극한값의 계산

1. 극한의 사칙연산 법칙

\(\lim_{x\to a}f(x)=L\), \(\lim_{x\to a}g(x)=M\)이 존재할 때 다음 법칙을 사용할 수 있습니다.

몫의 법칙에서는 분모의 극한 \(M\)이 0이 아니어야 합니다. 분모가 0으로 가는 식에 몫의 법칙을 그대로 적용하면 안 됩니다.

2. 직접 대입이 가능한 경우

문제: \(\displaystyle\lim_{x\to-1}(2x^3-3x+5)\)를 구하세요.

풀이: 다항식의 각 항은 \(x=-1\)에서 유한한 값을 가지므로 바로 대입합니다.

답: \(6\)

분수식도 목표점에서 분모가 0이 아니면 직접 대입할 수 있습니다. 가장 먼저 대입하는 습관은 불필요한 인수분해를 줄여 줍니다.

3. \(0/0\)은 답이 아니라 신호

대입하여 분자와 분모가 모두 0이 되면 \(0/0\) 부정형이라고 합니다. 이 표시는 극한값이 0이거나 1이라는 뜻이 아니라, 현재 식만으로는 값을 결정할 수 없어 식을 더 살펴봐야 한다는 뜻입니다.

4. 인수분해와 약분

문제: \(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}\)을 구하세요.

풀이: 대입하면 \(0/0\)이므로 분자를 인수분해합니다.

극한에서는 \(x\)가 3과 같지 않은 채 가까워지므로 주변에서 성립하는 약분식을 사용할 수 있습니다.

답: \(6\)

5. 세제곱식 인수분해

문제: \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2}\)를 구하세요.

풀이: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)를 사용합니다.

답: \(12\)

6. 통분하여 복잡한 분수 정리하기

문제: \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\frac1{1+x}-1}{x}\)를 구하세요.

풀이: 큰 분수의 분자부터 통분합니다.

답: \(-1\)

7. 근호식은 켤레식으로 유리화

문제: \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\)를 구하세요.

풀이: 분자의 켤레식 \(\sqrt{x+4}+2\)를 분자와 분모에 곱합니다.

답: \(\dfrac14\)

유리화의 목적은 근호를 무조건 없애는 것이 아니라, \(0/0\)을 만드는 공통인자 \(x\)를 드러내는 것입니다.

8. 절댓값은 좌우에서 식이 달라질 수 있음

문제: \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{|x-2|}{x-2}\)의 존재 여부를 판단하세요.

\(x<2\)이면 \(|x-2|=-(x-2)\), \(x>2\)이면 \(|x-2|=x-2\)입니다.

답: 좌극한과 우극한이 다르므로 양쪽 극한은 존재하지 않습니다.

9. 분모가 0으로 갈 때 부호 판단

문제: \(\displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{2}{x-1}\)과 \(\displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{2}{x-1}\)을 구하세요.

분자는 양수 2로 유지됩니다. 왼쪽에서는 \(x-1\)이 0에 가까운 음수이고, 오른쪽에서는 0에 가까운 양수입니다.

결론: 두 방향이 다르므로 유한한 양쪽 극한은 존재하지 않습니다.

분모가 0이라는 사실만으로 부호를 정할 수 없습니다. 분자와 분모의 부호를 방향별로 따로 확인해야 합니다.

10. 무한대에서 유리함수 계산

분자 차수를 \(m\), 분모 차수를 \(n\)이라 하면 최고차항이 전체 경향을 결정합니다.

예제: 분자와 분모를 \(x^2\)으로 나눕니다.

답: \(\dfrac32\)

11. 분자 차수가 더 큰 경우

문제: \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+x}{x^2-4}\)를 구하세요.

최고차항의 비는 \(\dfrac{2x^3}{x^2}=2x\)이므로 크기는 제한 없이 커지고, \(x\to-\infty\)에서 부호는 음수입니다.

답: \(-\infty\)

“분자 차수가 크면 무조건 \(+\infty\)”가 아닙니다. 최고차항 계수, 차수의 홀짝과 \(x\)의 접근 방향을 함께 확인해야 합니다.

12. 무한대의 근호식

문제: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+3x}-x)\)를 구하세요.

각 항은 무한히 커져 단순히 빼기 어렵습니다. 켤레식을 곱해 차를 분수로 바꿉니다.

\(x\to\infty\)에서는 \(x>0\)이므로 분자와 분모를 \(x\)로 나눌 수 있습니다.

답: \(\dfrac32\)

13. 자주 하는 실수

• \(0/0\)을 0 또는 1이라고 계산합니다. 부정형은 추가 변형이 필요하다는 표시입니다.
• 목표점에서도 약분식이 원래 식과 같다고 말합니다. 약분은 목표점을 제외한 주변에서만 성립할 수 있습니다.
• 분모가 0으로 간다는 이유만으로 항상 \(+\infty\)라고 씁니다.
• 최고차항으로 나눌 때 분자와 분모의 일부 항만 나눕니다.
• \(x\to-\infty\)에서 홀수차항의 부호 변화를 놓칩니다.
• 근호에서 \(\sqrt{x^2}=x\)라고 항상 씁니다. 정확히는 \(\sqrt{x^2}=|x|\)입니다.

14. 풀이 작성 체크리스트

1. 대입했을 때 나타나는 꼴을 먼저 적습니다.
2. 선택한 변형의 이유를 한 문장으로 설명합니다.
3. 약분할 때 제외되는 값을 표시합니다.
4. 좌우 방향이나 무한대 방향이 있으면 부호를 확인합니다.
5. 마지막 식에 극한 기호와 정확한 답을 함께 씁니다.