22개정 · 미분
미분가능성과 연속성
미분가능성은 그래프가 끊기지 않는 것보다 더 강한 조건입니다. 함수값이 자연스럽게 이어질 뿐 아니라, 좌우에서 계산한 차분몫이 같은 유한한 기울기로 모여야 합니다. 정리의 방향, 반례, 조각함수의 경계점 판정을 하나의 흐름으로 정리해 봅시다.
학습 목표
- 한 점에서 미분가능하기 위한 좌우 차분몫 조건을 설명할 수 있습니다.
- 미분가능하면 연속임을 극한식을 이용해 설명할 수 있습니다.
- 연속이지만 미분 불가능한 반례를 제시할 수 있습니다.
- 모서리·첨점·수직접선·불연속을 그래프와 극한으로 구분할 수 있습니다.
- 조각함수가 경계점에서 연속이고 미분가능하도록 미지수를 결정할 수 있습니다.
- 미분가능성과 도함수의 연속성을 서로 다른 조건으로 구분할 수 있습니다.
경계점 판정 순서
- 함수값 \(f(a)\)가 정의되는지 확인합니다.
- 좌극한과 우극한이 \(f(a)\)와 같은지 확인합니다.
- 연속이면 좌미분계수와 우미분계수를 각각 계산합니다.
- 두 미분계수가 같은 유한한 값인지 비교합니다.
- 연속성과 미분가능성을 각각 결론으로 씁니다.
1. 한 점에서 미분가능하다는 뜻
함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 미분가능하다는 것은 다음 차분몫의 양쪽 극한이 하나의 유한한 값으로 존재한다는 뜻입니다.
즉, 왼쪽에서 접근한 할선의 기울기와 오른쪽에서 접근한 할선의 기울기가 같은 접선 기울기로 모여야 합니다.
2. 한 점에서 연속이라는 뜻
함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 연속이려면 함수값과 양쪽 극한이 존재하고 서로 같아야 합니다.
연속성은 함수값의 연결을 검사하고, 미분가능성은 그 연결점에서 변화 방향과 기울기까지 일치하는지 검사합니다.
3. 핵심 정리 — 미분가능이면 연속
미분계수가 존재한다면 \(a\) 주변의 함수값은 \(f(a)\)로 가까워져야 합니다. 따라서 불연속점에서는 계산을 더 하지 않아도 미분 불가능하다고 결론 낼 수 있습니다.
4. 정리의 이유
\(h\ne0\)일 때 함수값의 차이를 다음처럼 쓸 수 있습니다.
\(f\)가 \(a\)에서 미분가능하면 첫 번째 인자의 극한은 유한한 \(f'(a)\)이고, 두 번째 인자 \(h\)의 극한은 0입니다.
따라서 \(\lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)\)이므로 \(f\)는 \(x=a\)에서 연속입니다.
5. 역은 성립하지 않음
다음 명제는 거짓입니다.
\(f(x)=|x|\)는 \(x=0\)에서 함수값과 극한값이 모두 0이므로 연속이지만, 왼쪽 기울기는 \(-1\), 오른쪽 기울기는 1이어서 미분 불가능합니다.
6. 명제와 대우 구분
| 문장 | 참·거짓 | 이유 |
|---|---|---|
| 미분가능이면 연속 | 참 | 핵심 정리 |
| 연속이면 미분가능 | 거짓 | \(|x|\) 같은 반례 |
| 불연속이면 미분 불가능 | 참 | 핵심 정리의 대우 |
| 미분 불가능이면 불연속 | 거짓 | 연속인 모서리·첨점 가능 |
7. 모서리 — 좌우 기울기가 다름
\(f(x)=|x|\)의 \(x=0\)에서 차분몫은 \(|h|/h\)입니다.
판정: 함수는 연속이지만 좌우 미분계수가 다른 유한값이므로 미분 불가능합니다. 그래프에서는 방향이 갑자기 바뀌는 모서리로 보입니다.
8. 첨점 — 기울기가 반대 방향으로 발산
\(f(x)=|x|^{2/3}\)은 \(x=0\)에서 연속이지만 차분몫의 크기가 제한 없이 커집니다.
판정: 양쪽 기울기가 서로 반대 방향으로 발산하므로 유한한 미분계수가 없습니다. 뾰족하게 찌르는 모양을 첨점이라고 합니다.
9. 수직접선 — 기울기의 크기가 무한히 커짐
\(f(x)=\sqrt[3]{x}\)는 \(x=0\)에서 연속입니다. 그러나
판정: 양쪽에서 그래프가 같은 수직 방향을 향하더라도 미분계수는 유한한 실수가 아니므로 교과서의 정의에서는 미분 불가능합니다.
10. 불연속점 — 즉시 미분 불가능
함수값이 없거나, 좌우극한이 다르거나, 극한값과 함수값이 다르면 불연속입니다. 핵심 정리의 대우에 따라 이런 점에서는 미분가능할 수 없습니다.
“그래프가 끊겼지만 양쪽 조각의 기울기는 같다”는 사실도 미분가능성을 회복시키지 못합니다. 접점 자체의 연속성이 먼저 필요합니다.
11. 조각함수의 판정 전략
각 조각 내부가 다항함수라면 보통 식이 바뀌는 경계점만 조사하면 됩니다.
- 연속 조건: 좌극한 = 우극한 = 함수값
- 미분 조건: 왼쪽 식의 경계 기울기 = 오른쪽 식의 경계 기울기
미분가능 조건만 세우지 말고 반드시 연속 조건을 먼저 확인합니다. 기울기가 우연히 같아도 함수값이 연결되지 않으면 미분 불가능합니다.
12. 조각함수의 미지수 결정
다음 함수가 \(x=1\)에서 미분가능하도록 \(a,b\)를 구하세요.
연속 조건: \(1+a=3+b\)
미분 조건: 왼쪽 기울기는 \(2+a\), 오른쪽 기울기는 3이므로 \(2+a=3\)
답: \(a=1,\ b=-1\). 이때 함수값과 좌우 기울기가 모두 연결됩니다.
13. 미분가능과 도함수의 연속은 다름
\(f\)가 \(x=a\)에서 미분가능하다는 것은 \(f'(a)\)가 존재한다는 뜻입니다. 이것만으로 도함수 \(f'\)가 \(x=a\)에서 연속이라고 결론 낼 수는 없습니다.
“미분가능한 함수”와 “연속인 도함수를 가진 함수”는 서로 다른 수준의 조건입니다. 이 강의의 정리는 원래 함수 \(f\)의 연속성을 말합니다.
14. 자주 하는 실수
- 연속이면 자동으로 미분가능하다고 생각합니다.
- 미분 불가능하면 반드시 불연속이라고 결론 냅니다.
- 수직접선의 기울기를 \(+\infty\)라는 미분계수로 인정합니다.
- 조각함수에서 연속 조건을 생략하고 좌우 기울기만 맞춥니다.
- 좌미분계수와 우미분계수 중 한쪽만 계산합니다.
- 미분가능성과 도함수의 연속성을 같은 조건으로 봅니다.
15. 핵심 정리
- 미분가능하려면 좌우 차분몫이 같은 유한한 값으로 수렴해야 합니다.
- 미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 반드시 미분가능한 것은 아닙니다.
- 불연속점, 모서리, 첨점, 수직접선에서는 미분계수가 존재하지 않습니다.
- 조각함수의 경계점에서는 연속 조건을 먼저, 좌우 미분계수 조건을 다음에 확인합니다.
- 원래 함수의 연속성과 도함수의 연속성을 혼동하지 않습니다.
- “\(f\)가 \(x=2\)에서 연속이므로 미분가능하다”라는 주장의 오류를 설명하세요.
- \(f(x)=|x-3|\)가 \(x=3\)에서 연속인지, 미분가능한지 각각 판단하세요.
- \(g(x)=\begin{cases}x^2+k,&x<1\\3x-1,&x\ge1\end{cases}\)가 \(x=1\)에서 연속이 되도록 \(k\)를 구한 뒤 미분가능한지도 판단하세요.
- 함수가 한 점에서 불연속이라는 사실만 알 때 미분가능성에 대해 무엇을 확실히 결론 낼 수 있나요?
풀이와 답 확인
- 연속은 미분가능의 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다. \(|x-2|\)처럼 연속이면서 모서리를 갖는 반례가 있습니다.
- 함수값과 극한값이 모두 0이므로 연속입니다. 좌미분계수는 \(-1\), 우미분계수는 1이므로 미분가능하지 않습니다.
- 연속 조건은 \(1+k=2\)이므로 \(k=1\)입니다. 왼쪽 기울기는 2, 오른쪽 기울기는 3이므로 연속이지만 미분가능하지 않습니다.
- 미분가능이면 연속이라는 정리의 대우에 따라 그 점에서는 반드시 미분 불가능하다고 결론 낼 수 있습니다.