가능한 실근 개수의 상한을 정하는 데 유용합니다.
15. 자주 하는 실수와 핵심 정리
- 극댓값·극솟값을 구하지 않고 도함수의 영점 개수만으로 원래 방정식의 근을 셉니다.
- 접하는 해를 교점 두 개로 세거나 중복도를 무시합니다.
- 중간값 정리가 근의 유일성까지 보장한다고 생각합니다.
- 부등식에서 임계점만 확인하고 끝점이나 무한대에서의 움직임을 빠뜨립니다.
- \(F'(c)=0\)만으로 \(c\)가 중근이라고 단정합니다.
핵심: 방정식은 교점, 부등식은 함수값의 범위로 해석하고, 도함수로 그래프의 단조 구간과 극값을 찾아 판단합니다.