22개정 · 적분
부정적분
부정적분은 미분했을 때 주어진 함수가 되는 모든 함수를 찾는 것입니다. 다항함수에서는 각 항의 지수를 1만큼 올리고 그 새 지수로 나눈 뒤, 마지막에 적분상수 \(C\)를 붙입니다.
학습 목표
- 원시함수와 부정적분의 뜻을 식과 문장으로 설명할 수 있습니다.
- 적분상수 \(C\)가 필요한 이유를 미분과 그래프로 설명할 수 있습니다.
- 다항함수에 부정적분의 선형성과 거듭제곱 공식을 적용할 수 있습니다.
- 주어진 조건으로 하나의 원시함수를 결정하고 미분으로 검산할 수 있습니다.
1. 핵심 정의 — 무엇을 찾는가?
어떤 구간에서 \(F'(x)=f(x)\)이면 \(F\)를 \(f\)의 원시함수라고 합니다. \(f\)의 모든 원시함수를 한꺼번에 나타낸 것이 부정적분입니다.
부정적분의 답은 보통 하나의 수가 아니라 \(C\)의 값에 따라 달라지는 함수들의 모임입니다.
2. 적분 기호 읽기
| 기호 | 이름 | 역할 |
|---|---|---|
| \(\int\) | 적분 기호 | 원시함수를 찾는 연산을 나타냅니다. |
| \(f(x)\) | 피적분함수 | 미분 결과로 주어진 함수입니다. |
| \(dx\) | 적분변수 표시 | \(x\)에 대하여 적분한다는 뜻입니다. |
| \(C\) | 적분상수 | 서로 다른 모든 원시함수를 포함합니다. |
\(dx\)는 장식이 아닙니다. \(\int 2t\,dt=t^2+C\)처럼 적분할 변수가 바뀌면 식 전체를 그 변수 기준으로 읽습니다.
3. 왜 \(+C\)가 필요한가?
상수는 미분하면 0이므로 \(x^2\), \(x^2+3\), \(x^2-7\)의 도함수는 모두 \(2x\)입니다.
같은 구간에서 도함수가 같은 두 함수의 차는 상수입니다. 따라서 하나의 원시함수 \(F\)를 찾으면 모든 원시함수는 \(F(x)+C\)로 나타낼 수 있습니다.
4. 그래프에서 보는 적분상수
\(y=x^2+C\)에서 \(C\)가 바뀌면 그래프는 모양과 각 점의 기울기를 유지한 채 위아래로 평행이동합니다.
| 원시함수 | \(x=0\)에서의 높이 | 도함수 |
|---|---|---|
| \(x^2-2\) | \(-2\) | \(2x\) |
| \(x^2\) | \(0\) | \(2x\) |
| \(x^2+3\) | \(3\) | \(2x\) |
서로 다른 그래프라도 같은 \(x\)에서 접선의 기울기가 같으므로 도함수는 모두 \(2x\)입니다.
5. 다항함수의 기본 공식
미적분Ⅰ에서는 다항함수를 중심으로 다룹니다. \(n\)이 0 이상의 정수일 때 다음 공식을 사용합니다.
- \(\displaystyle \int 1\,dx=x+C\)
- \(\displaystyle \int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C\)
- \(\displaystyle \int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C\)
- \(\displaystyle \int x^5\,dx=\frac{x^6}{6}+C\)
지수를 올리기만 하고 나누지 않으면 미분했을 때 원래 계수가 나오지 않습니다.
6. 합·차와 상수배의 성질
다항함수는 항별로 적분할 수 있고 상수배는 적분 기호 밖으로 꺼낼 수 있습니다.
각 항에 서로 다른 적분상수를 붙일 필요는 없습니다. 상수들의 합과 차도 하나의 임의의 상수이므로 식 끝에 \(+C\) 하나로 정리합니다.
7. 계산 절차
- 피적분함수를 내림차순 다항식으로 정리합니다.
- 합과 차를 따라 항별로 나눕니다.
- 각 항의 지수를 1 올리고 새 지수로 나눕니다.
- 계수와 부호를 정리하고 식 끝에 \(+C\)를 붙입니다.
- 완성한 식을 미분해 원래 피적분함수가 나오는지 확인합니다.
8. 완전한 예제 1 — 다항함수 적분
문제: \(\displaystyle \int(6x^2-4x+3)\,dx\)를 구하세요.
풀이: 항별로 적분하고 각 지수에 맞게 나눕니다.
검산: \(\dfrac{d}{dx}(2x^3-2x^2+3x+C)=6x^2-4x+3\)이므로 맞습니다.
답: \(\boxed{2x^3-2x^2+3x+C}\)
9. 완전한 예제 2 — 계수와 빠진 차수
문제: \(\displaystyle \int(5x^4-2x^2+7)\,dx\)를 구하세요.
풀이: \(x^3\)항과 \(x\)항이 없어도 있는 항만 각각 적분합니다.
검산: \(x^5-\frac{2}{3}x^3+7x+C\)를 미분하면 \(5x^4-2x^2+7\)입니다.
답: \(\boxed{x^5-\frac{2}{3}x^3+7x+C}\)
10. 조건으로 하나의 함수 결정하기
문제: \(F'(x)=6x^2-4x+3\)이고 \(F(1)=5\)일 때 \(F(x)\)를 구하세요.
1단계: 도함수를 부정적분하여 함수의 가족을 구합니다.
2단계: 조건 \(F(1)=5\)를 대입합니다.
답: \(\boxed{F(x)=2x^3-2x^2+3x+2}\)
부정적분은 모든 원시함수를 찾고, 한 점의 조건은 그중 하나를 선택합니다.
11. 식을 보고 역으로 점검하기
다음 세 식 중 \(\displaystyle \int(4x^3-6x)\,dx\)의 올바른 결과를 판별해 봅시다.
| 후보 | 미분 결과 | 판정 |
|---|---|---|
| \(x^4-3x^2+C\) | \(4x^3-6x\) | 맞음 |
| \(4x^4-6x^2+C\) | \(16x^3-12x\) | 계수를 나누지 않음 |
| \(x^4-3x^2\) | \(4x^3-6x\) | 한 원시함수이지만 전체 가족은 아님 |
미분 검산은 지수·계수 오류를 찾지만 \(+C\) 누락은 드러내지 않으므로 표기까지 따로 확인해야 합니다.
12. 자주 하는 실수
- 적분상수 누락: 부정적분 결과에는 \(+C\)를 씁니다.
- 새 지수로 나누지 않음: \(\int x^3dx\)는 \(x^4+C\)가 아니라 \(\frac14x^4+C\)입니다.
- 상수항을 그대로 둠: \(\int 5dx=5x+C\)입니다.
- 부호 변경: 음수 계수는 적분 후에도 음수입니다.
- 곱을 항별 적분: 일반적으로 \(\int fg\ne(\int f)(\int g)\)입니다.
- 조건을 먼저 대입: \(+C\)를 포함해 부정적분한 뒤 주어진 점을 대입합니다.
13. 핵심 정리
- 원시함수는 미분했을 때 주어진 함수가 되는 함수입니다.
- 부정적분은 \(F(x)+C\) 꼴의 모든 원시함수를 나타냅니다.
- 다항함수는 항별로 적분하고 지수를 1 올린 뒤 새 지수로 나눕니다.
- 한 점의 조건이 주어지면 \(C\)를 결정하여 하나의 함수를 찾습니다.
- 결과를 미분해 피적분함수와 비교하여 검산합니다.
- \(\displaystyle \int(8x^3-6x+4)\,dx\)를 구하고 미분으로 검산하세요.
- \(G'(x)=3x^2+2x-1\), \(G(0)=4\)일 때 \(G(x)\)를 구하세요.
- \(\displaystyle \int(2x+1)\,dx=x^2+x\)라고만 쓰면 부족한 이유를 설명하세요.
- \(\displaystyle \int(x^2+3)(x-1)\,dx\)를 계산하기 전에 식을 정리하고 계산하세요.
풀이와 답 확인
- \(2x^4-3x^2+4x+C\)입니다. 미분하면 \(8x^3-6x+4\)가 됩니다.
- \(G(x)=x^3+x^2-x+C\)이고 \(G(0)=C=4\)이므로 \(G(x)=x^3+x^2-x+4\)입니다.
- \(x^2+x\)는 한 원시함수일 뿐입니다. 모든 원시함수는 \(x^2+x+C\)입니다.
- \((x^2+3)(x-1)=x^3-x^2+3x-3\)으로 전개합니다. 결과는 \(\frac14x^4-\frac13x^3+\frac32x^2-3x+C\)입니다.