접선의 방정식

1. 접선의 정확한 의미

함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 미분가능할 때 접선은 \((a,f(a))\)를 지나고 기울기가 \(f'(a)\)인 직선입니다.

접선은 단순히 곡선과 한 번만 만나는 직선이 아닙니다. 다른 곳에서 곡선과 다시 만날 수 있으며, 핵심은 접점 근처에서 곡선과 같은 일차 변화율을 갖는다는 것입니다.

2. 접선의 기본 공식

기울기 \(m\)이고 점 \((x_1,y_1)\)을 지나는 직선의 점기울기식은 \(y-y_1=m(x-x_1)\)입니다. 접점과 미분계수를 대입하면

가 됩니다. 이 형태는 접점과 기울기가 동시에 드러나므로 계산 중에는 점기울기식을 유지하고, 마지막에만 \(y=mx+n\)으로 정리하는 것이 안전합니다.

3. 접점의 좌표를 먼저 찾기

접점의 \(x\)좌표가 \(a\)라고 주어졌을 때 접점은 \((a,a)\)나 \((a,0)\)이 아니라 반드시 \((a,f(a))\)입니다.

주어진 점 \((a,b)\)가 실제로 곡선 위의 점인지 확인하려면 \(b=f(a)\)인지 검사합니다.

4. 기본 예제

문제: \(f(x)=x^2-3x\)의 \(x=2\)에서 접선의 방정식을 구하세요.

접점은 \((2,-2)\), 기울기는 1입니다.

답: \(y=x-4\)

5. 점이 주어진 경우

문제: 곡선 \(y=x^3-2x+1\) 위의 점 \((1,0)\)에서 접선을 구하세요.

먼저 \(1^3-2(1)+1=0\)이므로 주어진 점이 곡선 위에 있음을 확인합니다.

답: \(y=x-1\)

6. 수평인 접선

수평선의 기울기는 0이므로 수평접선의 접점 후보는 다음 방정식으로 찾습니다.

예: \(f(x)=x^3-3x\)이면 \(f'(x)=3x^2-3=0\)에서 \(a=\pm1\)입니다.

답: 수평접선은 \(y=2\)와 \(y=-2\)입니다.

7. 주어진 직선과 평행한 접선

평행한 두 직선의 기울기는 같습니다. 주어진 직선의 기울기를 \(m\)이라고 하면 접점의 입력 \(a\)는

을 만족합니다. \(f(x)=x^2-2x+3\)에서 기울기 4인 접선을 구하면 \(2a-2=4\)이므로 \(a=3\)이고 \(f(3)=6\)입니다.

답: \(y=4x-6\)

8. 접선에 수직인 법선

접점에서 접선에 수직인 직선을 법선이라고 합니다. 접선 기울기 \(m_{\mathrm{tan}}\ne0\)이면

이고 법선은

입니다. 접선이 수평이면 법선은 수직선 \(x=a\)이므로 기울기식 대신 수직선의 방정식을 씁니다.

9. 곡선 밖의 점을 지나는 접선

접점의 \(x\)좌표가 주어지지 않으면 \(t\)로 둡니다. \(y=x^2\)의 \(x=t\)에서 접점은 \((t,t^2)\), 기울기는 \(2t\)이므로 접선은

입니다. 이 접선이 외부점 \((0,-1)\)을 지나려면 \(-1=-t^2\), 즉 \(t=\pm1\)입니다.

답: 두 접선은 \(y=2x-1\), \(y=-2x-1\)입니다.

10. 포물선 \(y=x^2\)의 일반 접선

앞에서 얻은

은 포물선 \(y=x^2\)의 접점 \((t,t^2)\)에서의 접선 공식입니다. 외부점 \((p,q)\)를 지나게 하려면

을 풉니다. \(t\)의 실근 개수에 따라 그 점에서 그을 수 있는 접선의 개수가 결정됩니다.

11. 중근으로 접선 판정하기

직선 \(y=mx+n\)과 포물선 \(y=f(x)\)의 교점을 구하면 \(f(x)=mx+n\)이라는 방정식이 생깁니다. 접할 때는 접점의 \(x\)좌표가 중근이 됩니다.

예: \(y=x^2\)와 \(y=2x+k\)가 접하려면

의 판별식이 0이어야 합니다.

답: \(k=-1\), 접선은 \(y=2x-1\)입니다.

12. 인수로 보는 접선의 접촉

다항함수 \(f\)의 \(x=a\)에서 접선을 \(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\)라고 하면, 차이 \(f(x)-L(x)\)는 \(x=a\)에서 함수값과 기울기가 모두 0입니다.

따라서 다항식 \(f(x)-L(x)\)에는 보통 \((x-a)^2\)이 인수로 포함됩니다. 접선과 곡선이 접점에서 중복된 교점을 갖는 이유입니다.

13. 접선은 국소적인 근사

\(x\)가 \(a\)에 가까울 때 미분가능한 함수는 접선과 매우 비슷하게 움직입니다.

이 식은 접선의 오른쪽을 \(y\) 대신 함수값의 근삿값으로 읽은 것입니다. \(x\)가 접점에서 멀어질수록 곡률의 영향이 커져 오차가 커질 수 있습니다.

14. 자주 하는 실수

• 접점을 \((a,f(a))\)가 아니라 \((a,f'(a))\)로 씁니다.
• 기울기를 구할 때 \(a\)를 원래 함수에만 대입하고 도함수에는 대입하지 않습니다.
• 점기울기식에서 \(x-a\), \(y-f(a)\)의 부호를 틀립니다.
• 평행 조건에서 직선의 \(y\)절편까지 같아야 한다고 생각합니다.
• 수직 조건에서 기울기를 단순히 음수로만 바꿉니다. 음의 역수를 취해야 합니다.
• 외부점을 접점으로 착각해 그 점을 원래 함수에 대입합니다.
• 접선은 곡선과 정확히 한 번만 만난다고 단정합니다.

15. 핵심 정리

• 접점은 \((a,f(a))\), 접선 기울기는 \(f'(a)\)입니다.
• 접선의 방정식은 \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\)입니다.
• 수평접선은 \(f'(a)=0\), 기울기 \(m\)인 직선과 평행한 접선은 \(f'(a)=m\)으로 찾습니다.
• 외부점을 지나는 접선은 접점 \(t\)를 미지수로 두고 그 점을 지난다는 조건을 사용합니다.
• 접선 조건은 교점 방정식의 중근이나 \((x-a)^2\) 인수로 검산할 수 있습니다.