22개정 · 미분
최대와 최소의 활용
최적화 문제는 가장 넓게, 가장 작게, 가장 짧게처럼 상황 속 목표를 함수의 최댓값이나 최솟값으로 바꾸는 문제입니다. 미분 계산보다 변수·제약식·가능한 구간을 정확하게 모델링하는 과정이 먼저입니다.
1. 최적화 문제의 네 요소
| 요소 | 확인 질문 |
|---|
| 변수 | 내가 바꿀 수 있는 양은 무엇인가? |
| 목적량 | 최대화하거나 최소화할 양은 무엇인가? |
| 제약조건 | 변수들이 반드시 만족해야 하는 관계는 무엇인가? |
| 가능한 범위 | 길이·시간·수량이 실제로 가질 수 있는 값은 무엇인가? |
목적량과 제약조건을 뒤바꾸지 않는 것이 중요합니다. 예를 들어 둘레가 고정된 직사각형에서는 둘레가 제약조건이고 넓이가 목적량입니다.
2. 표준 해결 절차
- 상황을 간단한 그림이나 표로 나타내고 단위를 적습니다.
- 변수를 정하고 각 양을 변수로 표시합니다.
- 최적화할 목적량의 식을 세웁니다.
- 제약식을 이용해 목적함수를 한 변수로 줄입니다.
- 문맥에서 가능한 정의역을 정합니다.
- 도함수로 내부 임계점을 찾고 경계값과 비교합니다.
- 원래 질문에 맞는 양과 단위로 답을 씁니다.
3. 가능한 정의역이 답을 결정합니다
대수적으로 얻은 임계점이 실제 문제의 범위를 벗어나면 답이 아닙니다. 길이는 음수가 될 수 없고, 잘라 낸 상자의 밑면 길이는 양수여야 하며, 판매 수량이 정수여야 하는 경우도 있습니다.
닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속인 목적함수의 절대 최대·최소는 내부 임계점 또는 끝점에서 생깁니다. 따라서 끝점을 자동으로 제외하면 안 됩니다.
4. 예제: 고정된 둘레에서 넓이 최대화
둘레가 24인 직사각형의 한 변을 \(x\), 다른 변을 \(y\)라 합시다.
\(\displaystyle 2x+2y=24\quad\Longrightarrow\quad y=12-x\)
목적함수와 가능한 범위는
\(\displaystyle A(x)=xy=x(12-x),\qquad 0\le x\le12\)
입니다. \(A'(x)=12-2x=0\)에서 \(x=6\), 따라서 \(y=6\)입니다. \(A(0)=A(12)=0\), \(A(6)=36\)이므로 정사각형일 때 최대 넓이는 36입니다.
5. 왜 끝점도 비교해야 하나요?
\(f'(c)=0\)은 내부 극값의 후보를 찾는 조건입니다. 절대 최대나 최소가 구간의 경계에서 생기는 경우에는 도함수가 0일 필요가 없습니다.
직사각형 예제에서 \(x=0,12\)는 실제 직사각형이 퇴화하는 경계입니다. 넓이가 0이라는 값을 확인하면 내부 임계점의 넓이가 절대 최댓값이라는 사실이 분명해집니다.
6. 예제: 종이로 만드는 뚜껑 없는 상자
가로 20 cm, 세로 12 cm인 직사각형 종이의 네 모서리에서 한 변이 \(x\) cm인 정사각형을 잘라 접습니다. 상자의 크기는
\(\displaystyle (20-2x)\text{ cm}\times(12-2x)\text{ cm}\times x\text{ cm}\)
이므로 부피는
\(\displaystyle V(x)=x(20-2x)(12-2x)=4x^3-64x^2+240x\)
입니다. 밑면의 두 길이가 양수여야 하므로 \(0<x<6\)입니다. 도함수는 \(V'(x)=4(3x^2-32x+60)\)이고 후보는
\(\displaystyle x=\frac{16\pm2\sqrt{19}}{3}\)
입니다. 이 중 가능한 범위에 속하는 값은 \(\displaystyle x=(16-2\sqrt{19})/3\approx2.43\)뿐이며, 경계에서 부피가 0이므로 이 값에서 최대 부피는 약 \(262.7\text{ cm}^3\)입니다.
7. 범위 밖의 임계점을 버리는 이유
상자 예제의 다른 해 \(\displaystyle (16+2\sqrt{19})/3\approx8.24\)는 \(x<6\)을 만족하지 않습니다. 이를 사용하면 세로 \(12-2x\)가 음수가 되어 상자를 만들 수 없습니다.
미분 방정식의 해는 수학적 후보일 뿐입니다. 최종 후보 목록은 반드시 문제의 정의역과 교집합을 취해야 합니다.
8. 거리 최소화에서는 제곱을 사용하기
거리 \(D(x)\ge0\)를 최소화하는 입력값은 거리의 제곱 \(D(x)^2\)을 최소화하는 입력값과 같습니다. 제곱근이 사라져 미분이 간단해집니다.
점 \((0,3)\)과 포물선 \(y=x^2\) 위의 점 \((x,x^2)\) 사이 거리의 제곱은
\(\displaystyle S(x)=x^2+(x^2-3)^2=x^4-5x^2+9\)
이고 \(S'(x)=2x(2x^2-5)\)입니다. 후보 \(0,\pm\sqrt{5/2}\)를 비교하면 최솟값은 \(S=11/4\), 최소 거리는 \(\sqrt{11}/2\)이며 두 점에서 같은 거리를 가집니다.
9. 수익 최대화 모델
하루 판매량을 \(q\), 한 개 가격을 \(120-q\), 총비용을 \(20q+400\)이라고 합시다. 수익은 매출에서 비용을 뺀 값입니다.
\(\displaystyle P(q)=q(120-q)-(20q+400)=-q^2+100q-400\)
\(P'(q)=-2q+100=0\)에서 \(q=50\)입니다. 가능한 범위 \(0\le q\le120\)에서 비교하면 최대 수익은 \(P(50)=2100\), 이때 가격은 70입니다. 금액과 수량의 단위를 답에 함께 써야 합니다.
10. 최대인지 최소인지 확인하는 방법
- 닫힌구간에서 후보들의 함수값을 직접 비교합니다.
- 도함수가 \(+\to-\)이면 극대, \(-\to+\)이면 극소입니다.
- 목적함수가 아래로 열린 이차함수라면 꼭짓점이 최대입니다.
- 끝부분에서 함수가 커지거나 작아지는 방향까지 확인합니다.
한 가지 방법만 고집할 필요는 없지만, 절대 최대·최소 문제에서는 후보값 비교가 가장 직접적인 검증입니다.
11. 열린구간에서는 최댓값이 없을 수 있습니다
연속함수라도 정의역이 닫힌 유계구간이 아니면 절대 최대·최소의 존재가 자동으로 보장되지 않습니다. 예를 들어 \(f(x)=x\)를 \(0<x<1\)에서 생각하면 값은 1에 얼마든지 가까워지지만 \(x=1\)이 정의역에 없으므로 최댓값은 없습니다.
따라서 “가장 큰 값”과 “접근할 수 있는 상한”을 구별하고, 경계가 실제 선택지에 포함되는지 확인해야 합니다.
12. 정수 조건과 반올림
사람 수, 제품 수처럼 변수가 정수여야 한다면 연속함수에서 얻은 최적값을 그대로 반올림하기 전에 양옆의 가능한 정수를 모두 대입해 비교합니다.
예를 들어 계산 결과가 \(q=37.4\)라면 \(q=37\), \(q=38\)의 목적함숫값을 비교해야 합니다. 단순 반올림이 항상 최적의 정수해를 주는 것은 아닙니다.
13. 단위로 식을 검산하기
| 목적량 | 올바른 결과 단위 | 흔한 오류 |
|---|
| 길이·거리 | cm, m, km | 제곱한 거리 \(D^2\)를 최종 거리로 씀 |
| 넓이 | \(\text{cm}^2,\text{m}^2\) | 변의 길이만 답함 |
| 부피 | \(\text{cm}^3,\text{m}^3\) | 잘라 낸 길이를 부피로 답함 |
| 수익·비용 | 원, 달러 등 | 판매량과 금액을 혼동함 |
14. 모델의 가정을 확인하기
수학적 최적값은 세운 모델 안에서의 최적값입니다. 실제 상황에서는 종이 두께, 재료 손실, 가격 변화에 따른 수요식의 정확성, 안전 기준처럼 식에 포함되지 않은 조건이 있을 수 있습니다.
따라서 마지막에는 결과가 가능한 범위에 있는지, 측정 정밀도에 맞게 반올림했는지, 현실적인 크기인지 확인해야 합니다.
15. 자주 하는 실수와 핵심 정리
- 제약식을 목적함수로 착각하거나 목적함수를 두 변수 상태로 둡니다.
- 실제 가능한 정의역을 쓰지 않고 도함수의 모든 해를 사용합니다.
- 내부 임계점만 계산하고 끝점을 비교하지 않습니다.
- 최적의 입력값만 쓰고 문제에서 요구한 최대 넓이·최소 거리 등을 답하지 않습니다.
- 거리의 제곱을 최소화한 뒤 제곱근을 취하지 않습니다.
- 단위와 정수 조건을 빠뜨립니다.
핵심: 목적함수와 가능한 구간을 정확히 세운 뒤, 내부 임계점과 경계를 비교하고 실제 의미와 단위로 답을 마무리합니다.